5.1_方阵的特征值与特征向量

第 五 章 相 似 矩 阵

第五章 相似矩阵§5.1 方阵的特征值与特征向量 §5.2 矩阵相似对角化 * §5.3 Jordan标准形介绍

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 §5.1 方阵的特征值与特征向量 五 章 一、问题的引入 相 似 矩 阵二、基本概念 三、特征值与特征向量的求解方法 四、特征值的性质

五、特征向量的性质

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 一、问题的引入 五 矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用， 章如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域

相 似 矩 阵

中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭

代法求解等问题都会用到该理论。

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 一、问题的引入 五 引例 种群增长模型 (工业增长模型) 章 设 x 代表某种群 C 的数量， (某国的工业增长水平) 相 似 矩 阵y 代表某种群 D 的数量， (该国的环境污染程度)

初态为 ( x0 , y0 )T , x1 x0 2 y0 , y1 2 x0 y0 ,

一年后的状态为： x0 x1 1 2 x0 A , 即 y1 2 1 y0 y0 k

x x k 1 2 x0 k 0 则第 k 年后的状态为： y 2 1 y A y . 0 k 0

问题 如何计算 Ak ? 4

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 一、问题的引入 五 1. 初步设想 章 若存在一个可逆矩阵 P,使得 相 似 矩 阵 1 P AP Λ 0 1

0 , 2

则 A P Λ P 1 , 进一步有A k P Λ P 1 P Λ P 1 P Λ P 1 PΛ Pk 1

k 1 P 0

0 1 P . k 2

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 一、问题的引入 五 2. 简单分析 章 寻找一个可逆矩阵 P,使得 相 似 矩 阵P 1 A P Λ ,

即 A P P Λ,

对二阶方阵 A 寻找两个向量 它们被 A 左乘 后正好等于自 己的某个倍数 且这两个向量 必须线性无关 6

p11 记 P p11

则 A X1

p12 X1 X 2 , p11 1 0 , X 2 X1 X 2 0 2

A X1 A X 2 1 X1 2 X 2 , A X 1 1 X 1 , A X 2 2 X 2 .

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 一、问题的引入 五 3. 一般性问题的提出 章 对于方阵 A,求向量 X 和(实)数 ,使得 相 似 矩 阵

AX X .

1 1 2 1 比如，对于矩阵 A , 令 X1 , X 2 , 1 2 1 1

则有 A X1 3 X1 , A X 2 ( 1) X 2 . 1 1 1 从而有 P , Λ 0 1 1 0 3 0 . 2 0 1

§5.1

方阵的特征值与特征向量 第 二、基本概念 五 1. 特征值与特征向量 章 定义 设 A 为 n 阶方阵， 如果存在数 和 n 维非零向量 X 相 似 矩 阵使得 A X= X, 则称数 为方阵 A 的特征值， 非零 向量 X 称为 A 的属于特征值 的特征向量。 注意 (1) 特征值 可以为零； (2) 属于同一个特征值的特征向量不是惟一的。 比如，若 X 是矩阵 A 的属于特征值 0 的特征向量， 则 k X (k 0) 也是 A 的属于特征值 0 的特征向量。

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 二、基本概念 五 1. 特征值与特征向量 章 2. 特征多项式 相 似 矩 阵分析 由 A X X , 有

( I A) X 0 ,该方程组有非零解的充要条件是 | I A| 0 . 定义 记 f ( ) | I A| , 则称 f ( ) 为方阵 A 的特征多项式； 称 f ( ) 0 为方阵 A 的特征方程。

