江苏省泰州中学2010届高三数学基础题训练(21-24)

江苏省泰州中学2010届高三数学基础题训练

（21）

1．?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2B?A?C，b?2，则a?c的取值范围是

x2y2122．已知??1(m?0,n?0)则当mn取得最小值时，椭圆2?2?1的离心率是____

mnmn3.下表给出一个“直角三角形数阵”

1 411 ,

24333,, 4816

??

满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(i?j,i,j?N?),则a83等于 .

2π，则a,b,c的大小关系是 . 51(2?，则5．定义在R上的函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy（x，y?R），f)f(?3)等于 .

a2226.在?ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若b?c?2bc?a,且?2,则∠

b4. 若a?2，b?logπ3，c?log2sin0.5C= ．

7.设m,n是异面直线，则①一定存在平面?，使m??且n//?；②一定存在平面?，使m??且n??；③一定存在平面?，使m,n到?的距离相等；④一定存在无数对平面?和?，使m??,n??,且???.上述4个命题中正确命题的序号是 .

8.对于在区间[a,b]上有意义的两个函数f(x)和g(x)，如果对任意x?[a,b]，均有|f(x)?g(x)|?1, 那么我们称f(x)和g(x)在[a,b]上是接近的．若f(x)?log2(ax?1)与g(x)?log2x在闭区间[1,2]上是接近的，则a的取值范围是 ． 9.关于函数f(x)?sinx?()?1有下列四个个结论：①f(x)是奇函数.②当x?2003时，2131f(x)?.③f(x)的最大值是.④f(x)的最小值是?.其中正确结论的序号

2222|x|23是 .

10．已知数列?an?中，a1?2，a2?3，其前n项和Sn满足Sn?1?Sn?1?2Sn?1其中（n?2，

nn?N*）．（1）求数列?an?的通项公式；（2）设bn?4?(1)?*n?12?(?an，?为非零整数，n?N*）

试确定?的值，使得对任意n?N，都有bn?1?bn成立．

11．一个四棱锥的直观图和三视图如图所示：

P

B

A CD （Ⅰ）求三棱锥A-PDC的体积；

（Ⅱ）试在PB上求点M，使得CM∥平面PDA；

PP1B2ABCB1CD1Ax2y2??1.12．圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为

mn圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分

x2y2?1弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：已知直线l与曲线C：?mn交于A,B两点，AB的中点为M，若直线AB和OM(O为坐标原点)的斜率都存在，则

kAB?kOM??n.这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.（Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂m径定理”；（Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：(1)过点P(1,1)作直线l与

x2y2??1交于A,B两点，求AB的中点M的轨迹W的方程； 椭圆42(2)过点P(1,1)作直线l?与有心圆锥曲线C?:kx?y?1(k?0)交于E、F两点，是否存在这

22样的直线l?使点P为线段EF的中点？若存在，求直线l?的方程；若不存在，说明理由.

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（22）

1. 已知在平面直角坐标系中，O (0,0), M (1,0≤OP1), N (0,1), Q (2,3), 动点P (x,y)满足：2?OM≤1,0≤OP?ON≤1,则OP?OQ的最大值为＿＿＿＿＿．

2.当a?0且a?1时，函数f(x)?loga(x?1)?1的图像恒过点A,若点A在直线

mx?y?n?0上，则4m?2n的最小值为________.

3. 已知O，A，B，C是不共线的四点，若存在一组正实数?1，?2，?3，使?1OA＋?2OB＋

?3OC= 0，则三个角∠AOB，∠BOC，∠COA至少有 个钝角。4.已知?,?????123???3????,??，sin(???)=－, sin?????,则cos????= 4?1354??4???5. 已知抛物线的方程为y2?2px(p?0)，直线http://www.ks5u.com/与抛物线交于A,B两点，且以弦AB为直径的圆M与抛物线的准线相切，则弦AB的中点M的轨迹方程为 ；当直线http://www.ks5u.com/的倾斜角为为 ．

?时，圆M的半径36.在公差为正数的等差数列{an}中，a10+a11<0且a10a11<0,Sn是其前n项和，则使Sn取最小值的n是_____.

