金融工程期末复习题

金融工程期末复习题

（个人整理，仅供参考，如有错处请指正——B）

一、简述题（30分）

1.金融工程包括哪些主要内容？

答：产品与解决方案设计，准确定价与风险管理是金融工程的主要内容 P3 2.金融工程的工具都有哪些？

答：基础证券（主要包括股票和债券）和金融衍生产品（远期，期货，互换和期权）P4 3.无套利定价方法有哪些主要特征？ 答：a.套利活动在无风险的状态下进行 b.无套利的关键技术是“复制”技术

c.无风险的套利活动从初始现金流看是零投资组合，即开始时套利者不需要任何资金的

投入，在投资期间也不需要任何的维持成本。P16 4.衍生证券定价的基本假设为何？ 答：（1）市场不存在摩擦

（2）市场参与者不承担对手风险 （3）市场是完全竞争的

（4）市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好 （5）市场不存在无风险套利机会 P20 5.请解释远期与期货的基本区别。

答：a.交易场所不同 b.标准化程度不同 c.违约风险不同 d.合约双方关系不同 e.价格确定方式不同 f.结算方式不同 g.结清方式不同 P44 6.金融互换的主要有哪些种类？

答：利率互换与货币互换和其它互换（交叉货币利率互换、基点互换、零息互换、后期确

定互换、差额互换、远期互换、股票互换等等）P104 7.二叉树定价方法的基本原理是什么？

答：二叉树图方法用离散的模型模拟资产价格的连续运动，利用均值和方差匹配来确定相关参数，然后从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。P214

8.简要说明股票期权与权证的差别。 答：股本权证与备兑权证的差别主要在于： （1）有无发行环节； （2）有无数量限制； （3）是否影响总股本。

股票期权与股本权证的区别主要在于： （1）有无发行环节

（2）有无数量限制。P162

9.影响期权价格的因素主要有哪些？它们对欧式看涨期权有何影响？ 答：

1) 标的资产的市场价格（+） 2) 期权的协议价格（—） 3) 期权的有效期（？） 4) 标的资产价格的波动率（+） 5) 无风险利率（+） 6) 标的资产收益（—）

“+”表示对欧式看涨期权正向的影响，“—”表示反向的影响，“？”表示不确定P175 10.蒙特卡罗模拟法的主要优缺点。

答：优点：A.在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡罗模拟法，而无需对期权定价模

型有深刻的理解，所用的数学知识也很基本 B.为了获得更精确的答案，只需要进行更多的模拟 C.无需太多工作就可以转换模型。

缺点：A.难以处理提前执行的情形，因此难以为美式期权定价 B.为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算 P226 11.用蒙特卡罗法确定期权价格的基本过程是什么？

答：由于大部分期权价值等于期权到期回报的期望值的贴现，因此先模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，然后计算所有路径结果下的期权回报均值，最后用无风险利率贴现就可以得到期权价值。P222

12.隐性，显性有限差分法各有何缺点？

答：隐性有限差分缺点：需要求解大量的联立方程。

显性差分缺点：它的三个“概率”可能小于零，这导致了这种方法的不稳定，它的解有可能不收敛于偏微分方程的解。P232 13.有限差分法的主要特点是什么？

答：利用离散的模型模拟资产价格的连续运动, 有限差分方法中的格点是固定均匀的，相应地参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形P226 14.什么样的交易策略可以构造反向的差期组合？

答：A.看涨期权的反向差期组合：一份看涨期权多头与一分期限较长的看涨期权空头的组合。 B.看跌期权的反向差期组合：一份看跌期权多头与一分期限较长的看跌期权空头的组合。P242 二．填空题

1. 无收益资产欧式看跌期权的定价公式：P??SN(?d1)?Xe?r(T?t)N(?d2)

2.

无收益资产美式看涨期权的定价公式：

C?SN(d1)?Xe?r(T?t)N(d2)

3. 提前执行无收益资产看涨期权是 不合理的 提前执行有收益资产看涨期权是 可能是合

理的 4.

C?Xe 无收益欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系?r(T?t)?P?S

5. 欧式看跌期权价格的上限为 Xe?r(T?t) ，美式看跌期权价格的上限为 X

6. 某股票遵循几何布朗运动，期望收益率为16%，波动率为25%，现价为38，基于该股票的

欧式看涨期权执行价格为40，6个月后到期，该期权被执行的概率为

lnN(d2)?N(3840?(0.16?0.2522)?0.5)?N(0.0740)?0.5295。

0.250.5【N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说欧式看涨期权被执行的概率P202】 三、计算题

