计算方法试题集及答案

复习试题

一、填空题：

?4?A??1???0?14?10???1?4????A?????，则A的LU分解为

??????????????????。

1、

答案：

?1?A??14???01?415??4????1?????1154???1?5615??0

2、已知f(1)?1.0,f(2)?1.2,f(3)?1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得

?13f(x)dx?_________,用三点式求得f?(1)? 。

答案：2.367，0.25

23、f(1)??1,f(2)?2,f(3)?1，则过这三点的二次插值多项式中x的系数为 ，

拉格朗日插值多项式为 。

L2(x)?12(x?2)(x?3)?2(x?1)(x?3)?12(x?1)(x?2)答案：-1，

4、近似值x*?0.231关于真值x?0.229有( 2 )位有效数字； 5、设f(x)可微,求方程x?f(x)的牛顿迭代格式是( )；

xn?1?xn?xn?f(xn)1?f?(xn)答案

36、对f(x)?x?x?1,差商f[0,1,2,3]?( 1 ),f[0,1,2,3,4]?( 0 )；

7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为

b?an?1( 2 )；

9、求解一阶常微分方程初值问题y?= f (x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为

yn?1?yn?h2[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)](

)；

1

10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?0度为( 5 )；

12、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均

不为零)。

y?10?3x?1?4(x?1)1x?121f(x)dx≈(

?01f(x)dx?12[f(3?123)?f(3?123)] )，代数精

?6(x?1)313、 为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表

达式改写为

y?10?(3?(4?6t)t)t,t? ，为了减少舍入误差，应将表达式22001?1999改写为 2001?1999 。

314、 用二分法求方程f(x)?x?x?1?0在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间

为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分?0.51xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。

?3x1?5x2?1?16、 求解方程组?0.2x1?4x2?0的高斯—塞德尔迭代格式为

1(k?1)(k)??(1?5x2)/3?x1?(k?1)(k?1)???x1/20?x2 ，该迭

代格式的迭代矩阵的谱半径?(M)= 12 。

17、 设f(0)?0,f(1)?16,f(2)?46,则l1(x)? l1(x)??x(x?2) ，f(x)的二次牛顿

插值多项式为 N2(x)?16x?7x(x?1) 。

18、 求积公式

?abnf(x)dx??k?0Akf(xk)的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具

有( 2n?1 )次代数精度。

19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求?15f(x)dx≈( 12 )。

2

20、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求f?(1)?( 2.5 )。

21、如果用二分法求方程x?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。

322、已知

?x3?S(x)??132(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c??20?x?11?x?3是三次样条函数，则

a=( 3 )，b=（ 3 ），c=（ 1 ）。

23、l0(x),l1(x),?,ln(x)是以整数点x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函数，则

nnn?k?0lk(x)?( 1 )，k?0?xklj(xk)?(

xj )，当n?2时k?0?(xk?xk?3)lk(x)?42( x?x?3 )。

42?y??f(x,y)?24、解初值问题?y(x0)?y0的改进欧拉法

[0]?yn?1?yn?hf(xn,yn)?h?[0]yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]?2?是

2 阶方法。

25、区间?a,b?上的三次样条插值函数S(x)在?a,b?上具有直到_____2_____阶的连续导数。 26、改变函数f(x)?x?1?1f?x??x?1?x 。

