数理逻辑练习题及答案-4
更新时间:2023-11-15 16:23:01 阅读量: 教育文库 文档下载
一阶逻辑基本概念
1. 在一阶逻辑中将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值:
(1)凡有理数都能被2整除。
(2)有的有理数能被2整除。
其中(a)个体域为有理数集合,(b)个体域为实数集合。
2. 在一阶逻辑中将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值:
(1)对于任意的x,均有x2-2= (x+)(x-)。
(2)存在x,使得x+5=9。
其中(a)个体域为自然数集合,(b)个体域为实数集合。
3. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(1)没有不能表示成分数的有理数。
(2)在北京卖菜的人不全是外地人。
(3)乌鸦都是黑色的。
(4)有的人天天锻炼身体。
4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(1)火车都比轮船快。
(2)有的火车比有的汽车快。
(3)不存在比所有火车都快的汽车。
(4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的。
5. 给定解释I如下:
(a)个体域DI为实数集合R。 (b)DI中特定元素=0。
(c)特定函数(x,y)=x-y,x,y∈DI。 (d)特定谓词
(x,y):x=y,
(x,y):x 说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值: (1) (2) (3) (4) 6. 给定解释I如下: (a)个体域D=N(N为自然数)。 (b)D中特定元素=2。 xxxx y(G(x,y)→┐F(x,y)) y(F(f(x,y),a)→G(x,y)) y(G(x,y)→┐F(f(x,y),a)) y(G(f(x,y),a)→F(x,y)) (c)D上函数(x,y)=x+y,(x,y)=x·y。 (d)D上谓词 (x,y):x=y。 说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值: (1) (2) (3) (4) xF(g(x,a),x) xx y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) y z(F(f(x,y),z) xF(f(x,x),g(x,x)) 7. 证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式: (1) (2) x(F(x)→x y(G(y)∧H(x,y))) y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) 答案 1. (1)(a)中, (b)中, (2)(a)中, (b)中,2. (1)(a)中, (b)中, (2)(a)中, (b)中, 3. 没指定个体域,因而使用全总个体域。 (1) ┐ x(F(x)∧┐G(x))或 x(F(x)→G(x)),其中,F(x):x为有理数,G(x):x能表示 x(x2-2=(x+ )(x-)),真值为1。 )(x-)))),其中,F(x):x为实数,真值为1。 xF(x),其中,F(x):x能被2整除,真值为1。 x(G(x)∧F(x)),其中,F(x)同(a)中,G(x):x为有理数,真值为1。 xF(x),其中,F(x):x能被2整除,真值为0。 x(G(x)∧F(x)),其中,G(x):x为有理数,F(x)同(a)中,真值为0。 x(F(x)→(x2-2=(x+ x(x+5=9),真值为1。 x(F(x)∧(x+5=9)),其中,F(x):x为实数,真值为1。 成分数。 (2) ┐地人。 (3) (4) x(F(x)→G(x)),其中,F(x):x是乌鸦,G(x):x是黑色的。 x(F(x)∧G(x)),其中,F(x):x是人,G(x):x天天锻炼身体。 x(F(x)→G(x))或 x(F(x)∧┐G(x)),其中,F(x):x在北京卖菜,G(x):x是外 4. 因为没指明个体域,因而使用全总个体域。 (1) x y(F(x)∧G(y)→H(x,y)),其中,F(x):x是火车,G(y):y是轮船,H(x,y):x 比y快。 (2) y快。 (3) ┐ 或 x(F(x)∧x(F(x)→ y(G(y)→H(x,y))) y(G(y)∧┐H(x,y))),其中,F(x): x是汽车,G(y):y是火车,H(x,y):x x y(F(x)∧G(y)∧H(x,y)),其中,F(x): x是火车,G(y):y是汽车,H(x,y):x比 比y快。 (4) ┐ 或 xx y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) y(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y) ),其中,F(x): x是汽车,G(y):y是火车,H(x,y):x 比y慢。 5. (1) (2) (3) (4) 6. (1) (2) (3) (4) x(x·2=x),真值为0。 xx y((x+2=y)→(y+2=x)),真值为0。 y z(x+y=z),真值为1。 xxxx y(x x(x+x=x·x),真值为1。 7. (1) 取个体域为全总个体域。 解释I1:F(x):x为有理数,G(y):y为整数,H(x,y):x x(F(x)→ y(G(y)∧H(x,y)))为真命题,所以该公式不是矛盾式。 解释I2:F(x),G(y)同I1,H(x,y):y整除x。 在I2下: x(F(x)→ y(G(y)∧H(x,y)))为假命题,所以该公式不是永真式。 (2) 请读者给出不同解释,使其分别为成真和成假的命题即可。
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