05 机械振动 作业及参考答案 2015

2015-2016(1)《大学物理A(2)》作业参考答案

第十三章 机械振动 一. 选择题:

【 D 】1 （基础训练2） 一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m的物体，如图13-15所示。则振动系统的频率为 ： (A)

?k． (B)

??3m?3k(C) ． (D)

??m??????k ． m6k． mk m 图13-15

提示：劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，每份的劲度系数为变为3k，取出其中2份并联，系统的劲度系数为6k.

【 C 】 2 （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．

提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角位移为?，对应的时间为T/6.

[ B ] 3、（基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为

x (A) 3?． (B) ?．

x2 2A/2 t 1 (C) ?． (D) 0． O 132提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为 -A x1 ?A,初相位为?

2

[ D ] 4、（自测提高4）质量为m的物体，由劲度系数为k1和k2的两个轻质弹簧串联后连接到固定端，在光滑水平轨道上作微小振动，则振动频率为：

(A) v?2? (C) v?

提示：两根劲度系数分别为k1和k2的两个轻质弹簧串联后，可看成一根弹簧，其弹

k1?k21． (B) v?m2?k1?k21． (D) v?mk1k22?k1?k2． mk1k2．

m(k1?k2)12?2015-2016(1)《大学物理A(2)》作业参考答案

性系数满足：

kkk1k2111，可计算得到v ??，k?12，?2?kk1k2k1?k2m(k1?k2)

x (cm) 【 B 】 5、（自测提高5）一简谐振动曲线如图所示．则振动

4 周期是 2 (A) 2.62 s． (B) 2.40 s． (C) 2.20 s． (D) O 1 2.00 s． 图13-23 提示：使用谐振动的矢量图示法，初始状态旋转矢量位于第四象限，初始相位为t (s) ??，到第一次回到平衡位置时，旋转矢量转过的角度为3??5?5?＋＝，此过程经历时间为1s，可得?＝，等到周期为2.4s 2366

【 D 】6、（自测提高6）弹簧振子在水平光滑桌面上作简谐振动，其弹性力在半个周期内所做的功为：（ ）

A kA B

提示：振动方程为x?Acos(?t??0)，经过半个周期，质点偏离平衡位置的位移为

2121kA C kA2 D 0 241x?Acos(?t??0??)，这两个位置弹簧所具有的弹性势能Ep＝kx2相同，所以所做的

2功为零。

二 填空题

7、(基础训练12) 一系统作简谐振动, 周期为T，以余弦函数表达振动时，初相为零．在0≤t≤

1T范围内，系统在t =_ T/8_时刻动能和势能相等． 4提示：动能和势能相等，为总能量的一半，此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的22，相位为?4，因为初始相位为零，t=T/8

8、(自测提高9) 两个弹簧振子的振动周期都是0.4S，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5S后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两个振动的相位差为： ?． 14提示：第一个振子在开始运动时，其初始相位为?2，经过0.5S?1T后，振动相位为?，此时第二个振动才从正方向的端点开始运动，即第二个振动的初始相位为0,所以两

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个振动的相位差为 ?

9、 (自测提高 10) 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使他们同时发音，会听到时强时弱的拍音。若测得在20S内拍的次数为180次，标准音叉的频率为300Hz，则待测音叉的频率为：309Hz或291Hz

提示：20秒内测得拍的次数为180次，拍的频率为9；而待测音叉和标准音叉产生拍的频率为两个频率的差，即v1?v2?v1?300?9

10、(自测提高 11) 一单摆的悬线长l = 1.5 m，在顶端固定点的竖直下方0.45 m处有一小钉，如图13-26所示．设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比A1/A2的近似值为___0.837___．

提示：当单摆在最低位置时，对左右两边有：

0.45 m 小钉 l 图13-26

11m(?1A1)2?m(?2A2)2 22对于单摆??lggg，A1?A2 A1:A2?1?0.837 ll1l2l2

11．(自测提高 13)一台摆钟每天慢2分10秒，其等效摆长l = 0.995 m， 摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向上移动2.99mm，才能使钟走得准确？

