直线一级倒立摆控制系统仿真

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直线一级倒立摆控制系统仿真

摘要

倒立摆系统是自动控制领域典型的试验设备，它具有多变量、非线性、强耦合等特点，这些特点使倒立摆控制涉及控制理论的许多关键性问题，从而使倒立摆系统广泛应用于自动控制理论的研究与教学中。

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对于倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制领域里引起人们极大兴趣的问题。倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定的系统。研究倒立摆系统能有效地反映控制中的许多问题。倒立摆研究具有重要的理论价值和应用价值。理论上，它是检验各种新的控制理论和方法的有效实验装置。应用上，倒立摆广泛应用于控制理论研究、航空航天控制、机器人、杂技顶杆表演等领域，在自动化领域中具有重要的价值。另外，由于此装置成本低廉，结构简单，便于用模拟、数字等不同方式控制，在控制理论教学和科研中也有很多应用。

本论文中，以一级倒立摆为研究对象，对它的起摆以及稳摆控制做了研究。主要研究工作如下：

1.

首先介绍了倒立摆系统的组成和控制原理，建立了一级倒立

摆的数学模型，对倒立摆系统进行定性分析，证明倒立摆开环不稳定的，但在平衡点是能控的能观的。

2.

设计了PID控制器和线性二次型（LQR）最优控制器，对系

统进行仿真对比研究，对不同的输入响应以及不同的初始条件下的响应进行对比仿真，PID控制器作为反馈传递函数，结构简单，但控制的效果稍差一些，LQR最优控制是一种较成熟的现代控制理论方法，其控制效果较好，可以用现在实时性要求较高的场合，但控制系统的复杂性、非线性的增加控制性能会降低，由此，我们需要研究更有效的控制方法。

3.

对设计的PID控制器和线性最优控制器利用MATLAB进行

仿真实验，调整参数，得到的仿真结果具有良好的控制效果。

4.

最后在Sumulink环境下实现是实时控制。

关键词：直线一级倒立摆；MATAB/Sumulink仿真；控制系统；PID控制器

Abstract

Inverted pendulum system is typical test equipment in the automatic control fields. It has many characteristics such as multi-variable, nonlinear and strong coupling. Inverted pendulum controls involve many key control theory issues. So it is widely

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used in research and teaching of automatic control theory.

The control of inverted pendulum system has been long considered as an intriguing problem in control theory and application.Inverted pendulum system is a typical quick,,multivariable,nonlinear and unstable ayatem.So it is a classic system that can reflect many problems which exist in control realm.Inverted pendulum is a very important plant.In theory,It is well known as a test bed for new control throry and techniques. And in application many equipments such as aviation,robots can’t do without it.The inverted pendulum plant is in common use in control teaching and research as it is also cheap and casy to get.So it is amused and valuable for a senior student to do research on this subject.

In this paper,single inverted pendulum is investigated, and we place emphaisi on the control of swing-up and stability of the single inverted pendulum..Main research eork is declared below.

1.

First,the composing and working principle of the inverted

pendulum is introduced and its mathematic model is built.It is proved its open control system is instability, but it is controllable and observable on equilibrium point.

2.

PID controller and linear quadratic optimal (LQR) controller is

designed. Also, through simulation in Matlab, response of different input and initial conditions of the two methods are compared and studied carefully.The experiments show that PID controller is a simple atructure as feedback transfer function.But its control effect is less perfect. LQR controller is a relatively sophisticated of modem control theort. Its control effect is refect. And it can be used in real-time control. Also the complexity of the accused system and the increase of non-linearity will reduce the control performance. So , we should study more effective control methods.

3.

And then , The inverted PID controller and linear quadratic

optimal (LQR) controller are simulated in Matlab software. The results of simulation from adjusting parameters show that the control method has good control ability.

4.

Last, the control is achieved in Real-time Workshop of Simulink

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environment.

Keywords:Straight level inverted pendulum; Matlab/Sumulink Simulation;

The control system; PID Controller

目录

1绪论 ............................................................................................................................................... 4

1.1倒立摆系统稳定性研究的背景和意义 ............................................................................. 4 1.2倒立摆系统的特性 ............................................................................................................. 6 1.3 倒立摆系统控制的研究历史及现状 ................................................................................ 6

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1.4倒立摆控制策略的研究 ..................................................................................................... 9 1.5 本文所做的工作 .............................................................................................................. 10 2、倒立摆系统 ............................................................................................................................... 10

2.1倒立摆的工作原理 ........................................................................................................... 11 2.2倒立摆系统特性分析 ....................................................................................................... 12 3一级倒立摆的物理建模 .............................................................................................................. 13

3.1微分方程的推导 ............................................................................................................... 15 3.2传递函数的推导 ............................................................................................................... 16 3.3状态空间方程的推导 ....................................................................................................... 17 3.4 一级倒立摆系统的定性分析 .......................................................................................... 19 4Matlab基础知识介绍 .................................................................................................................. 20

4.1Sumulink仿真环境介绍 ................................................................................................... 20 4.2 GUI界面 .......................................................................................................................... 21 4.3 S-函数介绍 ....................................................................................................................... 22 4.4 子系统的封装 .................................................................................................................. 23 4.5 本章小结 .......................................................................................................................... 24 5倒立摆的稳定性控制及仿真 ...................................................................................................... 24

5.1倒立摆的稳定控制方案比较 ........................................................................................... 24

5.1.1模糊控制算法 ........................................................................................................ 24 5.1.2 神经网络控制 ....................................................................................................... 25 5.2 PID 控制的基本思想 ...................................................................................................... 26 6总结与展望 .................................................................................................................................. 33

1绪论

1.1倒立摆系统稳定性研究的背景和意义

随着科学技术的发展，实际工业生产过程中出现了各种各样的控制难题，这就不断的对自动控制理论提出新的挑战，对这些挑战性问题的深入研究又推动着控制理论不断地向前发展。自动控制理论的发展己经历经了经典控制理论、现代

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控制理论，大系统理论和智能控制理论等一些新的理论三个阶段，在控制理论发展的同时，人们发现倒立摆系统是理想的自动控制理论研究与教学实验设备， 使用它能多方面的满足自动控制理论研究与教学的要求，许多抽象的控制概念如系统稳定性、 可控性、 收敛速度、抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观地表现出来。倒立摆系统是一个复杂的多变量、高度非线性、强耦合和快速运动的绝对不稳定系统，其种类很多，通常可分为直线倒立摆，旋转倒立摆和平面倒立摆等，按照级数又分为一级、二级、三级、四级等，随着级数的增加，它的控制难度也相应提高。它作为一个典型的实验装置，常用来检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的处理能力，故受到世界各国许多科学家的重视，从而用各种新的控制方法控制各种类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。