7.函数f(x)= sinx+2|sinx|, x??0,2??的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 .

x2y28. 双曲线 2－2＝1的左右焦点分别为F1 ﹑F2，在双曲线上存在点P，满足︱PF1︱＝5

ab︱PF2︱。则此双曲线的离心率e的最大值为 .

9.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a,b?R满足下列关系式：

f(2n)f(2n)*(n?N),bn?(n?N*).考察下列结f(a?b)?af(b)?bf(a),f(2)?2,an?n2n论：①f(0)?f(1)； ②f(x)为偶函数；③数列?an?为等差数列；④数列?bn?为等比数列.

其中正确的结论有____ ____.(请将所有正确结论的序号都填上) 10. 已知向量a＝(cos

3x3xxx?, sin), b＝(cos,－ sin), 且x∈[0, ].

22222

(1) 求a·b及︱a＋b︱；(2)若f (x)= a·b－2?︱a＋b︱的最小值为－7, 求实数?的值.

11. 设正项数列｛an｝的前项和为Sn，q为非零常数。已知对任意正整数n, m，当n ＞ m时，

Sn?Sm?qm?Sn?m总成立。1）求证数列｛an｝是等比数列；2）若正整数n, m, k成等差数

112列，求证： ＋≥。

SnSkSm

12. 过曲线C：f(x)?x3?ax?b外的点A（1，0）作曲线C的切线恰有两条，

（Ⅰ）求a,b满足的等量关系；（Ⅱ）若存在x0?R?，使f?x0??x0?e0?a成立，求a的取

x值范围.

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（21）答案

1．（２，４］ 2.④

10．解：（1）由已知，?Sn?1?Sn???Sn?Sn?1??1（n?2，n?N），

*13 3. 4. a?b?c 5. 66. 1050 7.① ③ ④ 8.?0,1? 9.

22n?N）即an?1?an?1（n?2，，且a2?a1?1．∴数列?an?是以a1?2为首项，∴an?n?1．

*（2）∵an?n?1，∴bn?4n?(?1)n?1??2n?1，要使bn?1?bn恒成立，

n?1nn?2∴bn?1?bn?4?4???1???2???1?n∴3?4?3????1?n?1nn?1??2n?1?0恒成立， ??2n?1恒成立．

2n?1?0恒成立，∴??1?n?1n?1（ⅰ）当n为奇数时，即??2n?1恒成立，当且仅当n?1时，2有最小值为1，∴??1．

（ⅱ）当n为偶数时，即???2n?1恒成立，当且仅当n?2时，?2n?1有最大值?2，∴???2．

*即?2???1，又?为非零整数，则???1．综上所述，存在???1，使得对任意n?N，

都有bn?1?bn．

11．由三视图可知：PB?底面ABCD，底面ABCD为直角梯形,，PB=BC=CD=1,AB=2

111VA?PCD?VP?CDA???1?1?

326(Ⅱ) 当M为PB的中点时CM∥平面PDA.取PB中点N,连结MN，DN，可证MN∥DN且MN＝

DN

∴CM∥DN，∴CM∥平面PDA

12．（Ⅰ）证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)?x12y12??1??mn (x1?x2)?22?x2?y2?1?n?m相减得

(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0注意到 x1?x2?2x0,y1?y2?2y0mn,

ny0y1?y2nkAB?kOM????m x0x1?x2m 即:

y?1y1k,OM?由垂径定理，kAB?kOM??即 x?1x ,2,

有

2x02y0(y1?y2)??0?mn(x1?x2),

则,kAB?（Ⅱ）(1)设M(x,y)y?1y1??x?1x2

化简得 x2?2y2?x?2y?0,当AB与x或y轴平行时，M的坐标也满足方程. 故所求AB的中点M的轨迹W的方程为x2?2y2?x?2y?0；

(2)假设过点P(1,1)作直线l?与有心圆锥曲线C?:kx2?y2?1交于E、F两点，且P为EF的中点，则

kEF?kOP??k由于kOP?1,,

?

kEF??k

22直线l?:y??k(x?1)?1，即y??kx?k?1，代入曲线C?的方程得kx?(?kx?k?1)?1

222??4k(k?1)?4k(k?1)(k?2)?0 即 k(k?1)x?2k(k?1)x?k(k?2)? ,0由

2得k??1.

