05 机械振动 作业及参考答案 2015
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2015-2016(1)《大学物理A(2)》作业参考答案
第十三章 机械振动 一. 选择题:
【 D 】1 (基础训练2) 一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份,取出其中的两根,将它们并联,下面挂一质量为m的物体,如图13-15所示。则振动系统的频率为 : (A)
?k. (B)
??3m?3k(C) . (D)
??m??????k . m6k. mk m 图13-15
提示:劲度系数为k的轻弹簧截成三等份,每份的劲度系数为变为3k,取出其中2份并联,系统的劲度系数为6k.
【 C 】 2 (基础训练4) 一质点作简谐振动,周期为T.当它由平衡位置向x轴正方向运动时,从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12. (B) T /8. (C) T /6. (D) T /4.
提示:从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上,矢量转过的角位移为?,对应的时间为T/6.
[ B ] 3、(基础训练8) 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线.若这两个简谐振动可叠加,则合成的余弦振动的初相为
x (A) 3?. (B) ?.
x2 2A/2 t 1 (C) ?. (D) 0. O 132提示:使用谐振动的矢量图示法,合振动的初始状态为 -A x1 ?A,初相位为?
2
[ D ] 4、(自测提高4)质量为m的物体,由劲度系数为k1和k2的两个轻质弹簧串联后连接到固定端,在光滑水平轨道上作微小振动,则振动频率为:
(A) v?2? (C) v?
提示:两根劲度系数分别为k1和k2的两个轻质弹簧串联后,可看成一根弹簧,其弹
k1?k21. (B) v?m2?k1?k21. (D) v?mk1k22?k1?k2. mk1k2.
m(k1?k2)12?2015-2016(1)《大学物理A(2)》作业参考答案
性系数满足:
kkk1k2111,可计算得到v ??,k?12,?2?kk1k2k1?k2m(k1?k2)
x (cm) 【 B 】 5、(自测提高5)一简谐振动曲线如图所示.则振动
4 周期是 2 (A) 2.62 s. (B) 2.40 s. (C) 2.20 s. (D) O 1 2.00 s. 图13-23 提示:使用谐振动的矢量图示法,初始状态旋转矢量位于第四象限,初始相位为t (s) ??,到第一次回到平衡位置时,旋转矢量转过的角度为3??5?5?+=,此过程经历时间为1s,可得?=,等到周期为2.4s 2366
【 D 】6、(自测提高6)弹簧振子在水平光滑桌面上作简谐振动,其弹性力在半个周期内所做的功为:( )
A kA B
提示:振动方程为x?Acos(?t??0),经过半个周期,质点偏离平衡位置的位移为
2121kA C kA2 D 0 241x?Acos(?t??0??),这两个位置弹簧所具有的弹性势能Ep=kx2相同,所以所做的
2功为零。
二 填空题
7、(基础训练12) 一系统作简谐振动, 周期为T,以余弦函数表达振动时,初相为零.在0≤t≤
1T范围内,系统在t =_ T/8_时刻动能和势能相等. 4提示:动能和势能相等,为总能量的一半,此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的22,相位为?4,因为初始相位为零,t=T/8
8、(自测提高9) 两个弹簧振子的振动周期都是0.4S,设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动,经过0.5S后,第二个振子才从正方向的端点开始运动,则这两个振动的相位差为: ?. 14提示:第一个振子在开始运动时,其初始相位为?2,经过0.5S?1T后,振动相位为?,此时第二个振动才从正方向的端点开始运动,即第二个振动的初始相位为0,所以两
2015-2016(1)《大学物理A(2)》作业参考答案
个振动的相位差为 ?
9、 (自测提高 10) 分别敲击某待测音叉和标准音叉,使他们同时发音,会听到时强时弱的拍音。若测得在20S内拍的次数为180次,标准音叉的频率为300Hz,则待测音叉的频率为:309Hz或291Hz
提示:20秒内测得拍的次数为180次,拍的频率为9;而待测音叉和标准音叉产生拍的频率为两个频率的差,即v1?v2?v1?300?9
10、(自测提高 11) 一单摆的悬线长l = 1.5 m,在顶端固定点的竖直下方0.45 m处有一小钉,如图13-26所示.设摆动很小,则单摆的左右两方振幅之比A1/A2的近似值为___0.837___.
提示:当单摆在最低位置时,对左右两边有:
0.45 m 小钉 l 图13-26
11m(?1A1)2?m(?2A2)2 22对于单摆??lggg,A1?A2 A1:A2?1?0.837 ll1l2l2
11.(自测提高 13)一台摆钟每天慢2分10秒,其等效摆长l = 0.995 m, 摆锤可上、下移动以调节其周期.假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑,则应将摆锤向上移动2.99mm,才能使钟走得准确?