提示：钟摆周期的相对误差?T/T?钟的相对误差?t/t，等效单摆的周期

T?2?l/g，这里g不变，则有 2dT/T?dl/l 即有

2?0.995?130?l?2l?T/T?2l?t/t??2.99mm

24?60?60

12 (自测提高 14)、两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图13-27所示．由图可知x方向和y方向两振动的频率之比?x??y =___4:3___．

提示：在同样的时间间隔内，X方向的振动为2Tx，而y方向的振动为1.5Ty,周期之比为3：4，频率之比相反为4：3

三 计算题

13、（基础训练18）如图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的弹性系数为k=24N/m，物体的质量为6kg，物体静止在平衡位置。设以大小为F=10N的水平恒力向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m时撤去力F，当物体运动到左方最远位置时开始记时，求物体的运动方程。

解：由题意可以得到，当物体在恒力作用下左移0.05米时，满足：

y x 图13-27

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1212kx?mv?FS 22外力撤去后，系统能量守恒，有

121212kx?mv?kA 222代入数据可以得到：A?0.204m；??k24??2 m6取向右为正，当物体达到左方最远位置为起始时刻，初始相位为? 振动方程为x?0.204cos(2t??)

14. （基础训练23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI单位)如下：

3?1???x1?0.05cos?10t???，x2?0.06cos?10t???

4?4??? (1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动x3?0.07cos(10t??)，问

?为何值时，x1?x3的振幅为最大；?为何值时，x2?x3的振幅为最小。

解：（1）合成振动的振幅：A?0.052?0.062?0.078m 310.05sin??0.06sin??144)?tan?111 初相位：?0?tan(310.05cos??0.06cos?44因为旋转矢量位于第一象限，初始相位为84.80

(2) 若另有一振动x3?0.07cos(10t??)，x1?x3振幅最大，需要振动的初相位相同，所以??35?，x2?x3的振幅最小，需要初相位相差1800，这时??? 44

15. （基础训练24） 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为100g的物体，当物体处于平衡位置时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放。已知物体在32内完成48次振动，振幅为5cm。（1）上述的外加拉力有多大？（2）当物体在平衡位置以下1cm时，此振动的动能和势能各是多少？

解：(1)由题可知，T?2???2?m2?S k3k?8.88N/m f?kA?8.88?0.05?0.444N (因为从静止状态释放，此时偏离平

衡位置位移最大，此时弹簧的相对于平衡位置的形变为振幅A)

(2) 当物体在平衡位置以下1cm时，此振动的势能和动能分别是：

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EP?121kx??8.88?(0.01)2?4.44?10?4J 221111EK?kA2?kx2??8.88?(0.05)2??8.88?(0.01)2?1.07?10?2J

2222

16(自测提高18) 在平板上放一质量为m=2kg的物体, 平板在竖直方向上作简谐振动,其振动周期T?1S, 振幅A=4cm, (1) 物体对平板的压力的表达式; (2) 平板以多大的振幅2振动时,物体才能离开平板?

解: 物体的振动方程可以表示为: x?0.04cos(4?t??0) 取竖直方向为x轴方向,且竖直向上为正方向. 考虑到起始时刻未定,引入初始相位?0

(1) 设平板对物体的弹力为N, 物体所受重力mg, 由牛顿第二定律得:

d2xF合??(N?mg)?m2

dtd2xN??m2?mg?m?2Acos(4?t??0)?mg

dtN?19.6?1.28?2cos(4?t??0), 物体对平板的压力与弹力大小相等,方向相反 N'??19.6?1.28?2cos(4?t??0)

d2x2(2) N??m2?mg?m?Acos(4?t??0)?mg

dt当cos(4?t??0)取?1时,N最小,要求N?0,则有

?m(4?)2A?mg?0

A?6.21?10?2m

17 (自测提高21) 质量为M的圆盘挂在劲度系数为k的轻弹簧下，并处于静止状态，如图13-30所示。一质量为m的物体，从距圆盘为h的高度自由下落，并粘在盘上和盘一起振动。设物体和盘相碰瞬间t=0，而且碰撞时间很短。取碰后系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标的正方向。试求系统的振动方程。

解：质量为m的物体与质量为M的物体先发生碰撞，碰撞后的瞬时速度大小为v：

k m M h 图13-30

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