对于倒立摆系统的稳定控制，不仅具有重要的理论意义， 而且还具有很重要的工程实践意义。一方面由于倒立摆系统具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点，在实验室条件下易于实现；此外对于倒立摆系统的稳定控制，会涉及到控制中的许多关键问题，比如镇定问题、非线性问题、随动问题、跟踪问题以及鲁棒性问题等，人们试图通过倒立摆这样一个复杂多变的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，充分验证新的控制方法的有效性及可靠性。另一方面，凡任何重心在上、支点在下的控制问题，都可近似地化为一种倒立摆模型。例如，机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制、航空器对接控制技术中的欠自由度多级机械手臂定位控制等等，因此倒立摆的稳定控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业工程中有着很广泛的用途，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。正是由于对倒立摆系统稳定控制研究有着重大的理论研究价值和诱人的应用前景，因而倒立摆的稳定控制成为了控制理论中极为热点的研究课题。

作为控制领域研究的热点，倒立摆装置不仅被公认为自动控制理论中的典型试验设备， 同时也是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型，通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论涉及的三个主要基础学科:力学、数学和电学进行有机的综合应用。此外，在工程实践中，多种控制理论与方法的研究和应用，存在一种将其理论和方法得到有效的验证的可行性试验问题，倒立摆控制系统可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。

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1.2倒立摆系统的特性

虽然倒立摆的结构和形态各异，但是所有的倒立摆都具有以下特性： 1非线性

倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到形态的近似模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。倒立摆的非线性控制正成为一个研究热点。 2不确定性

主要是模型误差遗迹机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过试驾预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。 3、耦合性

倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。 4、开环不稳定性

倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上的为绝对不稳定的平衡点，垂直向下的为稳定的平衡点。 5、约束限制

由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小。行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。

1.3 倒立摆系统控制的研究历史及现状

倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院专家设计出一级倒立摆实验设备，而后世界各国都将一级倒立摆控制作为验证某种控制理论或方法的典型方案。后来人们研究的倒立摆的种类也由简单的单级倒立摆迅速发展为多种形式的倒立摆系统。

鉴于倒立摆的稳定控制研究的重要意义，国内外学者对此给予了广泛关注。国外在60 年代就开始了对一级倒立摆系统的研究，Sahaefer等[1]应用线性比例控制器实现了单级倒立摆的稳定控制。在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性证例，控制理论界提出了倒立摆的概念，并用其验证控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视。从上世

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纪70年代初期开始，用状态反馈理论对不同类型倒立摆的控制问题成了当时的一个研究热点，并且在很多方面取得了比较满意的效果。1972年Sturgen等[2]应用极点配置法对二级倒立摆设计了模拟控制器并使用了全维观测器。基于线性化方法，1978年日本K.Furuta教授研究组[3]成功地稳定了二级倒立摆,随后，使用计算机采用降维观测器完成了倾斜轨道上的二级倒立摆控制[4],后来应用最优状态调节器理论实现了具有双电机的三级倒立摆的控制。

对倒立摆研究我国起步较晚，从70年代中期开始研究。早期应用PID、极点配置等方法来实现直线倒立摆的控制，1982年，西安交通大学完成了二级倒立摆系统的研制和控制，采用了最优控制和降维观测器，以模拟电路实现。由于传统的经典控制理论主要采用传递函数、频率特性、根轨迹为基础的频域分析方法，能够很好地解决单输入单输出问题，研究的系统多半是线性定常系统，而状态反馈控制依赖于线性化的数学模型，因此对于一般的工业过程尤其是数学模型变化的或不清晰的非线性控制对象无能为力。随着模糊控制理论的发展，将模糊控制理论应用于倒立摆系统的控制研究也随之受到许多学者的关注，在这一阶段，将模糊理论用于倒立摆取得了很大的成功[5-7]。针对模糊控制器随着输入量的增多，控制规则数随之成指数增加，进而使模糊控制器的设计异常复杂，执行时间大大增长的问题，1995年，张乃尧等[8]采用双闭环模糊控制方案控制一级倒立摆，很好的解决了这个问题。程福雁等[9]研究了使用参变量模糊控制规则对二级倒立摆进行实时控制的问题。作者通过最优控制理论得出倒立摆系统各状态变量之间的综合关系，来处理系统的多变量问题，通过仿真寻优和重复实验相结合的方法，得到了控制倒立摆的最优参数，并最终实现实时控制。1997年，T.H.Hung等[10]设计了类PI模糊控制器应用于单级倒立摆控制，其隶属函数可以根据比例和积分增益进行调整。Yi Jianqiang等[11]设计了能根据实际情况动态调整小车位置控制和两个摆杆角度控制权重的模糊控制器，使角度控制优先于位置控制，最终达到平行二级倒立摆的稳定。

随着工业控制技术的发展，被控对象日趋复杂，对控制性能的要求不断提高，使传统控制理论面临新的挑战。在非常复杂对象的控制问题面前，把人工智能的方法引入控制系统，使得各种新的先进控制方法更加广泛地应用于倒立摆系统，如模糊控制、神经网络控制、云模型、滑模变结构控制等。C W Anderson[12]提出基于神经网络的具有自学习能力的倒立摆控制方法，Wang Lixin [13]设计了一种自适应的模糊控制器，其在线参数可根据基于专家经验的适应性策略进行调整，

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并实现小车跟踪给定轨迹。陈晖等

[14]

和张飞舟等

[15]

分别提出利用云模型实现智能

控制倒立摆的方法，不需要被控对象的数学模型 ,只需依据人的经验、感觉和逻辑判断 ,将人用语言值通过云模型转换为控制规则，就可以实现控制。也有几种方法的混合控制，如模糊与神经网络结合，模糊与预测相结合等，这样可以同时利用两种控制方法的优点，设计出更加先进的控制方法。Lee Hahn-Ming等[16]利用基于神经网络模型的模糊规则，并通过神经网络的训练修正模糊规则，结果实现了倒立摆的控制。吴耿锋等[17]构造了一个基于增强型算法并自动生成规则的模糊神经网络控制器RBFNN(reinforcement based on fuzzy neural network controller)，用于倒立摆取得了良好的控制效果。杨振强等[18]提出用递阶模糊神经网络控制二级倒立摆，利用专家的控制经验初始化网络参数，并利用遗传算法对其进行优化，有效减少了多变量输入的模糊神经网络控制器的规则数，实验结果表明该方法控制效果好、鲁棒性强。Q. P. Ha等

