线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习

第一章 行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).

(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351

2．如果n阶排列j1j2?jn的逆序数是k, 则排列jn?j2j1的逆序数是( (A)k (B)n?k (C)

n!n(n2?k (D)?1)2?k3. n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有( )项.

(A) 0 (B)n?2 (C) (n?2)! (D) (n?1)!

00014．

00100100?( ). 1000(A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2

00105.

01000001?( ).

1000(A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2

2xx?116．在函数f(x)??1?x1232?x3中x3项的系数是( ).

0001 (A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2

). 1

a11a12 a22a327. 若D?a21a311a23?，则D1?2a212a332a31a132a11a13 a23a33a11?2a12a21?2a22? ( ). a31?2a32 (A) 4 (B) ?4 (C) 2 (D) ?2 8．若

a11a12a21a22?a，则

a12a11ka22ka21? ( ).

(A)ka (B)?ka (C)k2a (D)?k2a

9． 已知4阶行列式中第1行元依次是?4,0,1,3, 第3行元的余子式依次为

?2,5,1,x, 则x?( ).

(A) 0 (B)?3 (C) 3 (D) 2

?87436?23?110. 若D?，则D中第一行元的代数余子式的和为( ).

111143?75(A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

3040111111. 若D?，则D中第四行元的余子式的和为( ).

0?10053?22(A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

?x1?x2?kx3?0?12. k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组?x1?kx2?x3?0有非零解.

?kx?x?x?023?1( )

(A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

二、填空题

2

1. 2n阶排列24?(2n)13?(2n?1)的逆序数是2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是3．四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是

.

.

.

4．若一个n阶行列式中至少有n2?n?1个元素等于0, 则这个行列式的值等于

.

105. 行列式

0000111010001011020001?10??00.

6．行列式

0n????n?1?0?.

a11?a1(n?1)a21?a2(n?1)7．行列式

??an1?a11a12 a22a32a1n00a11a13?3a12 3a12a23?3a22a33?3a323a22?3a32?.

0a138．如果D?a21a31a23?M，则D1?a21a33a31.

9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为

.

3

1?11x?11?1x?1?110．行列式?1x?11?1x?1?11?11??111??11．n阶行列式

?11则该行列式的值为

.

.

?1?1???1??.

12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，

1513．设行列式D?482637372648，A4j(j?1,2,3,4)为D中第四行元的代数余子式，15.

则4A41?3A42?2A43?A44?ac14．已知D?babbaccaab， D中第四列元的代数余子式的和为ccbd1234.

15．设行列式D?3344??6，A4j为a4j(j?1,2,3,4)的代数余子式，则

15671122，A43?A44?.

A41?A42?4

11320503?2n?1?0?016．已知行列式D?1，D中第一行元的代数余子式的和为

???100?n.

?kx1?2x217．齐次线性方程组??x3?0?2x1?kx?0仅有零解的充要条件是.

?2?x1?x2?x3?0?18．若齐次线性方程组?x1?2x2?x3?0?2x2?5x3?0有非零解，则k=.

???3x1?2x2?kx3?0

三、计算题

abcd2

a21.bc2d2xyx?ya3b3c3d3; 2．yx?yx；b?c?da?c?da?b?da?b?cx?yxy

xa1a2?an?201x1a1xa2?an?23．解方程101xa1a2x?an?2x110?0； 4．

????1x10a1a2a3?xa1a2a3?an?1 ；

5

11111

a015. 11a111?111(aj?1,j?0,1,?,n)；

1?a2????111?an 111?131?b1?16. 112?b?1???111?(n?1)?b

111?1b1a1a1?a17. b1b2a2?a2； ???b1b2b3?an

1?x21x1x2?x1xn9.

x2x11?x22?x2xn??; xnx1xnx2?1?x2n

1?aa00?11?aa011．D?0?11?aa00?11?a000?1

6

xa1a2?ana1xa2?an 8．a1a2x?an; ???a1a2a3?x210?00121?00 10.

012?00????000?21000?12000.

a?a

1

四、证明题

1a21b2?a2?ab1a1111．设abcd?1，证明：

b2b?0. c2?1c2c1c1d2?11d2dd1

a1?b1xa1x?b1c1a1b1c12．a2?b2xa2x?b2c2?(1?x2)a2b2c2. a3?b3xa3x?b3c3a3b3c3

11113．abcda2b2c2d2?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)(a?b?c?d). a4b4c4d4

11?1a1a2?an4．

a21a22?a2nn????ai(aj?ai).

i?11??i?j?nan?21an?2n?22?anan1an2?ann

1115．设a,b,c两两不等，证明abc?0的充要条件是a?b?c?0. a3b3c3

7

参考答案

一．单项选择题

A D A C C D A B C D B B 二．填空题

1.n; 2.“?”; 3.a14a22a31a43; 4.0; 5.0; 6.(?1)n?1n!; 7.(?1)n(n?1)2a1na2(n?1)?an1; 8.?3M; 9.?160; 10.x4; 11.(??n)?n?1; 12.?2;

n113.0; 14.0; 15.12,?9; 16.n!(1??); 17.k??2,3; 18.k?7

k?1k三．计算题

1．?(a?b?c?d)(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)； 2. ?2(x3?y3)； 3. x??2,0,1; 4.

nn?(x?ak?1n?1k)

5.