1. 某无红利支付股票的欧式期权执行价格为29，股票现价为30，无风险利率为5%，股票年

波动率为25%，期权到期日为4个月。 （1）.如果该期权为欧式看涨期权，计算其价格 （2）.如果该期权为欧式看跌期权，计算其价格 （3）.验证看张看跌期权平价关系是否成立 解：

ln因为d1?SX?(r??22)(T?t)?ln3029?(0.05?0.250.2524122)?412?0.4225?412(T?t)d2?d1?0.25?0.2782所以N(d1)?0.6637，N(d2)?0.60967C?SN(d1)?Xe?r(T?t)N(d2)?30?0.6637?29?e?0.05?412?0.60967?2.522?0.05?412P??SN(?d1)?Xe又因为P?C?Xe

?r(T?t)N(?d2)??30?(1?0.6637)?29?e关系成立?(1?0.60967)?1.043?r(T?t)?S，故看涨看跌期权平价2. 股价S=50，无风险年利率r=10%,一基于这股票，执行价格都为X=40的欧式看涨和欧式看

跌期权价相差7，都将于6个月后到期，问是否存在套利，若有如何操作？

解：若根据无收益资产欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系C?Xe代入数据计算得即存在套利。

C?P?11.95?7?r(T?t)?P?S，故题目中的欧式看涨和欧式看跌期权不符合平价关系，

套利方法：买入看涨期权，卖空看跌期权和股票，将净现金收入43元进行6个月的无风险投资，到期时将获得45.2元。如果到期时股票价格高于40元，将执行看涨期权，如果低于40元，看跌期权将被执行，因此无论如何，投资者均将按照40元购买股票，正好用于平仓

卖空的股票，因此将获得净收益5.2。

3. 某无红利支付股票的欧式期权执行价为29，股票现价为30，无风险年利率为5%，股票年

波动率为25%，期权到期日为4个月，如果该期权为欧式看涨期权，计算其价格。（N（0.4225）=0.6637，N（0.2782）=0.60967） 解

：

由题题意知 X=29 S=30 r=0.05 б=0.25 T-t=1/3 则lnd1?SX?(r??22)(T?t)?ln3029?(0.05?0.250.2524122)?412?0.4225?(T?t)412d2?d1?0.25?0.2782

所以N(d1)?0.6637，N(d2)?0.60967由BSM期权定价公式可求得欧C?SN(d1)?Xe?r(T?t)式看涨期权价格为?0.05?412N(d2)?30?0.6637?29?e?0.60967?2.5224. 证明BSM欧式看涨期权和欧式看跌期权定价公式符合欧式看涨期权和欧式看跌期权平价公

式。

证：BSM欧式看涨期权和欧式看跌期权定价公式分别为

C?SN(d1)?Xe?r(T?t)N(d2)................①N(?d2)........②?r(T?t)P??SN(?d1)?Xe?r(T?t)

欧式看涨期权和欧式看跌期权平价公式为C?Xe①—②得

?P?S

?r(T?t)C?P?SN(d1)?XeN(d2)?SN(?d1)?Xe?r(T?t)?r(T?t)N(?d2).........?S[N(d1)?N(?d1)]?Xe又根据标准正态分布函C?P?S?Xe即C?Xe?r(T?t)?r(T?t)[N(d2)?N(?d2)]N(X)?N(?X)?1，得

数特性，有?P?S5. 无风险年率为10%，股票价格的年波动率为25%，计算标的为不支付红利的股票6个月期

的平价欧式看跌期权的Delta值。

由题意知S?X,r?0.1，??0.25，T?t?0.5,故lnd1?SX?(r??22)(T?t)?(0.1?0.2522)?0.50.5?0.3712?(T?t)0.25解：所以欧式看跌期权的Delta值为

??N(d1)?1?N(0.3712)?1?0.644744?1??0.3552566. 设一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为$930，

6个月期的无风险年利率（连续复利）为6%，该债券的现价为$910，求远期合约多头的价值。

根据题意，有S?910，K?930，r?0.06，T?t?0.5解：则该远期合约多头价值为?0.06?0.5

f?S?Ke?r(T?t)?910?930?e?7.497. 假设一年期的贴现债券价格为$950，3个月期无风险年利率为5%，求3个月期的该债券远

期合约的交割价格。

根据题意，有S?950，r?0.05，T?t?0.25解：

则根据无收益资产的现该债券远期合约的交割F?Ser(T?t)货—远期平价定理得价格为0.05?0.25

?950?e?961.958. 2009年8月31日，美元3个月与6个月期的无风险年利率分别为3.99％与4.17％。某只不

付红利的股票3个月期的远期价格为20元，该股票6个月期的远期价格应为多少？ 解：

根据题意，有F?20,r?3.99%,r?4.17%,T?t?0.25,T则根据远期的期限结构F

9. 假设一份5年期附息票债券，价格为900元。假定这种债券的一年期远期合约的交割价格为

910元。预期在6个月后和12个月后将分别支付债券利息各40元，其中第二期利息支付恰好在远期合约交割日之前。6个月期和1年期无风险年利率各为9％和10％。求远期合约的价值。 解：

