小学六年级奥数最新版

第一讲 等差数列

知识要点与学法指导：

这一讲我们主要学习简单的数列求和，所用知识是等差数列的

数列：按一定次序排列的数叫数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做第1项（首项）、第2项……第n项（末项）。

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。

和＝（首项＋末项）×项数÷2

用字母表示为：s＝(a1＋an)×n÷2 项数＝（末项－首项）÷公差＋1

1

用字母表示为：n＝(an－a1)÷d＋1 末项＝首项＋公差×（项数－1） 用字母表示为：an＝a1＋d×(n－1)

例1 计算：3＋6＋9＋……＋90

【分析与解】

这是一个公差为3的等差数列，求和是多少，这个数列的首末两项和是3＋90＝93，而第二项与倒数第二项的和是6＋87＝93，可以发现，与首末等距离的两项的和都是93，于是可以想到，求这个数列的和，只要用首末两项的和乘以项数再除以2就可以了。但项数并不能直接看出来，需要用（末项－首项）÷公差＋1计算出来。

项数：(90－3)÷3＋1

＝87÷3＋1 ＝29＋1 ＝30

原式＝（3＋90）×30÷2

＝93×30÷2 ＝1395

试一试1

计算：19＋22＋25＋28＋……＋313

例2 试求大于100而小于200的所有4的倍数之和。

【分析与解】

每4个连续数必有一个数是4的倍数，大于100又是4的倍数的第一项是104，小于200又是4的倍数中最大的一个是200－4＝196即末项，这个数列的公差是4，通过首项、末项和公差可以求出

2

项数。这个数列即：104、108……196

项数：(196－104)÷4＋1

＝92÷4＋1 ＝23＋1 ＝24

数列和：(104＋196)×24÷2

＝300×24÷2 ＝3600

答：大于100而小于200的所有4的倍数和是3600试一试2

求大于100而小于200所有5的倍数的和。

例3 下面的一列数是不是等差数列？求出它的第90

2＋5 4＋8 6＋11 8＋14 10＋17……

【分析与解】

判断上面一列数是不是等差数列，可以分两步观察，做出分析，先分析第一个加数，再分析第二个加数，如果两个加数分别处在等差数列之中，那么它们的和一

2＋5 4＋8 6＋11 8＋14 10＋17 ……

第一个加数2、4、6、8、10 第二个加数5、8、11、14、17

第90项的第一个加数是：2＋（90－1）×2＝180 第二个加数是：5＋（90－1）×3＝272 第90项是：180＋272

3

答：第90项是180＋272 试一试3

下面的一列数是不是等差数列？求出它的第901＋7 3＋10 5＋13 7＋16 9＋19……

例4 求所有被3除余1

【分析与解】

由题意可知被3除余1的最小两位数是10，a1＝10，最大的两位数是97，an＝97，公差d＝3。要求这个数列的和S，必须先求项数n

n ＝(97－10)÷3＋1 ＝87÷3＋1 ＝29＋1 ＝30

s ＝(10＋97)×30÷2 ＝107×30÷2 ＝3210÷2 ＝1605

答：所有被3除余1的两位数的和是1605 试一试4

求所有被4除余1的两位数的和。

例5 小丽家的大时钟几点钟就敲几下，而且每半点也敲一下。

这只时钟一昼夜共敲了多少下？ 【分析与解】

我们先不考虑每半点敲的那些，从1点到12点，时钟分别敲了1、2、3……11、12下。这是一个a1＝1，an＝12，n＝12，d＝1的等差数列，求出数列的和S，再加上每半点敲的12下。因为一昼夜是