x (x??1)的形式，使计算结果较精确

27、若用二分法求方程f?x??0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 次。

?2x3,0?x?1S?x???32?x?ax?bx?c,28、设

a= 3 , b= -3 , c= 1 。

1?x?2是3次样条函数，则

29、若用复化梯形公式计算?0个求积节点。

1edxx，要求误差不超过10?6，利用余项公式估计，至少用 477

30、写出求解方程组

?x1?1.6x2?1???0.4x1?x2?2?0??0?的Gauss-Seidel迭代公式

?k??x1?k?1??1?1.6x2,k?0,1,???k?1??k?1??2?0.4x1?x2，迭代矩阵为

?1.6???0.64??，此迭代法是否收敛 收敛 。

31、设

?5A???44??A3?,则

?? 9 。

?82??16?1?0??2? 。

3

?4?A?2???132、设矩阵

8532??7?6????4?U??0??0?A?LUU?的，则 33、若f(x)?3x4?2x?1，则差商f[2,4,8,16,32]? 3 。

134、数值积分公式

??1f(x)dx?29[f(?1)?8f(0)?f?(1)]的代数精度为 2 。

?12??1???01????11?x??5???2??1??35、

线性方程组?10????3???的最小二乘解为

?1?? 。

???321???321???410??A??04??033??2??21?U???36、设矩阵

??135??分解为A?LU，则 ?002? 。

二、单项选择题：

1、 Jacobi迭代法解方程组Ax?b的必要条件是（ C ）。 A．A的各阶顺序主子式不为零 B． ?(A)?1 C． aii?0,i?1,2,?,n D． A?1

?22?3?A???051??2、设

??00?7??，则?(A)为( C )．

A． 2 B． 5 C． 7 D． 3 3、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。

A． 2 B．5 C． 3 D． 4

4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是( B )。 A． 对称阵 B． 正定矩阵

C． 任意阵 D． 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C． 观察与测量 D．数学模型准确值与实际值 6、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A． 6 B． 5 C． 4 D． 7 7、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。

A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入

4

8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A．控制舍入误差 B． 减小方法误差 C．防止计算时溢出 D． 简化计算

x3 9、用1+3近似表示1?x所产生的误差是( D )误差。

A． 舍入 B． 观测 C． 模型 D． 截断 10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。 A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A． 3 B． 4 C． 5 D． 2 13、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1

14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则f(x)=0的根是

( B )。

(A) y=?(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=?(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=?(x)的交点

?3x1?x2?4x3?1???x1?2x2?9x3?0??4x?3x?x??112315、用列主元消去法解线性方程组?，第1次消元，选择主元为

( A ) 。

(A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9

16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，

Rn(x)?f(x)?Pn(x)?f(n?1)(?)(B)

(n?1)!

(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)， (D)

Rn(x)?f(x)?Pn(x)?f(n?1)(?)(n?1)!?n?1(x)

5

17、等距二点求导公式f?(x1) ?( A )。

?5a0?10a2?15?10a1?3??10a?34a?4102正规方程组为 ?

a0?p2(x)?107?310x?1114x2107,a1?310?310117,a2?x1114

?(x)?p2

310?(0)?f?(0)?p2

6、已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表

xiyi0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。

答案：解： 应选三个节点，使误差

|R2(x)|?M33!|?3(x)|

尽量小，即应使|?3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点

{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果

sin0.63891?0.596274，

且

sin0.63891?0.596274?13!(0.63891?0.5)(0.63891?9?0.6)(0.63891?0.7)?4?0.55032?10

x7、构造求解方程e?10x?2?0的根的迭代格式xn?1??(xn),n?0,1,2,?，讨论其收敛

性，并将根求出来，|xn?1?xn|?10答案：解：令

f(x)?e?10x?2,x?4。

f(1)?10?e?0.

f(0)??2?0,x??)，故f(x)?0在(0,1)内有唯一实根.将方程且f?(x)?e?10?0对?x?(??，11

f(x)?0变形为

x?110(2?e)x

则当x?(0,1)时

?(x)?1(2?ex|??(x)|??ex?e10)，

1010?1

故迭代格式

x1xn?1?(2?en10)

收敛。取x0?0.5，计算结果列表如下：

n 0 1 2 3 xn0.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325 n 4 5 6 7 xn0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且满足 |x?67?x6|?0.00000095?10.所以x*?0.090525008.

?x1?2x2?3x3?14??2x1?5x2?2x3?188﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 ??3x1?x2?5x3?20。

?1??123?A?LU???21????1?4??答案：解：

??3?51?????24??

