最优捕鱼策略

最优捕鱼策略

孙亚莉 刘伟伟 张盼

（新疆农业大学，数理学院，数学与应用数学专业，新疆 乌鲁木齐市 830052）

摘要 本文根据题目要求，在渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz模型的情况下，建立捕

捞情况下渔场产量模型。根据模型，对渔场鱼量的平衡点及其稳定性进行讨论，并且在稳定的前提下，使用图解法讨论如何控制捕捞使持续产量达到最大。最后，对模型的优缺点进行了讨论。 关键词：Gompertz模型； 稳定性模型； 图解法 ；

引言

可持续发展是一项基本国策，对于像渔业、林业这样的再生资源，一定要注意适度开发，

不能为了一时的高产去“竭泽而渔”，应该在持续稳定的前提下追求产量或效益的最优化。姜启源，谢金星，叶俊等在数学建模一书中重点研究了捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，以及鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大，最后研究捕捞过度的问题，他们所建立的模型是以Logistic模型为基础的模型，我们将在他们研究的基础下，研究以Gompertz模型为基础的最优捕鱼策略策略，并且给出姜启源等一书中所提出的所有结论（Gompertz模型下的）,Gompertz模型下建立的模型是最优捕鱼策略的有一种途径，所以我相信我们这样的研究是有意义的。

正文

1 问题复述

x?t??rxln已知某渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz模型：

.N，其中rx是固有增长率，N是环境容许的最大鱼量。并且单位时间捕捞量为h?Ex，其中比例常数

E表示单位时间捕捞率，又称捕捞强度。现要求：

（1）建立在捕捞情况下渔场鱼量的数学模型，讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性； （2）在鱼量稳定的前提下，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0。

*

2 模型假设

（1）捕捞过程视为连续性过程；

（2）忽略种群间的相互作用及环境突变对渔场鱼量变造成的影响。

3 符号说明

x?t?表示时刻t时渔场中的鱼量；

xi?i?0,1?表示渔场鱼量平衡点；

*表示获得最大持续产量的渔场鱼量水平； x0r表示种群的固有增长率；

N表示环境容许的最大鱼量；

f?x?表示单位时间渔场鱼量的增长量； h?x?表示单位时间的捕捞量； hm表示单位时间的最大持续产量；

F?x?表示在捕捞情况下渔场的鱼量； F'?x?表示F?x?的导数；

E表示单位时间捕捞率，即捕捞强度； Em表示获得最大持续产量时的捕捞强度；

p表示鱼的销售单价；

c表示单位捕捞率的费用；

T表示单位时间的收入；

S表示单位时间的支出；

4 模型建立

（1）在无捕捞条件下，x?t?的增长服从Gompertz规律，即

x?t??f?x??rxln.N （1） x（2）单位时间的捕捞量（即产量）h?x?与渔场鱼量x?t?成正比，比例系数为E，于是单位时间的捕捞量为

h?x??Ex （2）

（3）由①式与②式可以得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程

x?t??F?x??rxln

.N?Ex （3） x5 模型求解

5.1 渔场鱼量平衡点及其稳定性讨论

根据上面得到的在捕捞情况下渔场的鱼量F?x?所满足的方程③式，令

F?x??rxln得到两个平衡点

N?Ex?0 xx0?由于F?x??rln'NeEr,x1?0 （4）

N?r?E，因此有F'?x0???r?0，故x0点稳定（与E，r的大小无x关）；同时，可证x1点不稳定。

5.2 渔场鱼量稳定前提下持续产量最大问题的讨论

根据①，②式作曲线y?f?x?和直线y?h?x??Ex，如图1所示。由于稳定点x0与E，r的大小无关，因此应用图解法，由图1可知，当y?Ex与y?f?x?在顶点P相

*

交时可获得最大持续产量，此时的稳定平衡点为

*x0?Ne1N （5）

且单位时间的最大持续产量为

hm?由④易算出获得最大产量的捕捞强度为

re1N （6）

Em?r （7） N

图1 最大持续产量的图解法

根据⑦式可知，将捕捞强度控制在固有增长率r与环境容许的最大鱼量N的比值时，能够获得最大持续产量。 6 效益模型建立及求解

前面我们的考虑是从产量最大进行考虑的，从经济的角度来说，我们不应只考虑产量最大，我们也应该考虑效益最佳，所以我们建立了效益模型，它是用捕捞所得的收入中扣除开支后的利润来衡量的，并且我们做出简单的假设：p表示鱼的销售单价；c表示单位捕捞率的费用；T表示单位时间的收入；S表示单位时间的支出；从而列出以下模型：

T?ph(x)?pEx S?cE （8） 单位时间的利润为

R?T?S?pEx?cE （9） 在稳定条件x?x0下，以（4）代入（9）式得 R(E)?T(E)?S(E)?pENeE()r?cE （10）

利用微分方程可以求出使利润R(E)达到最大的捕捞强度为

ER?2r （11） 将ER代入（4）式可得最大利润下的渔场稳定鱼量xR及单位时间的持续产量hR为 xR?2r （12） hR?rxRlnN2rN?2 （13） xRe将（11）?（13）与产量模型中的（5）?（7）相比较可以看出，在最大效益原则下捕捞率和持续产量均有所减少，而渔场应保持的稳定鱼量有所增加，并且减少或增加的部分随着捕捞成本c的增长而变大，随着销售价格p的增长而变小，显然这是符合实际情况的。 7 过度捕捞

上面的模型均是以计划为主的模型，即封闭式模型，不难看出现在社会中依然有很多无计划的捕捞场所，如公海上的无计划捕捞，当然，即使在公海上只有微薄的利润，捕捞者依然会尽最大限度的进行捕捞，这种捕捞成为开放式捕捞，这样必然造成过度捕捞，下面我们将对这一问题进行研究，从而得到合理的模型。

在前面的效益模型中我们已经得到

R(E)?T(E)?S(E)?pENe我们可以假设R(E)?0的解为Es从而可得 Es?rlnE()r?cE （10）

PN （14） c当E?Es时，利润R(E)?0，盲目经营者会增大捕捞强度； 当E?Es时，利润R(E)?0，盲目经营者会减小捕捞强度；

所以显然，Es是捕捞强度下的临界值，关于后续的研究，由于能力有限我们不做深入的了解。

结语

根据上述模型所建立的捕捞情况下渔场产量模型，可以很好的解决如何控制捕捞使持续产量达到最大的问题。然而，建模过程中，简化了许多因素，因而与

实际情况有偏差。要想建立更好的产量模型，必须综合多方面因素，根据实际情况建立模型。

参考文献

姜启源，谢金星，叶俊数学模型，北京：高等教育出版社2003.8

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pno6.html