故当k??1时，存在这样的直线，直线方程为y??kx?k?1；当k??1,且k?0时，这样的直线不存在.

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（22）答案

1.4， 2.22， 3.24.?③④

563P4P， 5.y2?P(x?); 6.10， 7.（1，3），8. 9.①652233x3xxx, sin), b = (cos,－ sin)

22223xx3xx3xx3xx3xx∴ a·b ＝cos cos＋sin（－ sin）＝cos cos－sin sin＝cos（＋）

222222222210. （1）∵ a = (cos＝cos2x

又易知：︱a︱＝1,︱b︱＝1 , ∴︱a＋b︱ ＝ a＋b ＋2 a·b ＝1＋1＋2 cos2x＝4cos2x ，

2

2

2

且x∈[0,

?], 22

∴︱a＋b︱＝2cosx.

（2) f (x)＝ a·b－2?︱a＋b︱＝cos2x－2?(2cosx)＝2cosx－4?cosx － 1＝2(cosx－

?)2－2?2－1

若?＜0，当cosx＝0时，f (x)取得最小值－1，不合题意；

若?＞1，当cosx＝1时，f (x)取得最小值1－4?，由题意有1－4?＝－7，得?＝2； 若0≤?≤1，当cosx＝?时，f (x)取得最小值－2?－1，由题意有－2?－1＝－7，得?＝

2

2

±3(舍去)。

综上所述：?＝2.

11. 解： 1）因为对任意正整数n, m，当n ＞ m时，Sn?Sm?qm?Sn?m总成立。 所以当n≥2时：Sn?Sn?1?qn?1S1，即an?a1?qn?1，且a1也适合，又an＞0， 故当n≥2时：

an，即｛an｝是等比数列. ?q（非零常数）

an?12）若q?1，则Sn?na1,Sm?ma1,Sk?ka1。所以

11n?k2m2m2m22≥。 ????2??n?k2SnSknka1nka1ma1ma1Sm()?a12a1(1?qn)a1(1?qm)a1(1?qk)若q?1，则Sn?，Sm?，Sk?.

1?q1?q1?q1(1?q)211?2所以≥2. ?2nkSnSkSnSk(1?q)(1?q)a1又

因

为

(1?qn)(1?qk)?1?(qn?qk)?qn?k.

≤

1?2qn?k?qn?k?1?2qm?q2m?(1?qm)21(1?q)2(1?q)2211?22?所以≥2≥。 ?22nkm2SnSkSmSnSk(1?q)(1?q)a1(1?q)?a1综上可知：若正整数n, m, k成等差数列，不等式 当且仅当n?m?k时取“＝”.

112＋≥总成立. SnSkSm

12. 解：（Ⅰ）f?(x)?3x2?a，过点A（1，0）作曲线C的切线，设切点(x0,f?x0?)，则切线

方

程

2为：

y?(3x0?a)(x?1)32将

(x0,f?x0?)代入得：

f(x0)?(3x0?a)(x0?1)?x0?ax0?b

即2x0?3x0?a?b?0（*）.由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根。

令u(x)?2x3?3x2?a?b，u??6x2?6x?6x(x?1)，显然有两个极值点x＝0与x＝1， 于是u(0)?0或u(1)?0,当u(0)?0时，a?b；当u(1)?0时，a?b?1，此时

32f(x)?x3?ax?a?1?(x?1)(x2?x?1?a)经过（1，0）与条件不符.所以a?b .

（Ⅱ）因为存在x0?R?，使f?x0??x0?e0?a，即x03?ax0?a?x0?e0?a

xx所以存在x0?R?，使x03?ax0?x0?e0，得x02?a?e0，即a?x02?e0成立 设g(x)?x2?ex(x?0)，问题转化为a?g(x)的最大值

xxxg?(x)?2x?ex，g??(x)?2?ex，令g??(x)?0得x?ln2，

当x?(0,ln2)时g??(x)?0此时g?(x)为增函数，当x?(ln2,??)时g??(x)?0，此时g?(x)为减函数，

所以g?(x)的最大值为g?(ln2)?2ln2?eln2?2ln2?2?2(ln2?1)

?ln2?1，?g?(x)的最大值g?(ln2)?0，得g?(x)?0

所以g(x)在(0,??)上单调递减，g(x)?g(0)??1,因此a??1.

