积分求圆球面积和体积
更新时间:2023-04-11 13:52:01 阅读量: 实用文档 文档下载
积分法求圆球的表面积与体积 方法一:
如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=
将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体
从X 负半轴到X 正半轴将直径2R 等分n 份)
(∞→n 每份长为x ?
球体也同时被垂直分成n 份薄片
每片的半径为22x R r -=
每片分得弧长为l d
如图:当无限等分后
(1)CE d l ≈弧 (2)CE OC ⊥ (3)x EH ?=
易证CEH OCX ?∝? CX OC EH CE =?CX
EH OC CE ?= x x R R
l ?-=??22弧 薄片的球面面积x x R R
x R l r S ?--=?=?22222)2(ππ
x R S ?=?π2
球面面积??+-+-==R
R R R Rx Rdx ππ22=2
4R π 方法二:
如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=
将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体
沿X 轴正方向到X 轴负方向将圆心角等分n 份
)(∞→n 每份为θ?,),0(πθ∈
球体也同时被垂直分割成n 份薄片
每片弧长相等对应圆心角为θ?
每片对应的半径为θsin R r =
当0→?θ时
(1)θ?=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OB ⊥ 薄片周长θπsin 2R L =
薄片的(宽))sin(θ?=R h
薄片外围面积)sin(sin 2θθπ??=?R R S
)sin(sin 22
θθπ?=R
θθπ?=sin 22R 200224cos 2sin 2R R R S πθπθθπππ=-=?=??
方法三:
如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=
将圆O 绕Y 轴旋转一周,得到一个圆球体
沿Y 轴负方向到Y 轴正方向将圆心角等分n 份)(∞→n 每份为θ?,)2
,2(ππθ-∈ 球体也同时被水平分割成n 份薄片
每片弧长相等对应圆心角为θ?
每片对应的半径为θcos R r =
如图取OC oB →这一份进行研究
当0→?θ时
(1)θ?=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OC ⊥ 薄片周长θπcos 2R L =
薄片的厚(高))sin(θ?=R h
薄片外围面积)sin(cos 2θθπ??=?R R S
)sin(cos 22θθπ?=R
由极限:当0→x 时1sin =x
x ? 当 0→x 时x x =sin 故 )sin(cos 22θθπ?=?R S
θθπ?=cos 22R
2
2222
2
24sin 2cos 2R R R S πθπθθππ
πππ==?=??--
积分法求圆球的体积
方法一:
如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=
将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体
在X 轴正方向将半径R 等分n 份)(∞→n 每份长为x ?
球体也同时被垂直分成n 份薄片
每片的半径为22x R r -=
每份薄片的体积x r V ?=?2π
x x R ?-=)(22π 半球体积????-?=?-=R R R
x x x R x x R V 00
22022)(21
πππ 303023231R x x
R R R πππ=-=?? 33
4R V π= 方法二:
如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=
将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体
自球内向外将将球体等分n 层球体环)(∞→n 每层厚为x ?
球体水平半径R 也同时被水平分成n 份
任取一层(如图中红色一圈球体环)
表面积 24x s π= 厚度x d ?= x x V ?=?24π
??=R x x V 024π=?R x 033
4π 33
4R V π=
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