?(ak?1)(1??k?0n1); 6. ?(2?b)(1?b)?((n?2)?b);

k?0ak?1nn7. (?1)?(bk?1nk?ak); 8. (x??ak)?(x?ak);

k?1k?19. 1??xk; 10. n?1;

k?1n11. (1?a)(1?a2?a4). 四. 证明题 (略)

8

第二章 矩阵

一、单项选择题

1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是( )。 (a)

A2?A2(b)

A2?B2?(A?B)(A?B) (c)

(A?B)A?A2?AB

(d)(AB)T?ATBT 2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足( )时，B=C。

(a) AB =BA (b) A?0 (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B、C可逆 3.若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA?( )。 (a) kA (b)

kA (c) knA (d) kA

n4.设A为n阶方阵，且A?0，则( )。

(a) A中两行(列)对应元素成比例 (b) A中任意一行为其它行的线性组合

(c) A中至少有一行元素全为零 (d) A中必有一行为其它行的线性组合 5.设A，B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。 (a) (A?B)?1?A?1?B?1 (b) (AB)T?AB

(c) (A?1?B)T?A?1?B (d) (A?B)?1?A?1?B?1 6.设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵,则( )。 (a) (a) A*?A?1 (b) A*?A (c) A*?An?1 (d) A*?An?1

7. 设A为3阶方阵,行列式A?1,A*为A的伴随矩阵,则行列式

(2A)?1?2A*?( )。

(a) ?278278 (b) ? (c) (d) 8278279

8. 设A，B为n阶方矩阵,A2?B2,则下列各式成立的是( )。

(a) A?B (b) A??B (c) A?B (d) A?B 9. 设A，B均为n阶方矩阵,则必有( )。

(a) A?B?A?B (b) AB?BA (c) AB?BA (d) A?B 222210.设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。 （a）2A?2AT (b) (2A)?1?2A?1

(c) [(A?1)?1]T?[(AT)T]?1 (d) [(AT)T]?1?[(A?1)T]T

?a11a12a13??a11?3aa12?3a32a13?3a33?11.如果A??aaa?2122a??3123???a22a?23?，则A?（?a31a32a33???21?a31a32a33???100??10?3??00?3??1 （a）??010?? (b) ??010?? (c) ??010?? (d) ?001????301????001????101????0?3?131?12.已知A???220??，则（ ）。

??311?? （a）AT?A (b) A?1?A*

?100??113??100??113? （c）A??001?????202?? （d）??001??A???202??

??010????311????010????311??13.设A,B,C,I为同阶方阵，I为单位矩阵，若ABC?I，则（ ）。

（a）ACB?I （b）CAB?I （c）CBA?I （d）BAC?I 14.设A为n阶方阵，且|A|?0，则（ ）。 （a）A经列初等变换可变为单位阵I

（b）由AX?BA，可得X?B

10

）。

0?0?? 1??

和y的值▁▁▁▁.

14. 两向量线性相关的充要条件是▁▁▁▁.

三、计算题

1. 设?1?(1??,1,1)T，?2?(1,1??,1)T，?3?(1,1,1??)T，

??(0,?,?2)，问

（1）?为何值时，?能由?1,?2,?3唯一地线性表示？

（2）?为何值时，?能由?1,?2,?3线性表示，但表达式不唯一？ （3）?为何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？

2. 设?1?(1,0,2,3)T，?2?(1,1,3,5)T，?3?(1,1,a?2,1)T，

T?4?(1,2,4,a?8)T，??(1,1,b?3,5)T问：

（1）a,b为何值时，?不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？ （2）a,b为何值时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？

3. 求向量组?1?(1,?1,0,4)T，?2?(2,1,5,6)T，?3?(1,2,5,2)T，

?4?(1,?1,?2,0)T，?5?(3,0,7,14)T的一个极大线性无关组，

并将其余向量用该极大无关组线性表示。

4. 设?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,3)T，?3?(1,3,t)T，t为何值时?1,?2,?3线性相

