极坐标与参数方程经典练习题含答案

高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

x 2 5t

1．曲线 (t为参数)与坐标轴的交点是（ ）．

y 1 2t

(,0) B．(0,)(,0) C．(0, 4)、(8,0) (8,0) D．(0,)、A．(0,)2．把方程xy 1化为以t参数的参数方程是（ ）．

1 x sint x cost x tant2x t A． B． C． D．111 1

y y y y t 2 sintcosttant

2

512151259

3．若直线的参数方程为

A．

x 1 2t

(t为参数)，则直线的斜率为（ ）．

y 2 3t

2323

B． C． D． 3232

4．点(1,2)在圆

x 1 8cos

的（ ）．

y 8sin

B．外部

C．圆上 D．与θ的值有关

A．内部

1 x t

5．参数方程为 t(t为参数)表示的曲线是（ ）．

y 2

A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线

x 3 2cos x 3cos

6．两圆 与 的位置关系是（ ）．

y 4 2sin y 3sin

A．内切 B．外切

C．相离 D．内含

x t为参数)等价的普通方程为（ ）． 7

．与参数方程为

y y2y22 1 B．x 1(0 x 1) A．x 44

2

y2y22 1(0 y 2) D．x 1(0 x 1,0 y 2) C．x 44

2

8．曲线

x 5cos

( )的长度是（ ）．

y 5sin 3

5 10 D． 33

A．5 B．10 C．

9．点P(x,y)是椭圆2x2 3y2 12上的一个动点，则x 2y的最大值为（ ）．

A

． B

． C

D

1

x 1 t 2

10

．直线 (t为参数)和圆x2 y2 16交于A,B两点，

y 2

则AB的中点坐标为（ ）．

A．(3, 3) B

．( C

． 3) D

．(3,

x 4t2

11．若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线 (t为参数)上，则|PF|等于（ ）．

y 4t

A．2 B．3 C．4 D．5 12．直线

x 2 t

(t为参数)被圆(x 3)2 (y 1)2 25所截得的弦长为（ ）．

y 1 t

1

C

D

4

A

B．40

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

t t

x e e

(t为参数)的普通方程为__________________． 13．参数方程 t t

y 2(e e)

x 2(t为参数)上与点A(

2,3)_______． 14

．直线

y 315．直线

x tcos x 4 2cos

与圆 相切，则 _______________．

y tsin y 2sin

2

2

16．设y tx(t为参数)，则圆x y 4y 0的参数方程为____________________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

求直线l1:

x 1 t

(t为参数

)和直线l2:x y 0的交点P的坐标，及点P

y 5 与Q(1, 5)的距离．

18．（本小题满分12分）

过点P作倾斜角为 的直线与曲线x2 12y2 1交于点M,N， 求|PM| |PN|的值及相应的 的值． 19．（本小题满分12分）

已知 ABC中，A( 2,0),B(0,2),C(cos , 1 sin )( 为变数)， 求 ABC面积的最大值．

20．（本小题满分12分）已知直线l经过点P(1,1),倾斜角 （1）写出直线l的参数方程．

（2）设l与圆x2 y2 4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积． 21．（本小题满分12分）

6

，

1t tx (e e)cos 2

分别在下列两种情况下，把参数方程 化为普通方程：

1 y (et e t)sin 2

（1） 为参数，t为常数；（2）t为参数， 为常数．

22．（本小题满分12分）

已知直线l过定点P( 3, )与圆C：

32

x 5cos

( 为参数)相交于A、B两点．

y 5sin

求：（1）若|AB| 8，求直线l的方程；

（2）若点P( 3, )为弦AB的中点，求弦AB的方程．

答案与解析：

32

211，而y 1 2t，即y ，得与y轴的交点为(0,)； 555111

当y 0时，t ，而x 2 5t，即x ，得与x轴的交点为(,0)．

222

1．B 当x 0时，t

2．D xy 1，x取非零实数，而A，B，C中的x的范围有各自的限制． 3．D k

y 2 3t3 ． x 12t2

4．A ∵点(1,2)到圆心(

1,0) 8(圆半径)

∴点(1,2)在圆的内部．

5．D y 2表示一条平行于x轴的直线，而x 2,或x 2，所以表示两条射线．

6．B

5，两圆半径的和也是5，因此两圆外切．

y2y222

1 t 1 x,x 1,而t 0,0 1 t 1,得0 y 2． 7．D x t,44

2

8．D 曲线是圆x2 y2 25的一段圆弧，它所对圆心角为

所以曲线的长度为

3

2

． 3

10

． 3

x2y2

1，设P ,2sin )，

9．D 椭圆为64

x 2y 4sin )

10．D

(1

t t122t) ( ) 16，得t2 8t 8 0，t1 t2 8,12 4，

221

x 1 4 2 x 3

中点为

y y 4

|PF|为P(3,m)到准线x 1的距离，11．C 抛物线为y2 4x，准线为x 1，即为4．

x 2

x 2 t x 2 t 212．C

，把直线

y 1 ty 1 t y 1 2

代入(x 3) (y 1) 25，得( 5 t) (2 t) 25,t 7t 2 0，

2

2

2

2

2

|t1 t2|

t1 t2|

y

x et e tx 2et

yyxy 2 (x )x( )．4 1,(x 2) y13． t t

22416 e e x y 2e t

2 2

2

2

14．( 3,4),或( 1,2)