24小时，时钟要在钟面上转两圈，所以最后还应乘2。列式为：

［(1＋12)×12÷2＋12］×2

4

＝［78＋12］×2 ＝90×2 ＝180（下）

答：时钟一昼夜共敲180下。 试一试5

大时钟几点钟就敲几下，而且每半点敲一下。这只时钟两天共敲了多少下？

练习一

1.计算。

（1）34＋38＋42＋46＋50＋54

（2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋……＋199＋200

2.一个等差数列的首项是5，公差是2，那么它的第10项、第15项各是多少？

3.有一列数：1、5、9、13、17、21……问第1000个数是几？4921

4.①1＋5＋9＋13＋17＋……＋3997

②3＋6＋9＋12＋15＋……＋1995＋1998 5.（2＋4＋6＋8＋……＋198＋200）－（1＋3＋5＋7＋……＋197＋199）

6.小丽读一本小说，她第一天读30页，从第二天起她每天读的页数比前一天多3页，最后一天读了60页正好读完，这本书共有多少页？

7.有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少？

8.计算小于100的所有奇数的和。

9.被5除余1的两位数共有多少个？它们的和是多少？

5

10.已知墙上的挂钟几点钟就打点几下，每半点钟打点一下，问挂钟在一昼夜共打点多少下？从早上6点到晚上10点共打点几下？（钟面上只有1点—12

11.用1、2、3、5、7、13、17和19这八个数能组成多少个真分数？

12.一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，这个剧场一共设置了多少座位？

13.一个八角琉璃亭的顶部要铺琉璃瓦，它的八个斜面都是相同的等腰三角形，如果最上面一层铺1块琉璃瓦，往下每一层多铺2块，一共铺20层，一共需要多少琉璃瓦？

14.1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9＋……＋25＋26＋27－28

第二讲 整数、小数简便运算

知识要点与学法指导：

在进行整数、小数计算时，要根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质、公式，把一些较复杂的运算化繁为简，化难为易。常用到以下知识：

1.运算定律：

6

（1）加法交换律：a＋b＝b＋a

（2）加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c ) （3）乘法交换律：a×b＝b×a

（4）乘法结合律：(a×b) ×c＝a×(b×c ) （5）乘法分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c 2.去括号或添括号：

a＋(b＋c)＝a＋b＋c a×(b×c)＝a×b×c a＋(b－c)＝a＋b－c a×(b÷c)＝a×b÷c a－(b＋c)＝a－b－c a÷(b×c)＝a÷b÷c a－(b－c)＝a－b＋c a÷(b÷c)＝a÷b×c 3.积不变性质：若一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，则积不变。

4.商不变性质：若被除数和除数同时乘以或除以相同的非零数，则商不变。

5.等差数列求和公式：S＝(a1＋an)×n÷2

7

6.平方差公式：a2－b2＝(a＋b)×(a－b)

例1 计算：9999×7778＋3333×6666

【分析与解】

在这个算式的两个乘积中，因数之间存在着倍数关系：9999是3333的3倍。利用这个关系，可以把3333×6666转化成9999×2222这样原式转化为：

9999×7778＋3333×6666 ＝9999×7778＋9999×2222 ＝9999×（7778＋2222 ＝9999×10000 ＝99990000

想一想：如果计算9999×2222＋3333×3334，你该怎么转化？ 试一试1

0.9999×0.7＋0.1111×2.7

例2 计算2003×200420042004－2004×200320032003

【分析与解】

把200420042004分解成2004×100010001把200320032003分解成2003×100010001

2003×200420042004－2004×200320032003 ＝2003×2004×100010001－2004×2003×100010001＝0

试一试2

52×535353－53×525252

例3计算2004－2001＋1998－1995＋1992－1989＋…＋18－15

＋12

8

【分析与解】

题目中，上千个加数和减数进行加减混合运算，如果照常规按次序演算，那是非常的

观察题目里的运算符号：一加一减，一加一减，按规律排列；再看题目里的数字：或“加数”或“减数”，正好是两组等差数列。

原式＝(2004＋1998＋1992＋…＋24＋18＋12)

－(2001＋1995＋1989＋…＋27＋21＋15)

＝（2004＋12）×333÷2－（2001＋15）×332÷2 ＝1008×（333－332 ＝1008 本题运用分组、等差数列求和公式及提取公因数等技巧和方法，使计算巧妙且容易。

如果本题利用题中“一加一减”的组合规律，自左至右，按两个数为一

原式＝（2004－2001）＋（1998－1995）＋（1992－1989）＋…＋（24－21）＋（18－15）＋12

＝3×332＋12 ＝1008

注意：题目是“一加一减”为一组的，所以最后的加数“12”