[19]

利用等效控制、切换控

制和模糊控制三部分共同构成模糊滑模控制器，通过模糊规则的设计降低了切换

控制形成的抖振。

国内很多大学和科研机构都对倒立摆控制进行了大量有成效的研究工作。90年代，我国的倒立摆控制研究在某些方面己经走在了世界的前列。北京航空航天大学张明廉教授领导的课题组，提出了“拟人智能控制理论”框架[20-21]，于1994年8月成功地实现单电机控制的三级倒立摆控制，并给出了基于拟人智能控制理论进行复杂自动控制系统设计的一般结论。2002年8月，李洪兴教授应用变论域自适应模糊控制算法控制直线倒立摆[22]，成功地实现了全球首例“四级倒立摆实物系统控制”，填补了当时的世界空白，之后，于2003年10月在世界上第一个成功实现了平面三级倒立摆实物系统的控制。

倒立摆系统本质上是非线性系统，非线性的控制方法应用于倒立摆系统也受到人们的重视，滑模变结构控制（Sliding mode control，简称SMC）属于非线性控制的范畴，又具有对干扰和不确定参数的完全自适应性的特点，因此逐渐越来越受到重视，有很多不同的滑模控制器已经应用于倒立摆系统的控制。1996年P．G．Grossimon等[23]通过设计一种新型滑动模面，把摆角转化为基座转动角度的函数，并实现了平面倒立摆的滑模控制。2002年张克勤等[24]利用倒立摆的特征值，设计了一种全鲁棒滑模面，实现了具有单输入的三级倒立摆全鲁棒滑模控制。

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伴随着滑模变结构控制的问题是容易产生抖振现象，这是由于滑模变结构控制在本质上的不连续开关特性产生的，这种抖振可能会使系统变得不稳定，同时，抖振也增加了控制器的负担，易损坏控制器的部件，所以，解决滑模变结构控制中的抖振问题已经成为滑模变结构控制研究的重点研究方向。于是滑模变结构控制和其他先进控制方法相结合，可以在一定程度上削弱抖振，这样滑模和模糊方法相结合[25-26]、和神经网络方法相结合[27-28]、和遗传算法相结合[29]等控制方法就迅速发展起来了，这些方法可以实现快速控制，具有很强的鲁棒性，同时又能消除抖振，具有更好的控制效果。

倒立摆作为一个典型的被控对象，适合用多种理论和方法进行控制。当前，常见的倒立摆的控制规律有以下几种:(1)PID 控制；(2)状态反馈控制；(3)模糊控制；(4)自适应控制；(5)神经网络控制；(6)滑模变结构控制；(7)拟人智能控制；(8)几种控制算法相结合的混合控制，充分利用各控制算法的优越性，来实现一种组合式的控制方法，如前文所述的神经网络与模糊结合的方法、模糊和变结构相结合的方法。

倒立摆装置控制难度不断提高促使倒立摆系统控制方法的不断发展，才能不断提出新的控制算法。在国内，深圳固高科技有限公司一直致力于倒立摆产品的开发，现己成功地开发出直线倒立摆、旋转倒立摆、XY平台平面倒立摆等多种倒立摆系统，其产品被国内很多大学所采用，并作为对控制策略方法进行研究的重要手段。

随着对倒立摆控制系统研究的深入，采用智能控制或混合控制等一些新方法来实现倒立摆的稳定控制成了今后研究的重点和发展方向，引起了国内外学者的广泛关注，成为控制领域研究的热门课题之一，越来越多的理论被成功应用于倒立摆系统，取得了可喜的成果。国际上每年都有很多关于倒立摆控制研究的论文发表，其中大部分是建立在计算机仿真研究的基础上。而且主要是以一级或二级直线倒立摆为对象，三级倒立摆和多级倒立摆的仿真研究较少，而对平面倒立摆进行仿真研究的就更少了，平面倒立摆的控制作为世界公认的难题，一直为人们所关注，也一直是研究的新热点。

1.4倒立摆控制策略的研究

本节针对倒立摆系统的控制问题，设计并且实现几种线性控制方法，其中包括机极点配置法、线性二次状态调节（LQR）和线性二次输出调节器（LQY）从理论上分析了3种方法各自的优缺点。

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三种控制器都需要用到系统状态的全反馈，而实际系统直接可测的状态只有小车位置和倒立摆的位置，一种方法是通过采用状态观测器来得到小车及倒立摆的速度，但是可以很容易地通过对直接可测的小车位置和倒立摆的线性差分得到。

1.5 本文所做的工作

在总结前人研究成果的基础上，综合分析了倒立摆系统控制的各种方法，为了实现直线一级倒立摆的快速稳定控制的目的，本论文主要完成以下工作： （1）介绍了倒立摆系统控制的国内外研究状况和发展前景，分析了倒立摆系统的特点、种类和控制方法及其发展方向，在此基础上应用牛顿力学分析方法与分析动力学的拉格朗日方程对直线一级倒立摆系统的数学模型进行了详细的推导，并对其可控性、可观性进行了分析，为研究倒立摆系统的控制策略做好了准备。

（2）针对直线一级倒立摆的线性化模型，应用经典控制理论和状态反馈理论，为直线一级倒立摆设计了基于极点配置的PID控制器，并在MATLAB/Simulink环境下进行了仿真，仿真结果证明了控制器的可靠性。

（3）应用最优二次型控制原理，设计了LQR自调整控制器，该控制器能根据状态变量的变化自适应的改变控制作用的大小，比传统LQR控制器更快速的控制平面倒立摆达到稳定，不但能使两个摆杆保持平衡，同时还能控制小车位置跟踪参考输入，最后在Simulink环境下进行了仿真，仿真实验证明控制器的有效性。 （4）对论文工作的进行总结和下一步工作的展望。以及课题将来的发展方向提出几点个人的看法。

2、倒立摆系统

在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。倒立摆就是这样一个被控制对象。倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。

倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本身而言，是

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一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。 倒立摆系统稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量、控制好坏一目了然。

理论是工程的先导，倒立摆的研究具有重要的工程背景，机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来已有几十年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好的解决。由于倒立摆系统稳定与空间飞行控制和各类伺服机的稳定有很大的相似性，也是日常生活中所见到的任何中心在上、支点在下的控制问题的抽象。因此，倒立摆机理的研究具有中亚走的应用价值，成为控制理论中经久不衰的研究课题。

