同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案

10- 71 同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案

10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？

10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？

10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？

10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？

10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。

(a)

(b)

EI 1=∞

EI m y ?

分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。

(c)

(d)

在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。

10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？

10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？

10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为

c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。

10- 72

解：1）刚度法

该体系仅有一个自由度。

可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度

为..

ml a 。

取A 点隔离体，A 结点力矩为：..

..

3

1212

3

3

I M ml a l l m a l =???=

由动力荷载引起的力矩为：

()()2

121233

t t q l l q l ??

=

由弹性恢复力所引起的弯矩为：.

2

133

la k l c a l ?

?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得：

()3

..

.

3

2

2

13

9

3

t q l ka m a l l c a l +

+=

整理得：().

..

33t q ka c a m a l

l

l

++

=

2）力法

.

c

α

解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程为：

().

..

2

1110

3

3

3

l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-

?

-?-

?=?

则同样有：().

..

33t q ka c a m a l

l

l

+

+

=

。

10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。

t )

10- 73 解：

取DF 隔离体，0F M =∑：

..222

0.23223

24a

R a m x dx ka R ma ka αααα

?=+

?=+? 取AE 隔离体：0A M =∑

(3222)

0430a

k m x dx ca ka Ra θαααα++++=? 将R 代入，整理得：

..32

25

1504R ma ka k θα

αα=++= 10-10 试建立图示各体系的运动方程。

(a)

解：（1）以支座B 处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。

(t ) ..α

（2）画出p M 和1M 图（在B 点处作用一附加约束）

()324t l M α-()t p

M 3EI l 1M

l l 2

m (t )

10- 74 （3）列出刚度法方程

113EI k l =，()..

3124p t m R l M α=- 1110p k R α+=

代入1p R 、11k 的值，整理得：

()..

432472t M EI

m l l αα+=

(b)

解：

11=

1M 图

21P =2

l

2M 图

试用柔度法解题

此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y 为坐标。 y 是由动力荷载()p t F 和惯性力矩I M 共同引起的。

11112()p t y M F δα=+ 由图乘法：

321112233l l l EI EI δ=

?= 312/252622248l l l l l l EI EI

δ??=??+?= ??? 惯性力矩为..

m y l -

()33

..5348p t l l y m y l F EI EI ??=?-+ ??? 经整理得，体系运动方程为：

()..

33516p t EI

m y y F l +=。

10-11 试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。

l 2 l 2

(a)

解：

2

1

M图

图乘得：

3 11

11225 222

223236

a a a f a a a a

EI EI ??=???

??+???

=

?

??

ω==

(b)

解：此体系为静定结构，内力容易求得。

在集中质量处施加垂直力P，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为

2

3

。

由此根据弯矩平衡可求得

4

9

P k

=。

ω==

(c)

解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。

上简支梁柔度系数为

()33

2

486

l l

E I E I

=

下简支梁柔度系数为

3

96

l

E I

于是两者并联的柔度系数为

3

3

1

696102

l

EI EI EI

l

δ==

+

并

l

2

l

2

l

2

l

2

2a a a

10- 75

10- 76 ω=(d)

解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。 水平支杆中力为

33013E I l ，即1133013EI

k l =。

ω==

(e)忽略水平位移

解：

1M 图

22

112455272213362a a a f a E A E A E A ????=??+??+?= ? ????? ω== (f)

4a 4a 3a

解：

33

32

1

M图2

M图M图

3

1312331323162130.014974

3223323221933219364

l

l l l l l l l

EI EI

δ

??

=???+????+??=

?

??

ω===

10-12 为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构哪些固有量有关？关系如何？

10-13 试说明有阻尼自由振动位移时程曲线的主要特点。此时质量往复一周所用的时间与无阻尼时相比如何？

10-14 什么是阻尼系数、临界阻尼系数、阻尼比和振幅的对数递减率？为什么阻尼对体系在冲击荷载作用下的动力响应影响很小？

10-15 设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm减小至0.060mm，试求该结构的阻尼比ξ。

解：0475

.0

06

.0

188

.1

ln

20

1

ln

2

1

=

=

≈

+

π

π

ξ

n

k

k

y

y

n

10-16 设有阻尼比ξ＝0.2的单自由度结构受简谐荷载F P(t)= F tθ

sin作用，且有ω

θ75

.0

=。若阻尼比降低至ξ＝0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？

解：

2

2

2

2

2

2

2

4

1

1

ω

θ

ξ

ω

θ

ω

+

??

?

?

?

?

-

?

=

m

F

A

已知ξ从0.2降低至0.02. ω

θ75

.0

=，t

F

Fθ

sin

1

=，A不变。

1

2

2

2

2

2

2

1827

.0

16

9

02

.0

4

16

9

1

16

9

2.0

4

16

9

1

F

F

F

F

=

?

?

?

+

?

?

?

?

?

-

?

?

+

?

?

?

?

?

-

=

l

2

l

2

10- 77

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