试一试3

1994＋1993－1992－1991＋1990＋1989－1988－1987＋……＋6＋5－4－3＋2＋1

例4计算 7.12－6.72＋6.32－5.92＋5.52－5.12＋…＋3.12－2.72

【分析与解】

本题直接计算繁杂，易出错。如若分成两组，又找不到平方和的巧算规律；如若按一组一组的平方差来推算，试一试，能不能从

9

因为一个数的平方，相当于以这个数为边长的正方形面积，所以我们结合图形来研究两个较小数的平方差与这两个数之间有什么

“两个数的平方差，等于这两个数的和乘以这两个数的差”，这

7.12－6.72 7.12－6.72

＝50.41－44.89 ＝（7.1＋6.7）×（7.1－6.7） ＝5.52 ＝13.8×0.4

＝5.52

原式＝（7.1＋6.7）×（7.1－6.7）＋（6.3＋5.9）×（6.3－5.9）＋（5.5＋5.1）×（5.5－5.1）＋…＋（3.1＋2.7）×（3.1－2.7

＝（7.1＋6.7）×0.4＋（6.3＋5.9）×0.4＋（5.5＋5.1）×0.4＋…＋（3.1＋2.7）×0.4

＝（7.1＋6.7＋6.3＋5.9＋5.5＋5.1＋…＋3.1＋2.7）×0.4 ＝（7.1＋2.7）×12÷2×0.4 ＝9.8×2.4 ＝23.52

10

解题过程中，发现每一组平方差都是两数和的0.4倍，可以用等差数列求和公式，简算出所有加数的和，使全题进一步得到简化。 试一试4

20062－20042＋20022－20002＋19982－19962＋……＋62－42＋22

练习二

1. 3.71－2.74＋4.7＋5.29－0.26＋6.3 2. 125×69＋125×19

3. 4.75－9.63＋（8.25－1.37） 4. 14.15－（7.875－6.85）－2.125 5. 88888×3＋11111×76

6. 0.9999×2222＋0.3333×3334

7. 4.82×0.59－0.323×5.9＋0.41×1.59 8. 11×22＋0.22×3300＋330×4.4 9. 1997×19961996－1996×19971997 10. 1234×9090＋1234×909

11. 2004×20082008－2008×20042004 12. 20－19＋18－17＋……＋4－3＋2－1 13.100＋99－98＋97－96＋……＋3－2＋1

14.（2＋4＋6＋……＋2006）－（1＋3＋5＋……＋2005

15.（101＋103＋105＋……＋199）－（90＋92＋94＋……＋188）

16.2001＋1999－1997－1995＋1993＋1991－1989－1987＋……＋9＋7－5－3＋1

11

17.计算：

（1）51×49 （2）28×32 （3）20082－20072

18. 22－1.92＋1.82－1.72＋1.62－1.52＋1.42－1.32＋1.22－1.12

19. 992－972＋952－932＋……＋32－12

第三讲

知识要点与学法指导：

定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。解题时需注意以下几点：

1. 解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算顺序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