提示:钟摆周期的相对误差?T/T?钟的相对误差?t/t,等效单摆的周期
T?2?l/g,这里g不变,则有 2dT/T?dl/l 即有
2?0.995?130?l?2l?T/T?2l?t/t??2.99mm
24?60?60
12 (自测提高 14)、两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图13-27所示.由图可知x方向和y方向两振动的频率之比?x??y =___4:3___.
提示:在同样的时间间隔内,X方向的振动为2Tx,而y方向的振动为1.5Ty,周期之比为3:4,频率之比相反为4:3
三 计算题
13、(基础训练18)如图所示,有一水平弹簧振子,弹簧的弹性系数为k=24N/m,物体的质量为6kg,物体静止在平衡位置。设以大小为F=10N的水平恒力向左作用于物体(不计摩擦),使之由平衡位置向左运动了0.05m时撤去力F,当物体运动到左方最远位置时开始记时,求物体的运动方程。
解:由题意可以得到,当物体在恒力作用下左移0.05米时,满足:
y x 图13-27
2015-2016(1)《大学物理A(2)》作业参考答案
1212kx?mv?FS 22外力撤去后,系统能量守恒,有
121212kx?mv?kA 222代入数据可以得到:A?0.204m;??k24??2 m6取向右为正,当物体达到左方最远位置为起始时刻,初始相位为? 振动方程为x?0.204cos(2t??)
14. (基础训练23)有两个同方向的简谐振动,它们的方程(SI单位)如下:
3?1???x1?0.05cos?10t???,x2?0.06cos?10t???
4?4??? (1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动x3?0.07cos(10t??),问
?为何值时,x1?x3的振幅为最大;?为何值时,x2?x3的振幅为最小。
解:(1)合成振动的振幅:A?0.052?0.062?0.078m 310.05sin??0.06sin??144)?tan?111 初相位:?0?tan(310.05cos??0.06cos?44因为旋转矢量位于第一象限,初始相位为84.80
(2) 若另有一振动x3?0.07cos(10t??),x1?x3振幅最大,需要振动的初相位相同,所以??35?,x2?x3的振幅最小,需要初相位相差1800,这时??? 44
15. (基础训练24) 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为100g的物体,当物体处于平衡位置时,再对物体加一拉力使弹簧伸长,然后从静止状态将物体释放。已知物体在32内完成48次振动,振幅为5cm。(1)上述的外加拉力有多大?(2)当物体在平衡位置以下1cm时,此振动的动能和势能各是多少?
解:(1)由题可知,T?2???2?m2?S k3k?8.88N/m f?kA?8.88?0.05?0.444N (因为从静止状态释放,此时偏离平
衡位置位移最大,此时弹簧的相对于平衡位置的形变为振幅A)
(2) 当物体在平衡位置以下1cm时,此振动的势能和动能分别是:
2015-2016(1)《大学物理A(2)》作业参考答案
EP?121kx??8.88?(0.01)2?4.44?10?4J 221111EK?kA2?kx2??8.88?(0.05)2??8.88?(0.01)2?1.07?10?2J
2222
16(自测提高18) 在平板上放一质量为m=2kg的物体, 平板在竖直方向上作简谐振动,其振动周期T?1S, 振幅A=4cm, (1) 物体对平板的压力的表达式; (2) 平板以多大的振幅2振动时,物体才能离开平板?
解: 物体的振动方程可以表示为: x?0.04cos(4?t??0) 取竖直方向为x轴方向,且竖直向上为正方向. 考虑到起始时刻未定,引入初始相位?0
(1) 设平板对物体的弹力为N, 物体所受重力mg, 由牛顿第二定律得:
d2xF合??(N?mg)?m2
dtd2xN??m2?mg?m?2Acos(4?t??0)?mg
dtN?19.6?1.28?2cos(4?t??0), 物体对平板的压力与弹力大小相等,方向相反 N'??19.6?1.28?2cos(4?t??0)
d2x2(2) N??m2?mg?m?Acos(4?t??0)?mg
dt当cos(4?t??0)取?1时,N最小,要求N?0,则有
?m(4?)2A?mg?0
A?6.21?10?2m
17 (自测提高21) 质量为M的圆盘挂在劲度系数为k的轻弹簧下,并处于静止状态,如图13-30所示。一质量为m的物体,从距圆盘为h的高度自由下落,并粘在盘上和盘一起振动。设物体和盘相碰瞬间t=0,而且碰撞时间很短。取碰后系统的平衡位置为坐标原点,竖直向下为坐标的正方向。试求系统的振动方程。
解:质量为m的物体与质量为M的物体先发生碰撞,碰撞后的瞬时速度大小为v:
k m M h 图13-30
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