令Ly?b得y?(14,?10,?72)T，Ux?y得x?(1,2,3)T.

?3x?1?2x2?10x3?15?10x1?4x2?x3?59﹑对方程组 ??2x1?10x2?4x3?8

（1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；

（2） 取初值x(0)?(0,0,0)T，利用（1）中建立的迭代公式求解，||x(k?1)?x(k)||??10?3。

解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

要求

12

?10x1?4x2?x3?5??2x1?10x2?4x3?8?3x?2x?10x?15123?

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

??x(k?1)1(k)?x(k)1?(4x23?5)?10??x(k?1)1(k?1)(k)2?(?2x1?4x3?8)?10??x(k?1)?1(?3x(k?1)(k?1)?3101?2x2?15)

取x(0)?(0,0,0)T,经7步迭代可得：

x*?x(7)?(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.

10、已知下列实验数据

xi 1.36 1.95 2.16 f(xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。 1解：当0

f??(x)?ex，则 f??(x)?e，且?x0edx有一位整数.

要求近似值有5位有效数字，只须误差

R(n)1(f)?1?42?10.

(n)3由

R)1(f)?(b?a??12n2f(?)，只要

R(n)x)?e?e?41(e12n2?12n2?12?10

即可，解得

n?e6?102?67.30877???

所以 n?68，因此至少需将 [0,1] 68等份。

?1?11??x1???4???5?43????x???2????12? 11、用列主元素消元法求解方程组 ??211????x3????11??。

13

?1?5??2解： ??1?41131?4??5?r1?r2??12?????1??11????2?43251?53?1?12?4?11311?12???4?11??

?41351?53?1?127958?5????????

?5?1r2?r1?5??????02r3?r1??05???5?1r3?r2?13??0??????0???15135??5??8?r2?r3?????0????5??79??0?5???525?41355513??79??5?5??13?? ?12回代得 x3??1,x2?6,x1?3。

?x 12、取节点x0?0,x1?0.5,x2?1,求函数f(x)?e在区间[0,1]上的二次插值多项式

P2(x),并估计误差。

P2(x)?e?0解：

?(x?0.5)(x?1)(0?0.5)(0?1)?e?1?e?0.5?(x?0)(x?1)(0.5?0)(0.5?1)

?(x?0)(x?0.5)(1?0)(1?0.5)?0.5?2(x?0.5)(x?1)?4ex(x?1)?2e?1x(x?0.5)

又

f(x)?e?x?x,f???(x)??e,M3?max|f???(x)|?1x?[0,1]

。

故截断误差 13、用欧拉方法求

|R2(x)|?|e?x?P2(x)|?13!|x(x?0.5)(x?1)|y(x)??0ex?t2dt

在点x?0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。 解：

y(x)??0ex?t2dt等价于

2??y??e?x???y(0)?0 (x?0)

14

记

f(x,y)?e?x2,取h?0.5,x0?0,x1?0.5,x2?1.0,x3?1.5,x4?2.0.

则由欧拉公式

?yn?1?yn?hf(x?n,yn)?y0?0, n?0,1,2,3

可得 y(0.5)?y1?0.5,y(1.0)?y2?0.8894, 0y(1.5)?y3?1.07334,y(2.0)?y4?1.12604

14、给定方程f(x)?(x?1)ex?1?0

1) 分析该方程存在几个根；

2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。

解：1）将方程 (x?1)ex?1?0 （1）

改写为

x?1?e?x （2）

作函数f?x?1，f?x*1(x)2(x)?e的图形（略）知（2）有唯一根x?(1,2)。

2) 将方程（2）改写为 x?1?e?x

?xxk?1?1?e?k?构造迭代格式 ?x0?1.5 (k?0,1,2,?)