2.1倒立摆的工作原理

直线倒立摆系统包括计算机、运动控制卡。伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。图中光电码盘1由伺服电机自带，可以根据该码盘的反馈通过换算获得小车的位移，小车的速度信号可以通过差分得到。摆杆的角度有光电码盘测量出来并直接反馈到控制卡，角度的变化率信号可以通过差分得到。计算机从运动控制卡中实时读取数据，确定控制决策（电机的输出力矩），并发送给运动控制卡。运动控制卡经过DSP内部的控制算法实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。摆杆的不稳定状态表现为振荡发散或突然倒下。在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。

计算机 运动控制卡 伺服驱动器 伺服电机 倒立摆 光电码盘1 反馈信号 光电码盘2

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2-1 直线倒立摆控制系统硬件框图

倒立摆包括倒立摆本体、电控箱及由运动控制卡和普通PC机组成的控制平台等三大部分。

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倒立摆系统组成框图

直线倒立摆本体：直线倒立摆本体由基座、交流伺服电机、同步带、带轮、滑竿、滑套、滑台、摆杆、角编码器、限位开关等组成。小车由电机通过同步带驱动在滑竿上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动控制卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。

电气控制箱：电控箱内安装有如下主要部件：交流伺服驱动器、I/O接口板、开关电源、开关盒指示灯等电气元件。

控制平台：控制平台主要由以下部分组成：与IBM PC/AT机兼容的PC机、GM400运动控制卡、GM400运动控制卡用户接口软件、演示实验软件。

2.2倒立摆系统特性分析

在得到系统的数学模型之后，为进一步了解系统性质，需要对系统的特性进

行分析，最主要的是对系统的稳定性、能控性以及能观性的分析。

竖直向上位置是直线一级倒立摆系统的不稳定平衡点，可以设计稳定控制器来使直线一级倒立摆系统稳定在这个点。既然需要设计控制器稳定系统，那么就要考虑系统是否能控。我们所关心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以采用线性化模型来分析。

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系统的稳定性分析一般可以应用李雅普诺夫稳定性判据。对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据系统的线性模型进行分析。在对时不变系统进行定性分析时，一般要用到线性控制理论中的稳定性、能控性和能观性判据。 2.2.1稳定性、能控性和能观性判据

1.系统的稳定性定义及判据

若控制系统在初始条件和扰动作用下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐被衰减并趋于原点，则称该系统是稳定的。反之，如果控制系统受到扰动作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续振荡过程，或者输出无限地偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的。

?1?x=Ax+Bu的平李雅普诺夫稳定性判据：n阶线性时不变连续系统C（sl-A）衡状态xi?0渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。

2.系统的能控性定义及判据

?x+Bu如果存在一个分段连续的输入u线性连续定常系统x=A（t），能在有限

的时间区间?t0，tf?内，使系统由某一初始状态x（t0），转移到指定的任意终端状态x（tf），则称此状态是能控的。

考虑线性定常系统的状态方程

?，x（0）=x0，t?0 x=Ax+Bu其中，x是状态向量，u是输入向量，A，B都是常数阵。可以根据矩阵A和B确定系统的能控性。

线性定常系统对于?t0??0，??完全能控的虫咬条件是下列命题中任何一个成立：

（1）矩阵e?AtB的行在?0，??上线性独立。

（2）对于任何t0，t0?0和t1>t0,如下定义的格兰姆矩阵非奇异：

Wc?t0，t1??tAT?0eA（t0-t）BBeT?t0?t?dt

（3）rank（B,AB,...,An?1B）=n。

?1（4）矩阵C（sl-A）的列线性独立。

3一级倒立摆的物理建模

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对 象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入

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信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。 但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，假如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等等。将小车抽象为质点摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，就可以通过力学原理建立系统较为精确的数学模型。

为了方便研究倒立摆系统的控制方法，建立一个比较精确的倒立摆系统的模型是必不可少的。目前，人们对倒立摆系统建模一般采用两种方法：牛顿力学分析方法，欧拉—拉格朗日原理。本文采用牛顿—欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的模型。

一级倒立摆小车如图3-1所示。系统由沿着导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆杆组成。如下图所示：表3.1为一级倒立摆的系统参数

3-1 一级倒立摆示意图

表3.1 倒立摆系统参数表 F 小车 X ?符号 M m l b I x ? x? ?

数值及单位 1.096kg 0.109kg 0.25m 0.1N/m/sec 0.0034kg M m/s rad rad 含义 小车质量 一级摆杆质量 一级摆杆质心到转轴O1的距离 小车的滑动摩擦系数 一级摆杆转动惯量 小车相对初始位置的位移 小车的速度 摆杆与垂直向下方向的夹角 摆杆与垂直向上方向的夹角 14

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图3-2,3-3分别为小车和摆的隔离受力分析图。

其中N和P为小车与杆相互作用的水平和垂直方向的分量，在实际的倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，即小车向电机方向运行和摆杆顺时针方向旋转为正方向。

N F P bx X

3.1微分方程的推导

在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

??NM??x?F?bx （3-1）

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： N?m

d(x?lsin?)dt15

22 （3-2）

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即：

??cos??ml??2sin? (3-3) ???ml? N?mx把这个等式代入式(3-1中，就得到系统的第一个运动方程：

??cos??ml??2sin??F (3-4) ??ml?x?bx (M?m)??为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析， 可以得到下面方程：

P?mg?m

??sin??ml??2cos? (3-6) P?mg??ml?ddt22(lcos?) (3-5)

力矩平衡方程如下：

?? (3-7) ?Plsin??Nlcos??I?注意：此方程中力矩的方向，由于?????,cos???cos?,sin???sin?，故等式

前面有负号。

合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：

???mglsin???mlx??cos? (3-8) (I?ml2)?，假设φ与1?????设?????（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角）

（单位是弧度）相比很小，即φ<<1，则可以进行近似处理：

cos???1,sin????,(d?dt)?0。

2用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

22??????I?ml???mgl??mlx??? (3-9) ???l??u?x+bx-m???M?m????3.2传递函数的推导

对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到:

?(I?ml2)?(s)s2?mgl?(s)?mlX(s)s2 ?22?(M?m)X(s)s?bX(s)s?ml?(s)s?U(s)(3-10)