2. 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙、◎等，这是与四则运算中的“＋－×÷”不同的。

12

3. 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

例1

a⊙b＝a×b－（a＋b

求：（1）3⊙5；（2）（3⊙4）⊙5 【分析与解】

根据规定，这种新运算的意义就是：求两个数的积减去这两个数的和所得的差。对于题（2），应先算括号里的结果x，然后再算出x⊙5

解：（1）3⊙5＝3×5－（3＋5

＝15－8＝7

（2）因为3⊙4＝3×4－（3＋4

＝12－7 ＝5

所以（3⊙4）⊙5＝5⊙5

＝5×5－（5＋5）＝15

想一想：3⊙5与5⊙3相

我们知道，括号可以用来改变运算顺序，在有括号的算式中，应先算小括号里的，再算中括号里面的。人为定义的新运算中也有这条规定。 试一试1

将新运算 “*”定义为：a*b＝(a＋b)×(a－b)。求37*13

例2 将新运算“*”定义为：a*b＝b2＋a。求（4*8）*（3*7）

【分析与解】

13

按照定义，很容易求得4*8＝82＋4＝68，3*7＝72＋3＝52，再

（4*8）*（3*7）＝68*52＝522＋68＝2772

想一想：4*8与8*4

定义新运算都是人为规定的，所以这样的运算可以多种多样。 试一试2

设a△b＝a2＋2b，求10△6和（1△2）△（2△8）

例3 设p、q是两个数，规定p⊙q＝4×q－(p＋q)÷2，

求3⊙(4⊙6)。 【分析与解】

根据定义先算4⊙6。在这里，“⊙”是新的运算符号。

3⊙（4⊙6）

＝3⊙［4×6－(4＋6)÷2］ ＝3⊙19

＝4×19－(3＋19)÷2 ＝76－11 ＝65

试一试3

设p、q是两个数，规定p◎q＝p2＋(p－q)×2，求30◎（5◎3）

例4 如果2*3＝2＋3＋4＝9，5*4＝5＋6＋7＋8＝26，那么：

（1）求9*5的值 （2）解方程：x*3＝15 【分析与解】

“*”表示求连续自然数的和，“*”前的数表示第一个数（首项），“*

9*5＝9＋10＋11＋12＋13＝55

x*3＝x＋（x＋1）＋（x＋2）＝3x＋3

原方程可改写为：3x＋3＝15

14

解方程，得 x＝4 试一试4

如果3△2＝3＋5＝8 4△3＝4＋6＋8＝18

（1）求6△4 （2）解方程x△4＝32

例5 规定“□”的运算法则如下，对于任何整数a、b

2×a＋b－1（a＋b≥10）

a□b＝

2×a×b （a＋b＜10 求：（1□2）＋（2□3）＋（3□4）＋（4□5）＋（5□6）＋（6□7）＋（7□8）＋（8□9）＋（9□10 【分析与解】

这道题中实际上定义了两种运算，必须根据两个数的和的大小，确定对它们施行哪种新运算。不妨把a□b＝2×a＋b－1称为运算①，把a□b＝2×a×b称为运算②，对1□2，2□3，3□4，4□5，按运算②来算；对5□6，6□7，7□8，8□9，9□10，按运算①来算。

1□2＋2□3＋3□4＋4□5 ＝2×（1×2＋2×3＋3×4＋4×5 ＝2×（2＋6＋12＋20）＝80

5□6＋6□7＋7□8＋8□9＋9□10

＝2×（5＋6＋7＋8＋9）＋6＋7＋8＋9＋10－1×5 ＝2×35＋40－5＝105

所求的和为 80＋105＝185

总结与提示：按照新定义的运算求某个算式的结果，关键是要正确理解这种新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入

对新定义的运算式子，如果有括号，应先算括号里面的。但是

新定义的运算里，所引入的符号是随意的，而不是确定的、通

15

用的。它们在具体的题目中有特定的意义。解完题目后，它将失去

练习三

1. 设a*b＝4×a－5×b，试计算： （1）5*4；

（2）（6*4）*2

（3）求x*（2*x）＝18中x的值。

2. 如果a*b的含义表示a×b－a＋b，那么2*（4*6）*8的值是多少？

ab8

3. 规定a△b＝ － ，试求（5△3）＋ 的值。

ba15

4. 设a，b表示整数（不包括0

a◎b＝a÷b×2＋3×a－b，求169◎13的值。

5. 对于整数a，b，规定运算“*

a*b＝a×b－a＋1，又知（2*x）*2＝0，求x的值。

6. 对于任意非零自然数a，b，规定a*b＝a÷b×2＋3， 且256*a＝19，求a的值。

7. 规定运算如下：a△b＝（a＋b）×a，求（2△3）△5

16

8. 如果5*2＝5×6，2*3＝2×3×4，求3*4。

9. 定义新运算：x○y＝（x×y）＋（x＋y） （1）求6○2 （2）若5○a＝23 求：a

10. 如果2◎4＝24÷（2＋4），3◎6＝36÷（3＋6） （1）求8◎4 （2）解方程a◎8＝2

11. 定义三种运算“△”、“□”、“○”，对于两数x、y， 有x△y＝2x＋2，x□y＝x×y＋1，x○y＝y－1。 求：[1○（4□5）] △1000

2x＋y (x≥y) 12. 规定x△y＝

x＋2y (x＜y) 求：1△2△4

第四讲 鸡兔同笼问题

知识要点与学法指导：

鸡兔同笼的基本问题是：已知鸡、兔总头数和总脚数，求鸡、

17

（1）解决鸡兔同笼问题的方法通常是用假设法，解题思路是：先假设笼子里装的全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。