计算结果列表如下：

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xk 1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.27846 3) ?(x)?1?e?x，??(x)??e?x

当x?[1,2]时，?(x)?[?(2),?(1)]?[1,2]，且

|??(x)|?e?1?1

所以迭代格式 xk?1??(xk)(k?0,1,2,?)对任意x0?[1,2]均收敛。 15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。

15

2解：3是f(x)?x?3?0的正根，f?(x)?2x，牛顿迭代公式为

xn?1?xn?xn?32xn2， 即

xn?1?xn2?32xn(n?0,1,2,?)

取x0=1.7, 列表如下：

nxn1 2 1.73205 3 1.73205 1.73235 16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1，5)的近似值，取五位小数。

L2(x)?2?(x?1)(x?2)(?1?1)(?1?2)23解：

?3?32(x?1)(x?2)(1?1)(1?2)?4?43(x?1)(x?1)(2?1)(2?1)

?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?1(x?1)(x?1)?0.04167

f(1.5)?L2(1.5)?24

17、n=3,用复合梯形公式求?01edx13x的近似值（取四位小数）,并求误差估计。

23?解：01edx?T3?x1?02?3[e?2(e0?e)?e]?1.73421

xxf(x)?e,f??(x)?e，0?x?1时，|f??(x)|?e

|R|?|e?T3|?xe12?32?e108?0.025??0.05

至少有两位有效数字。

?3??1?1?0?31??1?4???118、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel迭代格式为：

?x1??5?????x?1?2????x????3?=??8?，

?(k?1)1(k)x1?(?x3?5)?3?1?(k?1)(k?1)(k)x??(?x1?x3?1)?23?1?(k?1)(k?1)(k?1)x?(?x?x?8)12?34?

16

?301???1?31??系数矩阵??1?14??严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.

取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:

k(k)x1x(k)x(k)231 1.667 0.889 -2.195 2 2.398 0.867 -2.383 3 2.461 0.359 -2.526 ?y??x?y

19、用预估—校正法求解??y(0)?1(0?x?1)，h=0。2，取两位小数。

解：预估—校正公式为

??yy1n?1?n??2(k1?k2)??k1?hf(xn,yn)??k2?hf(xn?h,yn?k1)?? n?0,1,2,?

其中f(x,y)?x?y，y0?1，h=0.2，n?0,1,2,3,4，代入上式得：

n1 2 3 4 5 xn0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 yn1.24 1.58 2.04 2.64 3.42 20、（8分）用最小二乘法求形如y?a?bx2的经验公式拟合以下数据：

xi19 25 30 38 yi19.0 32.3 49.0 73.3 解：??span{1,x2}

AT??1111???192252312382?? yT??19.032.349.073.3?

解方程组 ATAC?ATy

ATA??43391??T?173.6?其中

?33913529603?Ay???

?179980.7?? C??0.9255577??解得：?0.0501025?? 所以 a?0.9255577， b?0.0501025

17

21、（15分）用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算?0b?a1271e?xdx时，试用余项估计其误

差。用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。

解：

RT[f]??h22hf??(?)?112?182?e?01768?0.001302

T(8)?[f(a)?2?f(xk)?f(b)]k?1

?116[1?2?(0.8824969?0.7788008?0.60653066?0.5352614?0.47236655?0.41686207)?0.36787947]

?0.6329434

33x?22、（15分）方程x?x?1?0在x?1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）

x?1对应迭代格式

xn?1?3xn?1x?1?1x对应迭代格式

xn?1?1?13xn；（3）x?x?1对应

；(2)

3迭代格式xn?1?xn?1。判断迭代格式在x0?1.5的收敛性，选一种收敛格式计算x?1.5附近的根，精确到小数点后第三位。

解：（1）

??(x)?13(x?1）3?2，

??（1.5）?0.18?1，故收敛；

??(x)??2x211?1x，??（1.5）?0.17?1，故收敛；

2（2）

??（1.5）?3?1.5?1?(x)?3x2?（3），，故发散。

选择（1）： ?4?A?3???34?1x0?1.5x?1.3259，x1?1.3572，x2?1.3309，3，x4?1.3249，

x5?1.32476，

x6?1.32472

23、（8分）已知方程组AX?f，其中

???1?4???24???f?30?????24??，

（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。

1?(k?1)(k)x?(24?3x)12?4?1(k?1)(k)(k)?x2?(30?3x1?x3)?4?1(k?1)(k)x?(?24?x)32?4?k?0,1,2,3,?解：Jacobi迭代法：?