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（23）

11,cos??cos??,则cos(???)? _ 322.已知点P,Q分别是圆x2?y2?1和圆(x?3)2?(y?4)2?25上的动点,则PQ的最大值

1．已知α,β均为锐角,且sin??sin???为 .

x2y2x2y23. 已知双曲线2?2?1与双曲线2?2??1的离心率分别为e1、e2,则e1?e2的最小值

abab为 .

4.已知k?Z,AB?(k,1),AC?(2,4),若AB?4,则?ABC是直角三角形的概率为 . 5．设y?f(x)是一次函数，f(0)?1，且f(1),f(4),f(13)成等比数列，则f(2)?f(4)???f(2n)? ．

1116．在△ABC中,BC?1,AB?2,cosB? ，则sin(2A?B)的值为 . 47. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥 C－ABD的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为 ▲

1

正视图 正视图1俯视图 俯视图

8．已知集合M??1,2,3?,N??1,2,3,4?，定义函数f:M?N．若点

A(1,f(1))、B(2,f(2))、C(3,f(3))，?ABC的外接圆圆心为D，且

DA?DC??DB(??R)，则满足条件的函数f(x)有 个.

?log1(x?1),x?[0,1)?9. 定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时f(x)??2，则关于x的方程

??1?x?3,x?[1,??)f(x)?a(?1?a?1)的所有解之和为 （用a表示）

10. 已知向量a?(1,sinx),b?(sin2x,cosx)，函数f(x)?a?b，x??0,（Ⅰ）求f(x)的最小值；（Ⅱ）若f(?)?

11.已知三棱柱ABC?A1B1C1的三视图如图所示，其中主视图AA1BCC1均为1B1B和左视图B矩形，俯视图?A1?1B1C1中，AC11?3，A1B1?5，cos?A（１）在三棱柱ABC?A1B1C1中，求证：BC?AC1； （２）在三棱柱ABC?A1B1C1中，若D是底边AB的 中点，求证：AC1∥平面CDB1；

（３）若三棱柱的高为5，求三视图中左视图的面积．

??? ??2?3，求sin2?的值． 43．B

15C1A1C1B1BC主视图

AC左视图

BC1B1俯视图

A1

x2212.已知A,B,C均在椭圆M:2?y?1(a?1)上，直线

aAB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F2，当AC?F1F2?0

时，有9AF1?AF2?AF1.（I）求椭圆M的方程;

（II）设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N:x2??y?2??1的任一条直径，求PE?PF的

22最大值.

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（24）

1、已知函数f(x)?4?1的定义域是?a,b?（a,b为整数），值域是?0,1?，则满足条件的

|x|?2整数数对(a,b)共有_________个.

2、设函数f(x)?sin(x??)(x?R)，则f(x)的单调递增区间为

33

、

12?定

13义

2运

12算法则如下：

181,N?2*. a?b?a?b,a*b?lga?lgb,M?2?412525?log3x(x?0),2若f(x)??x则f[f(N?M)]? 。

9(x?0),?2

4、已知命题p:\?x?[1,2],x?lnx?a?0\与命题q:\?x?R,x2?2ax?8?6a?0\都是真命题，则实数a的取值范围是 ．

x2y25、已知F1、F2为椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点，B为椭圆短轴的一个端点，BF1?BF2≥

ab21F1F2则椭圆的离心率的取值范围是 . 26、在?ABC中，?A?122?6，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且

|AB|2?|AD|2?BD?DC，则?B? .7、已知5? 12x3a?2b?0，且关于x的函数f(x)=13在R上有极值，12?ax?a?bx2则与的夹角范围为_ ___．

ab8.当对数函数y?logox(a?0且a?1)的图象至少经过区域

?x?y?0?M?{(x,y)|?x?y?8?0(x,y?R)}内的一个点时，实数a的取值范围为

?y?3?0?_________________.