***?t?0.5知，该股票6个月期的远期价格应为0.0417?0.5?0.0399?0.25?Fer(T?t)?r(T?t)**?20?e?20.22根据已知条件，该债券I?40?e?0.09?0.5已知现金收益的现值为?0.1?1?40?e?74.43求得该远期合约多头价值为则根据支付已知现金收f?S?I?Ke

?r(T?t)益率的远期价值公式可?0.1?1?900?74.43?910e远期价值为?2.17相应的，该合约空头的?2.17元。10. 假设黄金的现价为每盎司450美元，其存储成本为每年每盎司2美元，在年底支付，无风险

年利率为7%。求一年期黄金远期价格。

根据已知条件，可算得I??2e?0.07?1一年后支付存储成本的现值为??1.86益率的远期价格公式价格为

则根据支付已知现金收解：

可求得一年期黄金远期F?(S?I)?e(T?t)0.07?1 ?(450?1.86)?e ?484.62(美元/每盎司）11. A股票现在的市场价格是25美元，年平均红利率为4％，无风险利率为10％，若该股票6

个月的远期合约的交割价格为27美元，求该远期合约的价值及远期价格。

由题意知，S?25，q?0.04，r?0.1，X?27，T?t?0.5资产的远期合约多头价?q(T?t)则根据支付已知红利率远期多头价值：解：

值价格公式得f?Se?Ke?r(T?t)?0.1?0.5 ?25e?0.04?0.5?27e

??1.18相应的远期空头价值远期多头价格：?f?1.18美元(r?q)(T?t)F?Se?25e(0.1?0.04)?0.525.7612. 假设2年期即期利率为10.5%，3年期即期利率为11%，本金为100万美元的2年×3年远

期利率协议的协议利率为11%，请问该远期利率协议的价值和理论上的协议利率等于多少？ 解：

由题意知r?0.105，r?0.11，rK?0.11，A?100，T?t?2，T?T?1则理论上的协议利率为rF?r?(r?r)****T?tT?T**?0.11?(0.11?0.105)?2?0.12

远期利率协议的价值为f?[AerK(T?T)0.11?1*?AerF(T?T)0.12?1]e?r(T?T)** ?(100e?100e)e?0.11?2 ??0.9(万美元)13. 假设在一笔互换合约中，某一金融机构支付6个月期的LIBOR，同时收取8％的年利率（半

年计一次复利），名义本金为1亿美元。互换还有1.25年的期限。3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利率）分别为10％、10.5％和11％。上一次利息支付日的6个月LIBOR为10.2％（半年计一次复利），求互换对银行的价值。 解：

运用债券组合给利率互Bfix为互换合约中分解出的Bfl为互换合约中分解出的则，固定利息额现金流 浮动利息额现金流n换定价：固定利率债券的价值浮动利率债券的价值k?100000000k?100000000?rntn*?0.08?2?400万美元，?0.102?2?510万美元则 Bfix??i?1ke?riti?Ae ?400e?0.1?0.25?400e?0.105?0.75?10400e?0.11?1.25 ?9424.537万美元 Bfl?(A?k)e*?r1t1?(10000?510)?e?0.1?0.25 ?10250.507万美元因此，对于银行而言，

14. 假设在美国和日本LIBOR利率的期限结构是平的，在日本是4％而在美国是9％（都是连续

复利），某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元，利率为5％，同时付出美元，利率为8％。两种货币的本金分别为1000万美元和120000万日元。这笔互换还有3年的期限，即期汇率为1美元＝110日元，求货币互换的价值。

此利率互换的价值为 V?Bfl?Bfix?10250.507?9424.537?825.97万美元

运用债券组合为货币互若以美元为本币，那么BF使用外币表示的从互换每期外币现金流换定价：中分解出来的外币债券的价值外币本金AF?120000万日元KF?120000?0.05?6000万日元本币债券的价值BD是从互换中分解出来的本币本金AD?1000万美元每期本币现金流即期汇率SO?KD?1000?0.08?80万美元1110若以美元为本币，那么nBD??i?1KDe?rDt?ADe?rDt ?80e?0.09?1?80e?0.09?2?1080e?0.09?3 ?964.386万美元nBF??i?1KFe?rFt?AFe?rFt ?6000e解：

?0.04?1?6000e?0.04?2?126000e?0.04?3 ?123055.410万日元则对付出本币，收入外V?SOBF?BD?币的那一方，货币互换110价值为：

123055.410?964.386?154.30万美元

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