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1?(k?1)(k)x?(24?3x)12?4?1(k?1)(k?1)(k)?x2?(30?3x1?x3)?4?1(k?1)(k?1)x?(?24?x2)3?4?k?0,1,2,3,?Gauss-Seidel迭代法：?

BJ?0??1??D(L?U)???34?0???303440??3?4?0??，

?(BJ)?5(或8104)?0.790569

?dy???y?1?dx?y(0)?124、1、（15分）取步长h?0.1，求解初值问题?用改进的欧拉法求y(0.1)的值；用经

典的四阶龙格—库塔法求y(0.1)的值。

(0)?yn?1?yn?hf(xn,yn)?0.9yn?0.1?h?(0)yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]?0.905yn?0.095?2解：改进的欧拉法：?

所以y(0.1)?y1?1；

经典的四阶龙格—库塔法： ??yn?1????k2???k3??k4?yn?[k1?2k2?2k3?k4]6k1?f(xn,yn)hh?f(xn?,yn?k1)22hh?f(xn?,yn?k2)22?f(xn?h,yn?hk3)k1?k2?k3?k4?0h，所以y(0.1)?y1?1。

25、数值积分公式形如

?10xf(x)dx?S(x)?Af(0)?Bf(1)?Cf?(0)?Df?(1)4试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽

，并估计误差。

130,D??120

R(x)?量高；（2）设f(x)?C[0,1]，推导余项公式

?10xf(x)dx?S(x)720解：将f(x)?1,x,x,x分布代入公式得：

23A?320,B?,B?H3(xi)?f(xi)??H?(x)?f?(xi)i?0,1x?0,x1?1H3(x)构造Hermite插值多项式满足?3i其中0

则有：?0

1xH3(x)dx?S(x)，

f(x)?H3(x)?f(4)(?)4!x(x?1)22

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R(x)??f(4)?110x[f(x)?S(x)]dx?32?1f(4)(?)04!?f(4)x(x?1)dx32

(?)04!26、用二步法

?x(x?1)dx?f(4)(?)(?)4!?601440

yn?1??0yn??1yn?1?h[?f(xn,yn)?(1??)f(xn?1,yn?1)]

?y??f(x,y)?求解常微分方程的初值问题?y(x0)?y0时，如何选择参数?0,?1,?使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的

解：

Rn,h?y(xn?1)?yn?1?y(xn)?hy?(xn)???0y(xn)??1(y(xn)?hy?(xn)?hh222!y??(xn)?h3h33!y???(xn)??2!y??(xn)?h23!y???(xn)??)h3?h[?y?(xn)?(1??)(y?(xn)?hy??(xn)?2!y???(xn)?3!y(4)(xn)??]

?(1??0??1)y(xn)?h(1?1??1)y?(xn)?h(212??12?1??)y??(xn)?h(316??16?1??2)y???(xn)?O(h)4

??1??0??1?0??1?0???1?1?1???0??22?所以

5hy???(xn)3???0?1???1?0?3???2 ?主项：12 该方法是二阶的。

27、（10分）已知数值积分公式为：

?h0f(x)dx?h2[f(0)?f(h)]??h[f(0)?f(h)]2''，试确定积分公式中的参数?，使其代数精

确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解：f(x)?1显然精确成立；

h2? f(x)?x时，0f(x)?x时，?02hxdx?hh32?h22[0?h]??h[1?1]2；

2hxdx?xdx?43234??h2h2h2[0?h]??h[0?2h]?[0?h]?43h32?2?h???112；

f(x)?x3?时，

h1121120h4h5h[0?3h]22；

h[0?4h]?23f(x)?x时，?04xdx?5?[0?h]?h56；

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