高二数学选修4-5《不等式选讲》模块结业测试题1

高二数学选修4-5《不等式选讲》测试题

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1、已知集合A {x|x 0},B {x| 1 x 2}，则A B （ ）

A、{x|x 1} B、{x|x 2} C、{x|0 x 2} D、{x| 1 x 2} 2、欲证2 3 A、2 7

2

6 7

，只需证（ ）

B、 2 6

2

3 6

67

2

2

3 7

2

2

C、2 3

2

2

D、 2 3 6 7

x y

3、设x 0，y 0，A

1 x y

，B

x1 x

y1 y

，则A、B的大小关系是（

A、A B B、A B C、A B D、不能确定 4、若n 0，则n

32n

2

的最小值为（ ）

A、2 B、4 C、6 D、8

5、如果命题p(n)对n k成立，则它对n k 2也成立，又命题p(n)对n 2成立，则下列结论正确的是（ ）

A、命题p(n)对所有正整数n成立 B、命题p(n)对所有大于2的正整数n成立 C、命题p(n)对所有奇正整数n成立 D、命题p(n)对所有偶正整数n成立 6、已知0 a,b 1，用反证法证明a(1 b),b(1 a)不能都大于时，反设正确的是（ ）

41

A、a(1 b),b(1 a)都大于

14

， B、a(1 b),b(1 a)都小于

14

14

14

C、a(1 b),b(1 a)都大于或等于 D、a(1 b),b(1 a)都小于或等于 7、已知a,b都是实数，那么“a2 b2”是“a b”的（ ） A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件

C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

8、已知不等式 x y 则实数a的最大值为（ ） a对任意正实数x,y恒成立，xy A、2 B、4 C、2 D、16 9、已知a,b R，且ab

0

11

，则（ ）

A、

a b a b

B、a b

a b

C、a b

a b

D、

a b a b

10、已知a 0，b 0满足a b 2，则（ ） A、ab

12

B、ab

12

C、a2 b2 2 D、a2 b2 4

二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）

11、若不等式|ax 2| 6的解集是（-∞，-1] [2, )，则a的值是___________. 12、函数y 2 x 2x 1的最大值为：； 13、用数学归纳法证明n N*,

1 12 13

1n

n时，从“n k”到

“n k 1”，左边需添加的代数式为： ；

14、经计算发现下列不等式正确：2 2，4.5 .5 2，

3

2

2 2， ，根据以上不等式的规律，请你写出一个类似的不

等式： ；

15、有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s，4s，3s，7s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为：； 16、若由不等式x

1x

2，x

4x

2

3， ，可以推广到x

ax

n

n 1a R

，则

实数a的值为： ；

17、如果关于x的不等式|x-4|-|x+5| b的解集为空集,则参数b的取值范围为 .

三、解答题（本大题5小题，共39分）

四、18、（8分）已知m,n R ，求证：m3 n3 m2n mn2

19、（8分）解不等式： |x 1| |x 2| 5 |x 1| 5 x |x 2| 5 x

20、（8分）①、已知：a,b R ，a b 4，证明②、已知：a,b,c R ，a b c 9，证明

21、（8分）已知数列 an 的前n项和为Sn,Sn （1）求a1,a2,a3；

（2）猜想数列 an 的通项公式并证明你的结论。

13

(an 1)(n N).

1a1c

1b

1；

1a

1b

1；

并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论（不需证明）。

22、(本题满分12分）(1)证明:5 3 8

(2)已知a,b,c R ，且a b c 1，求证：( 1)( 1)( 1) 8

a

b

c

1

1

1

附加题、（本

题满

分122(n 1 1)

1 1

1 2n(n N)

2n

）

分）用放缩法证: 明

高二数学选修4-5《不等式选讲》结业测试参考答案

二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分） 11、； 12、 13、14、5 2(答案不唯一)；

15、 16、nn； 17、；

第Ⅱ卷（共5题，总分39分）

三、解答题（本大题5小题，共39分） 18、已知m,n R ，求证：m3 n3 m2n mn2

方法一：作差比较：m3 n3 (m2n mn2) (m n)(m n)2 方法二：排序不等式：不妨设m n， m2 n2

根据排序不等式：m3 n3 m m2 n n2 m2n mn2

19、解不等式： |x 1| |x 2| 5 解：方法一：零点分段讨论：{x| 3 x 2}

方法二：数形结合法：{x| 3 x 2}

20、①、已知：a,b R ，a b 4，证明②、已知：a,b,c R ，a b c 9，证明

1a1a 1b1b 1； 1c 1；

1k 1

；

并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论（不需证明）。

解：①、根据柯西不等式：

(a b)(

1a 1b) (a

1a b

1b)

2

4， a b 4，

1a

1b

1

②、根据柯西不等式：

(a b c)(

1a 1b 1c) (a

1a b

1b c

1c)

2

9， a b c 9，

1a

1b

1c

1

可以推广：a1 a2 an n，则：

1a1

1a2

1an

1；

21、已知数列 an 的前n项和为Sn,Sn

13

(an 1)(n N).

（1）求a1,a2,a3；（2）猜想数列 an 的通项公式并证明你的结论。 解: (1)由S1 又S2

又S3

131313

(a1 1),得a1

13

(a1 1) ∴a1 13

12

14

(a2 1)

,即a1 a2 (a2 1),得 a2 13

.

18

(a3 1),即a1 a2 a3 (a3 1),得 a3 1

.

(2) 猜想数列 an 的通项公式：an ( )n

2

证法一：数学归纳法：当n=k+1时,

ak 1 Sk 1 Sk ak 1

13

ak 1

1313

(ak 1 1) ak

13

13

(ak 1) 12

k

13

ak 1 12)

13

13

ak

13

13

ak 1

13

ak

(

),ak 1 (

13

k 1

，命题成立。

1

证法二：当n>1时,an Sn Sn 1 得

anan 1

12

,所以 an 是首项为

12

(an 1)

1312

(an 1 1),

,公比为

的等比数列. 所以， an ( )n

2

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