关，t为何值时?1,?2,?3线性无关？

5. 将向量组?1?(1,2,0)T， ?2?(?1,0,2)T，?3?(0,1,2)T标准正交化。

四、证明题

1. 设?1??1??2,?2?3?2??1,?3?2?1??2，试证?1,?2,?3线性相关。

21

2. 设?1,?2,??,?n线性无关，证明?1??2,?2??3,??,?n??1在n为奇数时线性无关；在n为偶数时线性相关。

3. 设?1,?2,??,?s,?线性相关，而?1,?2,??,?s线性无关，证明?能由

?1,?2,??,?s线性表示且表示式唯一。

4. 设?1,?2,?3线性相关，求证?4不能由?1,?2,?3线性表示。 ?2,?3,?4线性无关，5. 证明：向量组?1,?2,??,?s(s?2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。

6. 设向量组?1,?2,??,?s中?1?0，并且每一个?i都不能由前i?1个向量线性表示(i?2,3,?,s)，求证?1,?2,?,?s线性无关。

7. 证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。

8.设?0,?1,?2,?,?s是线性无关向量组，证明向量组

?0,?0??1,?0??2,?,?0??s也线性无关。

22

第三章向量参考答案

一、 单项选择

1.b 2.d 3.a 4.b 5.b 6.d 7.d 8.a 9.b 10.c 11.c 12.d 13.a 14.b 15. a 二、填空题

1. 5 2.相关 3. ??0 4.相关 5.无关 6.线性无关 7. -1

8.无关 9.相等 10. ? 11.线性无关 12. 0 13. x??1,y??14.对应分量成比例 三、解答题

1. 解：设??x1?1?x2?2?x3?3

?(1??)x1?x2?x3?0? 则对应方程组为?x1?(1??)x2?x3??

?x?x?(1??)x??223?11??11??1111????2(??3)

12

其系数行列式A?11（1）当??0,???3时，A?0，方程组有唯一解，所以?可由?1,?2,?3唯一地线性表示;

?1110??1110?????（2）当??0时，方程组的增广阵 A??1110???0000?，

?1110??0000?????r(A)?r(A)?1?3，方程组有无穷多解，所以?可由?1,?2,?3线性表示，

但表示式不唯一;

（3）当???3时，方程组的增广阵

10???21?1?21?3?????A??1?21?3???0?33?12?，r(A)?r(A)，方程组无解，

?1?000?18?1?29?????

23

所以?不能由?1,?2,?3线性表示。 2.解:以?1,?2,?3,?4,?为列构造矩阵

?1??0?2??3??1?1111???01121??0??3a?24b?3???51a?85??0??111112a?101?41?a200?41??1?0? ??b???不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合； （1）当a??1且b?0时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合。 （2）当a??1,b任意时，?1??13.解：(?1,?2,?3,?4,?5)???0??4?2156113??1??2?10??0?5?27??0???2014???00?111000002??01?

1?1??00???1,?2,?4为一个极大无关组，且?3???1??2?0?4, ?5?2?1??2??4

1114.解：?1,?2,?3?123?t?5，

13t当t?5时?1,?2,?3线性相关，当t?5时?1,?2,?3线性无关。 5.解：先正交化：

令?1??1??1,2,0?

T ?2??2??,?2??1,?1??42??1=??,,2? ?1??55?T??,?3??3?3??1,再单位化：

24

??,?2??=?1?1?11??1?3,?,?? 2??2,?2??3?1?66?T

??1?1?1??,??1?52?2?2?,0??????,，2???2?530?1??? 6?TT130,5???， 30?T??21?3?3??,?,?3?6?6?1,?2,?3为标准正交向量组。

四、证明题

1.证：∵3(?1??2)?4(2?1??3)?0

∴?5?1?3?2?4?3?0 ∴?1,?2,?3线性相关

2.证：设k1(?1??2)?k2(?2??3)???kn(?n??1)?0

则(k1?kn)?1?(k1?k2)?2??(kn?1?kn)?n?0 ∵?1,?2,??,?n线性无关

?k1?kn?0?k?k?0?12∴?

?????kn?1?kn?0110011001???000100其系数行列式

?2,n为奇数=1?(?1)n?1??

???????0,n为偶数000?10000?11∴当n为奇数时，k1,k2,??,kn只能为零，?1,?2,??,?n线性无关； 当n为偶数时，k1,k2,??,kn可以不全为零，?1,?2,??,?n线性相关。

25

7. 如果n阶方阵A的各行元素之和均为0，且r(A)?则线性方程组AX?0n?1，的通解为 .

8. 若n元齐次线性方程组AX?0有n个线性无关的解向量，则A? .

1??12?1??x1???????9. 设A??23a?2?,b??3?,x??x2?，若齐次线性方程组AX?0只有零解，

?1a?2??0??x??????3?则a? .

1??12?1??x1???????10. 设A??23a?2?,b??3?,x??x2?，若线性方程组AX?b无解，则

?1a?2??0??x??????3?a? .

