12函数的图象教师

函数的图象

一、函数图像的理解

图像是函数的直观表示，自变量即对应横坐标x表现在水平位置，函数值即对应纵坐标y表现在竖直位置，图像过点（点在图像上），点的坐标适合方程

二、作图方法：直接、变换、描点、

1．.直接法：基本函数的图像：由关键点、线、形状、性质直接作出直接法

2．图象变换 (1)平移变换

①左右：y＝f(x)的图象―――――――――→y＝f(x－a)的图象； a<0，左移|a|个单位②上下：y＝f(x)的图象―――――――――――→y＝f(x)＋b的图象． b<0，下移|b|个单位(2)对称变换

①y＝f(x)的图象―――――――→y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象―――――――→y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象――――――→y＝－f(－x)的图象； ④y＝ax(a>0且a≠1)的图象――――――――→y＝ logax(a>0且a≠1)的图象．

(3)伸缩变换 ①y＝f(x)的图象

关于直线y＝x对称

关于原点对称关于y轴对称关于x轴对称

b>0，上移b个单位a>0，右移a个单位

??????????????y＝f(ax)的图象；

②y＝f(x)的图象

――――――――――――――――――――――→y＝af(x)的图象． 0

①y＝f(x)的图象―――――――――――――――→ y＝|f(x)|的图象； x轴及上方部分不变②y＝f(x)的图象―――――――――――――→y＝f(|x|)的图象． 原y轴左侧部分去掉，右侧不变3．描点

y轴右侧部分翻折到左侧x轴下方部分翻折到上方

a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变

1a>1，横坐标缩短为原来的,纵坐标不变a10

其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：

(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．

(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)． (3)描点，连线．

考点一：识图读图

方法一：直接画图

方法二：排除法：形状、特殊点（值或正负）、性质【对称【（奇偶）、周期】、单调（增减、快慢）趋势

例题1】．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，1

(3,1)，则f ?f ?3??的值等于________．

??

分析：，图像是函数（对应）的直观反映。横坐标 x对应水平位置，纵坐标y对应竖直位置，图像过点，点的坐标适合方程

解析：∵由图象知f(3)＝1， ∴

11

＝1.∴f ? f ?3??＝f(1)＝2.

??f?3?

答案：2

训练】．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________. 解析：∵f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)， ∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2. 答案：－2

2

??x，x<0，

例题2】．函数y＝?x的图象大致是( )

?2－1，x≥0?

解析：选B

方法一：直接画图 当x<0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.

方法二：排除法：形状、特殊点（值或正负）、性质、趋势

训练】．(2016·湖南岳阳一中月考)函数f(x)＝loga|x|＋1(0

解析：选A 由于函数f(x)＝loga|x|＋1(00时，f(x)＝loga|x|＋1(0

例题3】．(2015·贵州七校一联)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )

ln|x|exA．f(x)＝ B．f(x)＝ xx11C．f(x)＝2－1 D．f(x)＝x－x

x

由图得式（图），图上看点与性质、趋势：对称（奇偶）、单调、周期

1解析：选A 由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，

x则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.

ax＋b

训练1】．(2015·安徽高考)函数f(x)＝的图象如图所示，

?x＋c?2则下列结论成立的是( )

A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0

解析：选C 函数定义域为{x|x≠－c}， 结合图象知－c＞0，∴c＜0.

b

令x＝0，得f(0)＝2，又由图象知f(0)＞0，∴b＞0.

cbb

令f(x)＝0，得x＝－a，结合图象知－a＞0，∴a<0. 故选C.

训练2】.已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )

解析：选B 法一：由y＝f(x)的图象知，

??x，0≤x≤1，f(x)＝?

?1，1

当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，

??1，0≤x≤1，所以f(2－x)＝?

?2－x，1

故y＝－f(2－x)＝?

?x－2，1

法二：变换画图

法三、当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1； 当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1. 观察各选项，可知应选B.

例题4】甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )

A．甲是图①，乙是图② C．甲是图③，乙是图② 答案：B

B．甲是图①，乙是图④ D．甲是图③，乙是图④

训练】.如图，不规则四边形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是( )

解析：选C 当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢，故选C.

考点二：作图?基础送分型考点——自主练透?

画函数图象的2种常用方法

(1)直接法： （描点法、特征法）

当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征（特殊点、性质、形状）直接作出．

(2)图象变换法：

若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．

例题1】 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2x2；

＋

(3)y＝x2－2|x|－1.

??lg x，x≥1，解：(1)法1：y＝?图象如图1.

?－lg x，0

(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图2.

?x2－2x－1，x≥0，?

(3)y＝?2图象如图3. 法二：变换

?x＋2x－1，x<0.?

训练1】．作出函数y?1.的图象：

|x|?1训练 2】已知

?x?1(x?1)f(x)??,作出函数f(x?1)的图象：

?1?x(x?1) 训练 3】．作出函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，的图象

训练 4】作出函数y=

x2?1x?1

的图象

?log2x,x?0,训练 5】=?x

?2,x?0,训练 6】作出函数y＝|x－a|－1的图象

训练7】设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，作出函数f?x?－f?－x?