() ) ,t 15．

2222

1,t 22

5 22

，或 直线为y xtan ，圆为(x 4) y 4，作出图形，相切时，

66

易知倾斜角为

5

，或．

66

4t

x 4t 1 t222

x 0x 16． ，当时，，或； y 0x (tx) 4tx 022

1 t y 4t

1 t2 4t

x 4t2 1 t2

而y tx，即y ，得 ． 22

1 t y 4t

1 t2

17

．解：将

x 1 t

，代入x y

0，得t ，

y 5 得P(1 ，而Q(1, 5)，

得|PQ|

tcos x

18

．解：设直线为 (t为参数)，代入曲线

y tsin

并整理得(1 sin )t )t

2

2

3

0， 2

3则|PM| |PN| |t1t2| ， 21 sin

3 2

所以当sin 1时，即 ，|PM| |PN|的最小值为，此时 ．

242

19．解：设C点的坐标为(x,y)，则

2

2

x cos

，

y 1 sin

即x (y 1) 1为以(0, 1)为圆心，以1为半径的圆． ∵A( 2,0),B(0,2)，

∴|AB| 且AB的方程为

xy

1， 22

即x y 2 0，

则圆心(0, 1)到直线AB

∴点C到直线AB

的最大距离为1 ∴S

ABC的最大值是

1 (1 3 ． 2 x 1 tcosx 1 620．解：（1）直线的参数方程为 ，即 ，

y 1 tsin y 1 1t 6

2

x 1 ，代入x2 y2 4，

（2

）把直线

y 1 1t 2

得(121

) (1 t)2 4,t2 1)t 2 0， 2

t1t2 2，则点P到A,B两点的距离之积为2．

21．解：（1）当t 0时，y 0,x cos ，即x 1,且y 0； 当t 0时，cos

x1t t

(e e)2

,sin

y1t t(e e)2

，

而x y 1，

22

即

x2

t

(e e t)24

y2

t t2(e e)4

1；

（2）当 k ,k Z时，y 0，x

1t

(e e t)，即x 1,且y 0； 2

1t t

当 k ,k Z时，x 0，y (e e)，即x 0；

22

2x t t

e e k cos ,k Z时，得 当 ，

2y2 et e t

sin

2x2y t

2e 2x2y2x2y cos sin t t

)( )， 即 ，得2e 2e (

cos sin cos sin t2x2y

2e cos sin 即x2y2

cos2

sin2

1． 22．解：（1）由圆C的参数方程

x 5cos

5sin

x2 y2 25，

y x 3 tcos设直线l的参数方程为①

(t为参数)， y 3

2

tsin 将参数方程①代入圆的方程x2 y2 25 得4t2

12(2cos sin )t 55 0， ∴△ 16[9(2cos sin )2

55] 0， 所以方程有两相异实数根t1、t2，

∴|AB| |t 1 t2| 8，

化简有3cos2

4sin cos 0， 解之cos 0或tan

34

， 从而求出直线l的方程为x 3 0或3x 4y 15 0．

（2）若P为AB的中点，所以t1 t2 0，

由（1）知2cos sin

0，得tan 2，

故所求弦AB的方程为4x 2y 15 0(x2

y2

25)．

备用题：

1．已知点P(x0,y x 3 8cos

0)在圆

上，则

y 2 8sin x0、y0的取值范围是（ A． 3 x0 3, 2 y0 2 B．3 x0 8, 2 y0 8

）．

C． 5 x0 11, 10 y0 6

D．以上都不对

1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C． 2．直线

A．

x 1 2t

(t为参数)被圆x2 y2 9截得的弦长为（ ）．

y 2 t

12 D

C

B

5

x 1 x 1 2t

2．B

y 2 t y 1

x 1 2t，把直线 代入 y 2 t x2 y2 9得(1 2t)2 (2 t)2 9,5t2 8t 4 0，

12

|t1 t2|

t1 t2| 5

x 2pt2

3．已知曲线 (t为参数,p为正常数)上的两点M,N对应的参数分别为t1和t2,，

y 2pt 且t1 t2 0，那么|MN| _______________．

3．即x轴， 4p|t1| 显然线段MN垂直于抛物线的对称轴，|MN| 2p|t1 t2| 2p|2t1|．

x cos (sin cos )

4．参数方程 ( 为参数)表示什么曲线？

y sin (sin cos )

yy2112

,cos 4．解：显然 tan ，则2 1 ，

y2xxcos2

1x2

n x cos si

2

1

c o2

s in 2

2

cs1

22ta n

2

1 ta n

2

cos，

yy

1

y2y11x(1 ) 1， 即x ，

x2xy2y2y22

1 21 21 2

xxx

2

y2y

1， 得x xx

即x y x y 0．

2

2

5．已知点P(x,y)是圆x2 y2 2y上的动点， （1）求2x y的取值范围；

（2）若x y a 0恒成立，求实数a的取值范围．

x cos

5．解：（1）设圆的参数方程为 ，

y 1 sin

2x y 2cos sin 1 ) 1，

∴1 2x y 1．

（2）x y a cos sin 1 a 0，

∴a (cos sin ) 1

即a

4

) 1恒成立，

1．

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