2014年线性代数考研最新信息分享

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二. 向量组的线性相关性 讨论向量组的内在关系的性质.

1． 意义和定义--从三个方面看线性相关性

（1） 意义:线性相关性是描述向量组内在关系的概念.

如果向量组 1, 2, , s 中有向量可以用其它的s-1个向量线性表示,就说 1, 2, , s 线性相关.

如果向量组 1, 2, , s 中每个向量都不可以用其它的s-1个向量线性表示,就说 1, 2, , s 线性无关.

1 0 0

，， 1 0 a1 a2 a3 0

0 0 1

1 0 0 1

a1 0 ，a2 1 ，a3 0 a4 0

0 0 1 1

两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例.如 =(a1,a2,a3)和 =(b1,b2,b3)相关,不妨设 =c ,即b1=ca1, b2=ca12, b3=ca3.

（2）定义 设 1, 2, , s 是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2, ,cs使得

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c1 1+c2 2+ +cs s=0,

则说 1, 2, , s 线性相关 否则就说它们线性无关. 说明:① 意义和定义是一致的.比如设cs不为0,则 s= -(c1 1+c2 2+ +cs-1 s—1)/cs.

② 当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量. ③ 1, 2, , s 线性无关即要使得c1 1+c2 2+ +cs s=0,必须c1,c2, ,cs

全为0.

(3) 1, 2, , s “线性相关还是无关”就是向量方程x1 1+ x2 2+ +xs s=0“有没有非零解”.

如果令A=( 1, 2, , s ), 则

1, 2, , s 线性相关(无关) 齐次方程组 AX=0有非零解(无非零解). 2. 性质

(1)若向量的个数s等于维数n,则 1, 2, , n线性相关 | 1, 2, , n|=0.

当向量的个数s大于维数n时, 1, 2, , s 一定线性相关.

用齐次方程组, 注意:n是AX=0的方程数, s是AX=0的未知数个数. s=n时用克莱姆法则.

s>n即方程数n少于是AX=0的未知数个数s,一定有非零解.

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(2) 线性无关向量组的每个部分组都无关(于是每个向量都不是零向量). 1, 2, 3, 4, 5无关 1, 3, 5无关

逆否命题:如果向量组有线性相关的部分组,则它本身也线性相关.

(3) 如果 1, 2, , s 线性无关 则

1, 2, , s , 线性相关 1, 2, , s . ( 1, 2, , s , 1, 2, , s .)

明显.

设c1,c2, ,cs, c不全为0,使得

c1 1+c2 2+ +cs s+c =0,

则c不为0(否则 1, 2, , s 线性相关),因此 1, 2, , s .

例 1=(1,2, a+3)， 2=( 2,1 ,a+6)， 3=(2,1,a+4) 线性无关．

例15 1, 2, 3, 线性无关,而 1, 2, 3, 线性相关,则 A) 1, 2, 3,c + 线性相关. (B) 1, 2, 3,c + 线性无关. (C) 1, 2, 3, +c 线性相关. (D 1, 2, 3, +c 线性无关.

2008年的一个题中:已知 1, 2都是3阶矩阵A的特征向量,特征值分别为

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-1和1,又3维向量 3满足

A 3= 2+ 3.

证明 1, 2, 3线性无关.

(看题解)

c2 c3 0（1） 设c1 123

c2 c3 c3 0 （2） A（1） 得 c1 1223 c3 0 （3） （1）-（2）：2c1 12 c3 0 （4） A（3） 2c1 12 0，得 c1 0； （3）-（4） 4c1 1 0，得 c3 0， 代人（3），-c3 2 0，得 c2 0 代人（1），c2 2

方法二： ， 线性无关，只用证 c3 12

c1 c2 若 ，（1） 312

,

1

2

3 c1 c2 得 （2） 2 12

2c1 ,2线性无关矛盾。 （2）-（1）： 与 211

2009年的一个题中: 1 0, A 1=0, A 2= 1, A2 2= 1, 证明 1, 2, 3

线性无关. (看题解)

，,3满 证明：A 是3阶矩阵，是3维非零列向量，使得A 又 112 ,2, 足A ，A ，证明 线性无关。 31211 3

2

证：方法一（用定义法）

c2 c3 0 （1） 设c1 123

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A

2

(1):

c2A c3A 0，即c3 0，得c3 0 c1A 1231

222

c2 0 （1）化为c1 12 0，得c2 0 A（1）：c2 1

（1）化为

c 0，得c 0

1

1

1

0， 方法二： 无关 11

（否则 c ，A cA ）

2

1

2

1

2

1

1

,2线性无关 所以 1

又 3

0 ) ,2（否则 c1 c2 ，A 311 312

2

(4) 如果 1, 2, , s ,则 1, 2, , s 线性无关.

1, 2, , s 线性相关.

(5) 如果 1, 2, , t 1, 2, , s ，并且t>s,则 1, 2, , t线性相关.

逆否命题: 如果 1, 2, , t 1, 2, , s 并且 1, 2, , t线性无关. 则t s,

推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.

三.向量组的极大无关组和秩

向量组的内在性质的定量的讨论. 向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无关的部分组.

1

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1 2 0 3

，， 0 0 0 a1 a2 a3 a4 0

0 0 0 0 1 0 0 1

a1 0 ，a2 1 ，a3 0 a4 1

0 0 0 0

1. 定义与简单性质

定义 设 1, 2, , s 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果 ① (I) 线性无关.

② (I) 再扩大就线性相关.

就称(I)为 1, 2, , s 的一个极大无关组.称(I) 中所包含向量的个数为 1, 2, , s 的秩。记作r( 1, 2, , s).

说明i) 1, 2, , s 的不同的极大无关组包含向量的个数会不会不同？

任何 I都可用极大无关组(I) 线性表示,从而(I) 与 1, 2, , s 等价.

于是任意两个极大无关组 等价，因此包含向量的个数相同。

说明ii) 如果 1, 2, , s 全是零向量,则规定r( 1, 2, , s)=0.

如果r( 1, 2, , s)=3,则

i) 1, 2, , s 有包含3个向量的无关部分组。 ii) 一个部分组如果含有多于3个向量,则它一定的相关.

iii） 1, 2, , s 的每个含有3个向量的线性无关部分组一定是极大无

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关组.

0 r( 1, 2, , s) Min{s。n}

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