（2）将基本问题中同笼的是鸡、兔两种不同东西，还可以引伸

注意：鸡兔同笼问题的两种变型均可转化成基本问题来解决。

例1 在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个

头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只？【分析与解】

题目中给出了鸡、兔共有40只，如果让兔子把前两只脚抬起来，身子直立，那么兔子就成了2只脚（即把兔子都当成两只脚的鸡），鸡兔总的脚数是40×2＝80（只），比题中所说的130只要少130－80＝50（只）。

现在让兔子把抬起的两只前脚放下来，每只兔子会增加2只脚，多少只兔子才会增加50只脚呢？显然是50÷2＝25（只）因此，兔子数是50÷2＝25

解一： 兔：（130－40×2）÷（4－2

＝（130－80）÷2 ＝50÷2

18

＝25 鸡：40－25＝15

解二：把鸡和兔都想象成一半脚着地，就会有130÷2＝65（只）脚，鸡是1个头对1只脚，而兔却1个头对两只脚，因此用一半脚数减去总头数，得到的应该是每只兔多出1只脚的总数，多几只脚就有几只兔。兔有65－40＝25（只）；鸡有40－25＝15（只）；

列式计算 兔：130÷2－40＝25（只） 鸡：40－25＝15（只）； 答：笼子中有兔子25只，有鸡15 想一想：用方程怎么解答？ 试一试1

有一首民谣：“一队猎手一队狗，二队并着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九。”问民谣中有多少个猎手和多少条狗？

例2 停车场共停24辆车，其中有4个轮子的汽车和3个轮子

的摩托车。这些车共有86 【分析与解】

假设这24辆车都是3个轮子，那么一共有3×24＝72个轮子。比实际轮子数少了86－72＝14个轮子。为什么会少了14个轮子呢？因为我们把4个轮子的汽车假设成3个轮子来计算了，每辆汽车少算了（4－3）个轮子。14÷1＝14说明这24辆车中有14辆是汽车，有24－14＝10

算式为（86－3×24）÷（4－3）＝14

24－14＝10

答：汽车有14辆，摩托车有10 你会列方程求解吗？ 试一试2

小明的妈妈买了苹果和梨共10千克，一共花了27元钱。已知苹果的价钱是每千克3元，梨是每千克2元，求这两种水果各买了多少千克？

19

例3 数学竞赛抢答题共10道题，规定答对一题得15分，答

错一题倒扣10分（不答按答错计算）。小敏回答了所有的问题，结果共得100 【分析与解】

假设小敏10道题都答对了，应该得15×10＝150（分），比实际得分多算了150－100＝50（分）。因为这10道题中有答错的题。每答错一题，不仅不能得15分，而且还要倒扣10分。也就是说，错一题比对一题减少15＋10＝25（分）。50÷25＝2，所以，小敏答错了2道题，答对了8

（15×10－100）÷（15＋10）＝2

10－2＝8

答：小敏答对8道题，答错2道题 试一试3

李明参加射击比赛，共打20发，约定每打中一发记10分，脱靶一发扣6分，结果得了168分。他一共打中了多少发？

例4 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿

和1对翅膀，现在这三种昆虫共21只，有140条腿和24对翅膀，

【分析与解】

此题中出现了3种昆虫，不仅有腿的比较，而且又出现了翅膀，

解此题的关键就是将3种昆虫转化为2种昆虫，这样解起来就比较容易了。突破口在于，蝉和蜻蜓都有6

解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目考虑，可以把昆虫分成“8条腿”和“6条腿”两种，利用基本关系式算出8条腿的蜘蛛数：

（140－6×21）÷（8－6 ＝（140－126）÷2

20

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/po9x.html