9、已知过点P(9,3)的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，则线段AB取最小值时直线AB的方程为 。

10. 15、已知sin(2???)?3sin?,设tan??x,tan??y,记y?f(x),

（1）求f(x)的解析表达式；（2）若?角是一个三角形的最小内角，试求函数f?x?的值域．

11.如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，?ABC?90?，BC??AD(0???1)，PA、

AC、CD两两垂直，PA?2，?PDA?30?，?DPC??.（Ⅰ）求证：CD?PC；

P PE??，试判断BE是否与平面PCD平行并说明理由； （Ⅱ）若

E PA

A D

B

C

x2y2312. ．已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线l:y?x?2与以原点为圆

ab3心,椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．（１）求椭圆C1的方程；（２）设椭圆C1的左焦点为F1，

P，线右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点

段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

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（23）答案

1.

33151592 2. 11 3. 22 4. 5. n(2n?3)?2n?3n 6. 7. 8. 12 727416??1?a????1(?1?a?0)9.?? 2??a?1?2(0?a?1)2sin(2x?)?11?cos2xsin2x24??10. 解：（Ⅰ）f(x)?sinx?sinxcosx?

222

?

因为x??0,0

??3??????2x??[?,]2x???，所以，当，即x?0时，f(x)有最小值?44444?2?另法：求导f?(x)?2sinxcosx?cos2x?sin2x?sin2x?cos2x 令f?(x)?0，得x??0,?3???3????，此时f(x)为增函数；当x??,?时，f(x)为减函数， ?8??82??x?0时，f(x)有最小值0

2sin(2??)?1?234?，得sin(2??)?（Ⅱ）f(?)? 2444???3??22??? ?????0,?，2???[?,]，又0?sin(2??)?444442?2??2?????214?(0,)，得cos(2??)?1?()2? 44444sin2??sin(2??11. （3）12

?4??4)?2??1?7 [sin(2??)?cos(2??)]?244412. 解：（Ⅰ）因为AC?F1F2为直角三角形；1F2?0，所以有AC?FF12,所以?AF?AF1cos?F1AF2?AF2,

222则有

9AF1?AF2?9AF1AF2cos?F1AF2?9AF2?AF1?AF1

所以，AF1?3AF2,又AF1?AF2?2a，?AF1?2223aa,AF2?, 222在?AF1F2中有AF1?AF2?F1F2?3a??a?22,即??????4(a?1)，解得a?2 ?2??2?2x2?y2?1 所求椭圆M方程为2（

II

）

PE?PF?NE?NP?NF?NP??NF?NP?NF?NP??NP?NF?NP?1

从而将求PE?PF的最大值转化为求NP的最大值

2??????????222

x2P是椭圆M上的任一点，设P?x0,y0?，则有0?y0?1即x02?2?2y02

22又N?0,2?，所以NP?x0??y0?2????y0?2??10

2222而y0???1,1?,所以当y0??1时，NP取最大值9,故PE?PF的最大值为8.

2江苏省泰州中学2010届高三数学基础题训练

（24）答案

111??1、5_ 2、?k???,k????,(k?Z) 3、 4、???,?4????2,? 5、(0,]

?422?36????6、32 7、(10.

【

?3,?] 8、[2,35] 9.x?3y?12?0

】

（

1

）

得

由，s2?i??n)?3s(?ins?i??)n??]?[3s(?i??)n??]，[…………………………(

sin(???)cos??cos(???)sin??3sin(???)cos??3cos(???)sin?， ?sin(???)cos??cos(???)sin?， ?tan(???)?2tan?，

解

于是

tan??tan?x?yxx??2tan?， 即?2x，∴y?，即． fx??221?2x1?2x1?tan?tan?1?xy?（2）∵?角是一个三角形的最小内角，∴0

xx2?2?为?0,?4?． ??CD?PA??11. 解：（Ⅰ）CD?AC??CD?平面PAC，

PA?AC?A??又PC?平面PAC，?CD?PC．

（Ⅱ）BE与平面PCD平行，理由如下：作EF//AD交PD于F，连结CF，则

EFPEPEEFBC???，又??， ??，从而EF?BC， ADPAPAADAD 再由EF//AD//BC，知四边形BCFE为平行四边形， ?BE//CF，?BE//平面PCD．

x2y2??1（2）y2?4x 12. 1）32

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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