注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：

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?(I?ml2)g?X（s）=??2??(s) (3-11)

mls??或

?22X（s）(I?ml)s?mgl?(s)mls2 （3-12）

如果令v=x,则有：

ml （3-13） ?22V（s）(I?ml)s?mgl?（s）把上式代入方程组的第二个方程，得到：

?I?ml2g??I?ml2g?22 ?M?m?? ???(s)s?b??2??(s)s?ml?(s)s?U(s) （3-14）

mlsmls????整理后得到传递函数：

ml

?(s)U(s)?s?4qb(I?ml)q2s2s?3(M?m)mglqs?2bmglq

s

（3-15）

22? 其中 q??(M?m)(I?ml)?(ml)??3.3状态空间方程的推导

设系统状态空间方程为：

??AX?BuXy?CX?Du （3-16）

??解代数方程，得到解如下： x,? 方程组 对????x?x??2222?(I?ml)bmgl(I?ml)????x?x???u222?I(M?m)?MmlI(M?m)?MmlI(M?m)Mml ?????????mlbmgl(M?m)ml????x???u??222I(M?m)MmlI(M?m)?MmlI(M?m)?Mml?（3-17）

整理后得到系统状态空间方程：

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?0????x?0?????x?????????0?????????0?1?(I?ml)bI(M?m)?Mml0?mlbI(M?m)?Mml2220mgl0mgl(M?m)I(M?m)?Mml2222I(M?m)Mml0?0???2?x?I?ml??0????x?I(M?m)Mml2?????1?????0????????ml0??2??I(M?m)?Mml?????u????

?x??1y?????????00001?x????0?x?0???????u ??0???0??????? （3-18）

由3-9 的第一个方程为：

???mgl??mlx?? ?I?ml2??对于质量均匀分布的摆杆有： I?于是可以得到：

???mgl??mlx?? ?ml2?ml2???3??1?13ml2

化简得到：

??? ?3g4l??34l??x （3-19）

设X??x?x????,u???x，则有：

10000003g4l0??0?x?????0??1?x???1?????0?u??????3??0???????????4l???0???x????0??x? ????0?????????0?????

y?????????001?x??100?x????0?x?0???????u ??0???0??????? （3-20）

另外，也可以利用MATLAB 中tf2ss中命令对（3-13）式进行转化， 求得上述状态方程。 3.13 实际系统模型

把倒立摆参数代入，可以得到系统的实际模型。

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摆杆角度和小车位移的传递函数：

?(s)X(s)?0.02725s220.0102125s?0.26705

摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：

?(s)U(s)?2.35655ss?0.0883167s?27.9169s?2.3094232

以外界作用力作为输入的系统状态方程：

???0?x?????x0?????????0?????????01?0.0831670?0.23565500.629317027.82850??x??0???????0x0.883167??????u

?1?????0?????0??????2.35655?

?x??1 y?????????00001?x????0?x?0???????u 0?????0???????以小车加速度作为输入的系统状态方程：

???0?x?????x0??? ??????0?????????0100000029.40??x??0???????0x1??????u 1?????0??????0??????3?

?x??1 y?????????00001?x????0?x?0???????u 0?????0???????3.4 一级倒立摆系统的定性分析

在得到系统的数学模型之后，为了进一步的了解系统性质，需要对系统的特

性进行分析，最主要的是系统稳定性、能控性以及能观测性。

对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据前面得到的系统性模型分析。一般摆杆竖直向上是系统的不稳定平衡点，需要设计控制器来镇定系统，既然需要控制器镇定系统，那么就要考虑系统是否能控。我们所关心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以采用线性模型来分析。

一级倒立摆系统的特征方程为det{?I-A}=0,??131.2996?0.03195经

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过MATLAB计算得到系统开环特性根为：??A?=(0,5.561,-0.1428,-5.6041)

系统有一个极点在复平面的有半平面上，有一个极点在原点，因此系统是不稳定的。

由一级倒立摆系统线性状态方程得到： rank[B AB A2BA3B ]=4 rank[C CA CA2 CA3]=4 所以一级倒立摆是能控且能观测的。

对于一级倒立摆状态方程，对A矩阵进行奇异值分解，得到A矩阵的奇异值阵：

?31.2996?0?W?svd(A)??0?0?01.010000100??0?0??0?定义：被控对象控制的难易程度，即系统状态矩阵最大奇异值的倒数称为相对能控度。

A矩阵的奇异值为W对角线上的值，所以一级倒立摆的相对能控度，?越小系统的控制难度越高。

??131.2996?0.031954Matlab基础知识介绍

4.1Sumulink仿真环境介绍

Simulink环境是1990年前后由Mathworks公司推出的产品，原名SimuLAB，

1992年改名为Simulink。其名字有两重含义，仿真（simu）与模块连接（link），表示该环境可以用框图的方式对系统进行仿真。

Simulink是用来建模、分析和仿真各种动态系统的交互uanjing，包括连续系统、离散系统和混合系统。Simulink提供了采用鼠标拖动的方法建立系统框图模型的图形交互平台。通过Simulink提供的丰富的功能块，可以迅速的创建动态系统模型。同时Simulink还集成了Stateflow，用来建模、仿真复杂事件驱动系统的逻辑行为。另外，Simulink也是实时代码生成工具Real-Time

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Workshop的支持平台。

控制系统仿真研究的一种常见的需求，系统在某些信号驱动下，观测系统的时域响应，从中得出期望的结论。对于简单线性系统来说，可以利用控制系统工具箱中的响应函数来对系统进行分析。

对于复杂的系统来说，单纯采用上述的方法有时候难以完成仿真任务。比如说，若想研究结构复杂的非线性系统，用前面介绍的方法则需要写出系统的微分方程，这是很复杂的，如果有一个基于框图仿真程序。则解决这样的问题就轻而易举了。Simulink环境就是解决这样问题的理想工具，它包含了一个庞大的模块库，用户可以通过鼠标点击和拖拉，模块即快速又方便地对系统进行建模仿真，而不必编写任何程序代码。它还能在同一屏幕上进行仿真、资料显示和输出波形。Simulink环境是解决非线性系统建模、分析与仿真的理想工具。

Simulink是Matlab环境下的模拟工具，其文件类型为.mdl，Simulink为用户提供了方便的图形化功能模块，一边连接一个模拟系统，简化设计流程，减轻设计负担。更重要的是，Simulink能够用Matlab自身的语言或其他语言，根据S-函数的标准格式，写成定义的功能模块。因此其扩充性很强，同时也能调用.dll文件类型的应用程序，实现预期集成应用的目的。在倒立摆系统的仿真过程中会用到Simulink的基本操作和用法。