11. n阶方阵A，对于AX?0，若每个n维向量都是解，则r(A)? . 12. 设5?4矩阵A的秩为3，?1,?2,?3是非齐次线性方程组AX?b的三个不同的

解向量，若?1??2?2?3?(2,0,0,0)T,3?1??2?(2,4,6,8)T，则AX?b的通解为 .

13. 设A为m?n矩阵，r(A)?r?min(m,n)，则AX?0有 个解，有 个线

性无关的解. 三、计算题

1. 已知?1,?2是齐次线性方程组AX?0的一个基础解系，问,?3?1??2,??2?,?3??3是否是该方程组的一个基础解系？为什么？

?5?02. 设A???3??1433?1???1?2010??5?6001?1226??，B???，已知B的行向量都是线?1?2100?211?3????1111?1?23?20??性方程组AX?0的解，试问B的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么？

31

?x?x?03. 设四元齐次线性方程组为 （Ι）：?12

?x2?x4?01）求（Ι）的一个基础解系

2）如果k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组（Ι）和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。

4. 问a,b为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部解（用基础解系表示全部解）。

?x1?ax2?x3?a?x1?x2?bx3?4??1）?ax1?x2?x3?1 2）??x1?bx2?x3?b2

?x?x?ax?a2?x?x?2x??433?12?125. 求一个非齐次线性方程组，使它的全部解为

?x1? ?x2?x?3???????1?1???3?????c1????1?3??2?2???????c?3.(c1为,c2任意实数 )?2?????1????2?213?6. 设A??，求4?2一个矩阵B，使得AB?0，且r(B)?2。 ??9?528?

32

参考答案

一、单项选择题

1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C

二、填空题

1.100 2.k??2且k?3 3.1 4.r 5.m 6. 7

7. k(1,1,?,1)T （k为任意实数） 8.0 9. a??1或3 10.a??1 11. 0

112. (,0,0,0)T?k(0,2,3,4)T,k任意实数 13.无穷，n?r

2三、计算题 1. 是 2. 不能

3. 1）v1?(0,0,1,0)T,v2?(?1,1,0,1)T 2）k(?1,1,1,1)T(其中k为任意非零常数)

1?a1(1?a)2T（-,,）；4. 1）当a??2时，无解；当a??2且a?1时有唯一解：

2?a2?a2?a当a?1时有无穷多解：c1(?1,1,0)T?c2(?1,0,1)T?(1,0,0)T(其中c1,c2为任意常数)

2）当b??1时，无解；当b??1且b?4时有唯一解：b(b?2)b2?2b?42bT（,,?）；当b?4时有无穷多解：

b?1b?1b?1c(?3,?1,1)T?(0,4,0)T(其中c为任意常数) 5. 9x1?5x2?3x3??5

0??1??01? 6. ??11212????5212????

33

第五章 特征值与特征向量

一、单项选择题

?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( )。

?100???(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2

?110???2. 设A??101?,则A的特征值是( )。

?011???(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1 3. 设A为n阶方阵, A2?I,则( )。

(a) |A|?1 (b) A的特征根都是1 (c) r(A)?n (d) A一定是对称阵 4. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( )。

(a) k1?0且k2?0 (b) k1?0且k2?0 (c) k1k2?0 (d) k1?0且k2?0 5. 若n阶方阵A,B的特征值相同,则( )。

(a) A?B (b) |A|?|B| (c) A与B相似 (d) A与B合同 6. 设A为n阶可逆矩阵, ?是A的特征值,则A*的特征根之一是( )。 (a) ??1|A|n (b) ??1|A| (c) ?|A| (d) ?|A|n

17. 设2是非奇异阵A的一个特征值,则(A2)?1至少有一个特征值等于( )。

3(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/4

8. 设n阶方阵A的每一行元素之和均为a(a?0),则2A?1?E有一特征值为

34

( )。

(a)a (b)2a (c)2a+1 (d)

2 +1 a9. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ ）。

(a)线性相关 (b)线性无关 (c)两两相交 (d)其和仍是特征向量 10. |A|?|B|是n阶矩阵A与B相似的( )。

(a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件 11. n阶方阵A有n个不同的特征根是A与对角阵相似的( )。 (a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件

?1??12. 设矩阵A???1?1??1??000?????B?010与???相似,则?,?的值分别为( )。

?002?1????(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1 13. 设A,B为相似的n阶方阵,则( )。

(a)存在非奇异阵P,使P?1AP?B (b)存在对角阵D,使A与B都相似于D (c)存在非奇异阵P,使PTAP?B (d)A与B有相同的特征向量 14. 若n阶方阵A与某对角阵相似,则( )。

(a) r(A)?n (b) A有n个不同的特征值 (c) A有n个线性无关的特征向量 (d) A必为对称阵

15. 若A相似于B,则( )。

(a) ?I?A??I?B (b) |?I?A|?|?I?B| (c) A及B与同一对角阵相似 (d) A和B有相同的伴随矩阵

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