的图象 x

训练 8】作出函数f(x)＝|x＋a|，的图象

g(x)=

例题2】．为了得到函数y＝2x3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点( )

－

A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

解析：选A y＝2x――――――――――――――→ y＝2x3――――――――――→y＝2x3－1.

－

－

向右平移3个单位长度

向下平移1个单位长度

训练】．(2013·北京高考)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex

关于y轴对称，则f(x)＝( )

A．ex1

＋

B．ex1

－

C．e

－x＋1

D. e

－x－1

－

－x

解析：选D 与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝ex，函数y＝e一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e

－(x＋1)

的图象向左平移

＝e

－x－1

.

考点三 函数图象的应用?常考常新型考点——多角探明?

[命题分析]

函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．

常见的命题角度有： (1)研究函数的性质； (2)确定方程根的个数； (3)求参数的值或取值范围； (4)求不等式的解集．

[题点全练]

角度一：研究函数的性质

?x2＋1，x>0，?例题】．1.(2014·福建高考)已知函数f(x)＝?则下列结论正确的是( )

?cos x，x≤0，?

A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数

C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)

2??x＋1，x>0，

解析：选D 函数f(x)＝?的图象如图所示，由

?cos x，x≤0?

图象知只有D正确．

训练】．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x

＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为( )

A．1 C．3

B．2 D．0

解析：选B 因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；

因y＝lg x―――――――――――→

y＝lg(x＋1)―――――――――――――――――――――――――――――→

y＝lg(|x|＋1)―――――――――――→y＝lg(|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图

象可知函数存在最小值为0. 所以①②正确．

角度二：确定方程根的问题

??|lg x|，x>0，

例题1】．已知f(x)＝?|x|则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．

?2，x≤0，?

图象向右平移2个单位长度

去掉y轴左侧的图象，以y轴为对称轴，作y轴右侧的对称图象图象向左平移1个单位长度

1

解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点

2的个数为5.

答案：5

训练1】．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意a＝|x|＋x

?2x，x≥0，?令y＝|x|＋x＝?图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，

?0，x＜0，?

则a>0.

答案：(0，＋∞)

训练2】．(2015·安徽高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．

解析：函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y1＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－. 2

1答案：－ 2

角度三：求不等式的解集

例题】．(2015·北京高考)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )

A．{x|－1

解析：选C 令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．

???x＋y＝2，?x＝1，?由得? ?y＝log2?x＋1?，???y＝1.

∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1

f?x?－f?－x?训练】．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的

x解集为( )

A．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)

f?x?－f?－x?f?x?

解析：选D 因为f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为xx<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．

作业

x3

1．(2016·贵阳监测)函数y＝x的图象大致是( )

3－1

x3

解析：选C 由题意得，x≠0，排除A；当x<0时，x<0,3－1<0，∴x>0，排除B；

3－1

3

x

x3

又∵x→＋∞时，x→0，

3－1

∴排除D，故选C.

1?

2．下列函数f(x)图象中，满足f ??4?＞f(3)＞f(2)的只可能是( )

1??1?解析：选D 因为f ?＞f(3)＞f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除A，B.在C中，f ?4??4?1?＜f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即f ??4?＜f(3)，排除C，选D.

3．若函数y＝f(x＋3)的图象经过点P(1,4)，则函数y＝f(x)的图象必经过点________． 解析：函数y＝f(x)的图象是由y＝f(x＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的． 故y＝f(x)的图象经过点(4,4)． 答案：(4,4)

4．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．

答案：[－1，＋∞)

2

??3－x，x∈[－1，2]，

5.已知函数f(x)＝?

?x－3，x∈?2，5].?

(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象； (2)写出f(x)的单调递增区间；

(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值． 解：(1)函数f(x)的图象如图所示．

(2)由图象可知，

函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1， 当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3. 6．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.

(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；

(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．

??x－2?2－1，x∈?－∞，1]∪[3，＋∞?，?

解：f(x)＝? 2

??－?x－2?＋1，x∈?1，3?.

作出函数图象如图．

(1)由图象知函数的单调增区间为[1,2]，[3，＋∞)； 函数的单调减区间为(－∞，1]，[2,3]．

(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)． 由图知0

(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值． 解：(1)函数f(x)的图象如图所示．

(2)由图象可知，

函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1， 当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3. 6．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.

(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；

(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．

??x－2?2－1，x∈?－∞，1]∪[3，＋∞?，?

解：f(x)＝? 2

??－?x－2?＋1，x∈?1，3?.

作出函数图象如图．

(1)由图象知函数的单调增区间为[1,2]，[3，＋∞)； 函数的单调减区间为(－∞，1]，[2,3]．

(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)． 由图知0

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