4.2 GUI界面

经典的用户界面定义为用户与计算机之间的交互通信联系平台。但在最近几年内，这种概念发生了巨大的变化，出现了多种形式的人机交互方式，从命令的交互方式转变到以图形用户界面为主的交互方式。现在，图形界面已经在人机交互方式中占主导地位，这主要是由于它给用户带来了操作和控制的方便与灵活性。图形用户界面的由窗口、光标、案件、菜单、文字说明等对象构成的一个用户界面。用户通过一定的方法选择、激活这些图形对象，使计算机产生某种动作或是变化，比如实现计算、绘图等。Matlab也提供了在Matlab应用程序中加入GUI的功能。Matlab中为表现其基本功能而设计的演示程序demo是使用图形界面最好的范例。Matlab的用户，在指令窗口运行demo打开那图形界面后，只要用鼠标进行选择和点击，就可浏览那丰富多彩的内容。本文将用Matlab的GUI 建立人机交互界面，操作仿真系统的启动、暂停与终止。

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4.3 S-函数介绍

几乎所有控制系统的高品质都首先基于系统仿真研究，一般地，要想对控制系统进行计算仿真，首先应建立系统的数学模型，然后根据系统的数学mixing编制仿真程序。

Matlab作为比较常用的仿真工具，提供了SIMULINK软件包可用来建模、仿真、分析动态系统。但是，如果被控对象为倒立摆这样严重非线性、多变量的高阶系统时，对于其中的非线性环节的建模，仅用Simulink中的标准模块来实现会使仿真框图过于庞大交错，所需仿真时间会随之增长，仿真精度也会随之下降。特别的，当被控系统的参数发生变动时，可能要修改整个模型的结构图，不利于维护。

Simulink运作的核心是S-函数，实际上，Simulink中许多模块所包含的算法均是用S-函数写的。如果在Simulink中应用S-函数，将搭建模型和编写代码有机地结合起来，充分发挥了各自的优势，能有效地避免对倒立摆状态方程的求解域转化，结合了Simulink框图简介明快的特点和编程灵活方便的优点，所得到模型简单，易于参数修改，为仿真提供了较为精确的依据。

S-函数是系统函数的简称，是指采用非图形化的方式（即计算机语言，区别于Simulink的系统模块）描述的一个功能块。用户可以采用Matlab代码，C、C++、FORTRAN或Ada等语言编写S-函数。S-函数由一种特定的语法构成，用来描述并实现连续系统、离散系统一级负荷系统等动态系统：S-函数能够接受来自Simulink求解器的相关信息，并对求解器发出的命令做出适当的响应，这种交互作用非常类似于Simulink系统模块与求解器的交互作用。S-函数是M文件格式的，为了让Simulink更好地识别S-函数，必须为Simulink提供S-函数的信息，如输入向量、状态向量、输出向量预计模块特征。

对于大多数动态系统的仿真语言，使用Simulink提供的模块即可实现，而无需使用S-函数。但是，当需要开发一个新的通用的模块作为一个独立的功能单元时，使用S-函数实现则是一种相当简便的方法。另外，由于s-函数可以使用多种语言编写，因此可以将已有的代码结合起来，而不需要在Simulink中重新实现算法，从而在某种程度上实现了代码的移植。此外，在S-函数中使用文本方式输入公式、方程、非常适合复杂动态系统的数学描述，并且在仿真过程中可以对仿真进行更精确的控制。

S-函数具有固定的调用变量规则生成M文件，在这类M文件中第一行程序语

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句如下：

function[sys,x0,str,ts]=sfunc(t,x,u,flag)

其中，变量t，x，u和flag为从Simulink传递给S-函数的输入参数，t为系统的仿真时间，x为系统的状态变量（必须为S-函数提供），u为系统的输入向量（即控制量），flag为S-函数的标志参数，表4-1列出了在各个仿真阶段，flag值和相应的S-函数子程序。

表4-1 S-函数子程序 仿真阶段 初始化 计算下一采样点 计算输出 刷心离散状态 计算微分状态 仿真结束

在对支线一级倒立摆系统建模时，在初始阶段，S-函数要为Simulink提供包括输入、输出和状态的个数及模块的其它部分属性的初始化信息，然后把这些信息封装在一个Sizes结构里，最后由子程序mdlIntializeSizes返回，如表4-2所示。

表4-2 sizes结构的变量及其功能描述 变量名称 Sizes.numContStates Sizes.numDiscStates Sizes.numOutputs Sizes.numInputs Sizes.numDirFeedthrough Sizes.numSampleTimes 描述 连续状态的维数 离散状态的维数 输出向量的维数 输入向量的维数 直接馈出标志 采样时间的数目 S-Function例程 mdlInitializeSizes mdlGetTimeOfNextVarHit mdlOutputs mdlUpdate mdlDerivatives mdlTerminate Flag Flag=0 Flag=4 Flag=3 Flag=2 Flag=1 Flag=9 4.4 子系统的封装 Simulink

的一个十分重要的特性是对子系统进行封装，使用户可以根据需

要自定义子系统的对话框和图标，通过对子系统进行封装，用户可以：

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（1）通过对子系统封装，原来的多个参数设置对话框可以用一个对话框来代替，简化了模型；

（2）定义模块描述和参数字段标签的对话框，为模型使用提供一个描述性更强、更友好的用户界面；

（3）定义命令，计算取之依赖于模块参数的变量的值； （4）定义能反映子系统目的，更有意义的模块图标；

（5）对子系统修改时，只需要修改系统的参数，而不需要修改子系统的内部结构；

（6）建立的动态对话框，便于查看子系统内部结构。

4.5 本章小结

本章主要介绍了Matlab的相关知识。首先介绍了Simulink仿真环境、GUI动画界面、S-函数一级子模块的封装技术等知识，这为后面直线一级倒立摆系统的仿真提供了基础。对子系统进行封装，可以简化系统模型。

5倒立摆的稳定性控制及仿真

5.1倒立摆的稳定控制方案比较

模糊控制、神经网络控制、PID控制、状态反馈控制、最优控制等均可以用于倒立摆系统进行稳定控制，这些方法各具有优缺点，下面对这几种控制方法进行比较分析。

5.1.1模糊控制算法

模糊控制系统的结构可以分为5个不同的部分：

①定义变量：包括模糊控制器的输入和输出变量。输入变量一般为误差E和误差变化率EC，输出变量为系统的控制量;