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 五 章 相 似 矩 阵特征多项式“具体”形式特征多项式 f ( ) 是 的 n 次多项式，即

f ( ) | I A |

n b1 n 1 b2 n 2 bn 1 bn ( ai i ) n 1 b2 n 2 bn 1 ( 1) n | A | .n i 1 n

其中， ai i a11 a22 an n 称为 A 的迹，记为 tr ( A) .i 1

n

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 三、特征值与特征向量的求解方法 五 步骤 (1) 求解特征方程 | I A| 0 得到特征值。 章 相 似 矩 阵值(重根按重数计算)。 (2) 设 = i 是方阵 A 的一个特征值，求解齐次线性方 程组 ( A i I ) X 0 得到非零解 X , 则 X 就是 A 的 对应于特征值 i 的特征向量。

由于特征方程在复数范围内恒有解，且其解的

个数为特征方程的次数， 因此 n 阶方阵有 n 个特征

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 五 章 相 似 矩 阵 1 2 例 求矩阵 A 的特征值与特征向量。 2 1

解 (1) A 的特征多项式为| I A|

1 2

2

1

( 1) ( 3) ,

故 A 的特征值为 1 1, 2 3 .(单根) (单根)

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 五 章 相 似 矩 阵(2) 当 1 1 时， 由 ( I A ) x 0 有 2 2 x1 0 , 2 2 x2 0 1 求解得基础解系为 . 1

故 A 的属于特征值的 1 1 所有特征向量为 1 X k k , ( k 0) . 1

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 五 章 相 似 矩 阵(3) 当 2 3 时， 由 (3 I A ) x 0 有 2 2 x1 0 , 2 2 x2 0 1 求解得基

础解系为 . 1

故 A 的属于特征值的 2 3 所有特征向量为 1 X k k , ( k 0) . 1

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 五 章 相 似 矩 阵解 (1) A 的特征多项式为

3 1 | I A | 2 6 3

1 1 ( 1) ( 1)2 , 2

故 A 的特征值为 1 1, 2 3 1 .(单根) (重根)

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 五 章 相 似 矩 阵(2) 当 1 1 时， 由 ( I A ) x 0 有

4 1 1 x1 0 2 1 1 x2 0 , 6 x 0 3 1 3 1 求解得基础解系为 1 . 3 故 A 的属于特征值的 1 1 所有特征向量为

X k , (k 0) .

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 五 章 相 似 矩 阵(3) 当 2 3 1 时，由 ( I A) x 0 有

2 1 1 x1 0 1 1 x2 0 , 2 6 3 3 x3 0 1 0 求解得基础解系为 1 0 , 2 1 . 2 1 故 A 的对应于特征值 2 3 1的所有特征向量为2 X k1 1 k 2 2 , ( k12 k2 0) .

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 五 章 相 似 矩 阵 1 1 0 例 求矩阵 A 4 3 0 的特征值与特征向量。 1 0 2 解 (1) A 的特征多项式为

1| I A | 4 1

1 0 3 0 ( 2) (1 )2 , 0 2

故 A 的特征值为 1 2, 2 3 1 .(单根) (重根)

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 五 章 相 似 矩 阵(2) 当 1 2 时，由 ( 2 I A ) x 0 有

3 1 0 x1 0 4 1 0 x2 0 , 1 0 0 x 0 3 0 求解得基础解系为 0 , 1 故 A 的对应于特征值 1 2 的所有特征向量为

X k , (k 0) .

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 五 章 相 似 矩 阵(3) 当 2 3 1 时，由 ( I A ) x 0 有

2 1 0 x1 0 4 2 0 x2 0 , 1 0 1 x 0 3 1 求解得基础解系为 2 . 1 故 A 的对应于特征值 2 3 1 的所有特征向量为

X k , (k 0) .

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 五 章 相 似 矩 阵例 设方阵 A 为幂等矩阵(即 A2 A ), 求 A 的特

征值。 解 设 是 A 的特征值，对应的特征向量为 X,则

AX X ,A 2 X A ( A X ) A ( X ) ( A X ) 2 X ,

由 A2 A 有A2 X A X X ,

因此 2 X X , 即 ( 2 ) X 0 , 又由 X 0 , 有 2 ( 1) 0, 即得 0 或 1 . 21

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