②模糊化：将输入变量以适当的比例转换到论域的数值；

③知识库：包括数据库和规则库，数据库提供必要的定义，规则库由语言控制规则描述控制目标和策略；

④逻辑判断：运用模糊逻辑进行模糊推理得到模糊控制信号；

⑤解模糊化：将逻辑判断阶段得到的模糊控制信号变为实际的控制信号

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模糊控制器是一种语言变量控制器，控制规则策略简单、直观，不需要复杂的推理计算，是解决倒立摆这类不确定性系统的一种有效的途径。将模糊控制理论应用于倒立摆系统中，控制效果并不理想，主要原因是模糊控制规则确定起来比较困难，控制规则不全，系统极易失控。

多级倒立摆的模糊控制器会出现模糊控制规则爆炸现象。随着模糊控制器输入数目的增加，模糊控制规则数量呈指数上升，模糊控制规则难以确定，执行时间会大大增加，实时控制难度增大，倒立摆是一个多输入单输出的系统，假如每个变量有两个模糊子集，直线一级倒立摆有4个输入变量，需要的模糊控制规则数16条，而直线二级倒立摆6个输入变量，需要的模糊控制规则数64条。控制规则数呈指数增加，容易出现“规则爆炸”问题。

5.1.2 神经网络控制

人工神经网络是一个并行和分布式的信息处理网络结构，改网络结构一般由多个神经元组成，每个神经男雇员有一个单一的输出，它可以连接到很多其它的神经元，其输入有多个连接通路，每个连接通路对应一个连接权系数。人工神经网络和生物神经网络一样，必须经过学习才能有智能特性。人工神经网络的学习过程，实际上就是调节权值的过程。

人工神经网络控制有许多优秀控制特性： ① 可以并行分布处理信息

② 具有学习功能，具有对输入数据归纳优化的功能 ③ 不仅可以用于线性控制，也可以用于非线性控制； ④ 具有较强的自适应能力

虽然神经网路控制具有诸多的优点，在对倒立摆系统进行控制时不是非常有效，这是因为：

① 对于要满足什么样的条件才能实现非线性逼近的问题，讨论的很少，这一问题解决比较困难。

② 研究建模算法和控制系统的收敛性和稳定性有很大的难度，一般的方法未必适用。

③ 目前的神经网络本身就存在一些不足，特别是在线学习难以满足要求。 将模糊控制和神经网路控制相结合，提出了自适应神经模糊推理系统。自适应神经模糊推理系统是一种将模糊逻辑和神经网络有机结合的新型的模糊推

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理系统结构，从功能上与模糊推理系统等价的自适应网络。自适应神经网络技术为模糊建模过程学习一个数据集的信息通过了一种方法，计算隶属度函数参数最好允许相关的模糊推理系统跟踪结合给定的输入/输出数据，根据样本数据自动调整前提参数和结论参数。

5.2 PID 控制的基本思想

PID控制是最早发展起来的控制策略之一，由于其算法简单、鲁棒性好和适应性强，被广泛应用于工业过程控制当中。在上世纪三、四十年代以前，除了在简单的情况下可以采用开关控制外，PIF是唯一的控制方式。此后，随着科学技术的发展，涌现出许多的控制方法，如神经网络PID、模糊PID等。然而直到现在，PID控制的优点可归纳为：

（1）原理简单、直观、使用方便，易被工程技术人员接受。例如：用比例控制器调节系统的控制强度以保持必要的相对稳定性，用积分控制以消除残差。还可以通过微分控制对偏差给出控制量以提高系统的控制质量。这些概念无论是对控制规律的设计是系统的直线调试都是有很大的意义。

（2）应用广泛。通过大量的工业过程控制实际，我们已经证明。PID控制器对许多的控制问题都能胜任，尤其是堆性能需求适中，负荷变化不大的过程效果更佳。在冶金、化工、石化、电力等许多不同的领域也都能发现大量的PID控制器的应用。

（3）对控制模型的依赖性小，鲁棒性好。

事实上许多PID控制器的整定方法并不要对过程特性有很多的先验知识是借助于某些简单的测试通过经验来设定参数，因此系统的鲁棒性较好，对通过特性变化的敏感性也较弱。

PID控制虽然简单、有效，但是对于某些负荷变化大，性能需求高，控制难度大的系统来说实际运动的效果并不令人满意。随着计算机技术介入到工业生产过程的控制中以及近代控制理论的发展，诸如自适应控制、智能控制、模糊控制和预测控制等各种新的控制理论和方法也在不断的涌现。但值得注意的PID开展的广泛的适应性和广泛的应用导致各种新的开展模式和理论仍然是以PID开展作为其最终的实现手段。于是自适应PID，预测PID等也就应运而生了。就目前而言，商业化的高级PID控制器已经在市场上出现。其研究也再不断深入。

另一方面值得注意的是由于人工整定PID参数严重地依赖于控制工程师的能力和对过程特性的了解，在许多情况下参数整定的结果不是很理想，再加上过

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程特性的非线性和慢时变性两者一起导致了相当多的PID控制回路的运行不是良好。于是PID控制器的参数整定也引起了广泛的重视。这方面的发展特别迅速，商业化的自整定调节器已经大批涌向市场。而且诸如分布式控制这样的高级过程控制装置也开始在其基本控制中提供了PID参数自整定的功能。

PID控制器是由反馈系统偏差的比例（P）、积分（I）、微分（D）的线性组合构成的反馈规律。PID控制虽然属于经典控制，但是至今仍然在工业过程控制中发挥着重要的作用，今后随着计算机技术的发展和进步，数字PID控制一定还会有新的发展和进步。

理想模拟PID控制器的输出方程为：

??1ldu(t)?Kp?e(t)??e(t)dt?Tde(t)?Ti0dt????K1??1Kp为Gc?s??Kp?i?KDS?Kp?1?Ki?TdS?式中，

Gs?K??KS?K1??TS???cDp?dSS?pTiS?TSi??Ti为积比例系数；

分时间；Td为微分时间；u（t）为PID控制器的输入控制量；e（t）为PID控制器的输出控制量；e(t)为PID为控制器输入的系统误差。PID调节器的传递函数为：

对PID控制而言，P是控制的基础，利用P控制器解决在系统的动态过程中的稳定性问题，用I控制来实现误差控制，引入D控制以进一步提高系统的控制性和快速性

一般PID控制器的设计分两步进行。第一步，首先根据控制对象及对系统的要求确定控制器的形式。第二步参数整定，当被控对象数学模型已知且较为准确，阶数不高时可以用解析法。在工程实际中常采用工程整定法，它们是在理论基础上通过实践总结出来的。这些方法通过不太复杂的实验，便能迅速获得调节器的近似最佳整定参数。因而工程上得到广泛应用。

经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需 要有关被控对象的较精确模型。PID控制器因其结构简单，容易调节，且不需要

对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。

首先，对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度，它的平衡位置为垂直向上的情 况。系统控制结构框图如下：

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毕业设计论文 r(s)?0 f(s)?v + e(s)Plant+ u(s)Planty(s) + ?—G(s)?G(s) 5-1直线一级倒立摆闭环系统图 图中KD(s)是控制器传递函数，G(s)是被控对象传递函数。 考虑到输入r(s) =0，结构图可以很容易的变换成：

f(s)?v u(s) Plant?G(s) ControllerKD(s) 5-2直线一级倒立摆闭环系统简化图

该系统的输出为：

num y(s)?G(s)1?KD(s)G(s)F(s)?1?denF(s) (numPID)(num)(denPID)(den)?num(denPID)(denPID)(den)?(numPID)(num)F(s)

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其中 num ——被控对象传递函数的分子项 den ——被控对象传递函数的分母项 numPID——PID控制器传递函数的分子项 denPID——PID控制器传递函数的分母项 通过分析上式就可以得到系统的各项性能。

由(3-13)可以得到摆杆角度和小车加速度的传递函数：

?(s)V(s)?ml(I?ml)s?mgl22

PID控制器的传递函数为：

KD,Kp????KiKD(s)?KDs?Kp?K1s?Kds?Kps?K1s2?numPIDdenPID

需仔细调节PID控制器的参数，以得到满意的控制效果。 小车位置输出为：

X(s)?V(s)s

2通过对控制量v双重积分即可以得到小车位置。

在工程实际当中，常采用工程整定法，它们是在理论基础上通过时间总结出来的。这些方法通过并不复杂的经验便能迅速获得调节器的近似最佳整定参数，因而在工程中得到广泛的应用。其中最重要的是奇格勒和尼科尔斯两人首先提出来的经验方法。

具体步骤如下：

（1）置调节器积分时间Ti到最大值，微分时间Td为0，比例带置较大值，使系统投入运行。

（2）待系统运行稳定后，逐渐增大Kp，直到系统出现等幅振荡过程，记下此时的比例带并计算两个波峰的时间Tcr（临界振荡周期）。利用?cr和Tcr的值，按照下面给出的经验公式计算：

对于PID调节器：

PID参数设定法则可以参考《现控制与鲁棒控制，

对于PID控制参数，我们采用以下的方法进行设定。 由实际系统的物理模型：

KP?11.67?cr

代控制工程》第十章PID

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?(s)V(s)?0.027250.010125s?0.267052lim

x??在Simulink中建立如图所示的直线一级倒立摆模型：

（进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开 “Inverted Pendulum\\Linear Inverted Pendulum\\Linear 1-Stage IP Experiment\\ PID Experiments”中的“PID Control Simulink”））。

直线一级倒立摆PID控制Matlab仿真模型

先设置PID控制器为P控制器，令Kp=9，K=0，K=0，得到以下仿真结果：

lD

D从图中可以看出，控制曲线不收敛，因此增大控制量，Kp=40，Kl=0，K=0，得到以下仿真结果：

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从图中可以看出，闭环控制系统持续振荡，周期约为0.7s。为消除系统的

振荡，增加微分控制参数K，令Kp=40，Kl=0，K=4，得到仿真结果如下：

DD

从图中可以看出，系统稳定时间过长，大约为4秒，且在两个振荡周期

才能稳定，因此再增加微分控制参数K，令：Kp=40，Kl=0，K=10，得到仿

DD真结果如下：

从图上可以看出，系统在1.5秒后达到平衡，但是存在一定的稳态误差。

为消除稳态误差，我们增加积分参数Kl，令Kp=40，Kl=20，K=10，得到仿

D真结果如下：

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从上面仿真结果可以看出，系统可以较好的稳定，但由于积分因素的影响， 稳定时间明显增大。双击“Scope1”，得到小车的位置输出曲线为：

可以看出，由于PID控制器为单输入单输出系统，所以只能控制摆杆的角度，

并不能控制小车的位置，所以小车会往一个方向运动。

也可以采用编写M文件的方法进行仿真。（进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\\Linear Inverted Pendulum\\Linear 1-Stage IP Experiment\\ PID Experiments”中的“PID Control M Files”）

直线一级倒立摆PID控制Matlab仿真程序 Clear;

num=[0.02725];

den=[0.0102125 0 -0.26705];

kd=10 k=40 ki=10

numPID=[kd k ki]; denPID=[1 0];

numc=conv(num,denPID)

denc=polyadd(conv(denPID,den),conv(numPID,num))

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t=0:0.005:5; figure(1);

impulse(numc,denc,t)

运行后得到如下的仿真结果：

仿真结果分析

（1）应用PID控制可以满足一级倒立摆稳定，控制效果比较平滑。

（2）小车的位置不能稳定在某一点，当小车要达到两端限位时，需要用手将小车轻扶到滑道中间位置。

（3）文中提到PID方法对只考虑角度的系统控制效果比较理想，但是对于即考虑摆的角度又考虑小车位置的系统就显得无能为力了。

6总结与展望

倒立摆系统的快速、非线性、多变量、强耦合、绝对不稳定的系统，是控制

理论研究的常用对象，必须采用行之有效的方法才能对倒立摆进行控制。倒立摆的控制方法在航天、机器人等领域有着广泛的用途，如机器人行走过程的平衡控制、火箭发射过程中的垂直度和卫星飞行中的姿态控制等均可以以倒立摆为模型来研究，因此，对倒立摆的研究在理论上和方法上均有着重要的意义。本文提出 采用能量反馈的方法和时间最优的控制方法进行倒立摆的起摆控制，在平衡点附

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近进行切换控制，用LQR方法实现倒立摆的稳定控制，通过对倒立摆系统的仿真曲线来看，基本上达到了预期的效果。结论如下：

基于直线一级倒立摆的非线性模型，采用能量反馈的方法和时间最优的控制方法对支线一级倒立摆系统进起摆控制并进行了仿真。仿真结果表明，这两种方法均能实现直线一级倒立摆的起摆控制。

能量反馈控制和时间最优控制用于倒立摆系统控制，经过对比发现，能量反馈方法能在较短时间内切换到稳定控制，但是能量反馈方法中，小车的位移变化幅度较大。

然而，由于时间问题，采用能量反馈方法没有能实现实物控制。因此，如果以后有机会的话，还可以进一步研究，将能量反馈方法和时间最优控制引入到倒立摆的实时控制中去，实现直线一级倒立摆的实物控制。

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毕业设计论文

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