2012年七年级数学“应用与创新”竞赛

2012年七年级数学“应用与创新”竞赛

说明：

1．本卷考试时间：共120分钟，满分为120分．

2．本卷分为试题卷（共4页）和答题卷（共4页），答案必须做在答题卷上．

试 题 卷

一、选择题（每小题4分，共24分）

1．已知x?y?x?y?2y?0，在数轴上给出关于x、y的四种位置关系如图所示，则可能成立的有( ▲ )

y O x A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

x O y y O x O y x 2．某班50名同学分别站在公路的A、B两点处，A、B两点相距1000米，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ▲ ） A．A点处

B．线段AB的中点处

A (第2题)

B C．线段AB上，距A点

1000米处 3 D．线段AB上，距A点400米处

C E 2 A （第3题）

3．如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE 外，则?1、?2与?A 的关系是（ ▲ ） A．?1??2?2?A B．?2??A?2?1 C．?2??1?2?A D．?1??A?1?2 2D 1 B

4．一项“过关游戏”规定：若闯第n关需将一颗质地均匀的骰子抛掷n次，如果闯第n关时所抛出的所有点数之和大于是( ▲ )

32n，则算闯关成功；否则闯关失败．下列说法中正确的4B

311A．过第一关的概率是 B．过第三关的概率是

43611C．过第二关的概率是 D．过第六关是不可能的

125．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若在△ABC所

A

(第5题)

C

- 1 -

在的平面内有以点P(不与A、B、C重合)为顶点的直角三角形与Rt△ABC全等，且这个三角形与Rt△ABC有一条公共边，则所有符合条件的点P的个数为 ( ▲ ) A．3个 B．5个 C．6个 D．7个

6．有一批战士恰好组成一个八列的长方形队伍，若在队列中再增加120人，或从队列中减 少120，并重新列队，都能组成一个正方形队列那么，原来长方形队列的战士人数可能为 （ ▲ ）

A．136人 B．136人或169人 C．409人 D．136人或904人 二、填空题（每小题5分，共50分） 7．已知有如下一组含x、y和z的单项式：

1137x3z2，8x3y，x2yz，?3xy2z，9x4zy，zy2，?xyz，9y3z，xz2y，0.3z． 我们用下面

25的方法确定它们的先后次序：对任两个单项式，先看x的指数，规定x指数高的单项式排在x指数低的单项式的前面；再看y的指数，规定y的指数高的排在y的指数低的前面；再看的z指数，规定的z指数高的排在z的指数低的前面．将这组单项式按上述法则排序，那么，9y3z应排在第 ▲ 位．

8．光明中学的王老师的手机号码由11位数字组成，第一位数字写在下面的一个方格中，恰好任何相邻的四个数字之和都相等，那么x的值为 ▲ ．

1 x 3 6 9．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻 力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度

(第9题)

是前一次的一半．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)，且第一次敲击 后铁钉进入木块的长度是2cm，若铁钉总长度为acm，则a的取值范围是 ▲ ．

210．已知实数x、y、z满足x?y?4及xy?z?4，求x?2y?3z的值 ▲ ．

11．QQ空间是一个展示自我和沟通交流的网络平台．它既是网络日记本，又可以上传图片、视频等．QQ空间等级是用户资料和身份的象征，按照空间积分划分不同的等级．当用户在10级以上，每个等级与对应的积分有一定的关系．现在知道第10级的积分是90，第11级的积分是160，第12级的积分是250，第13级的积分是360，第14级的积分是490??若某用户的空间积分达到1 000，则他的等级是第 ▲ 级．

12．某一时期，人民币每隔30天升值2%．一天美元对人民币的汇率为1：6.81（即1美

- 2 -

元=6.81元人民币），如果人民币升值的百分比保持不变，那么60天后美元对人民币的汇率是1： ▲ ．(保留三个有效数字)

13．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，F是EC 的中点，连结BD，那么△BDF的面积为 ▲ cm2． 14．7条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7， 满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若a1＝1厘米，a7＝21厘米，则a6＝ ▲ ．

15．为建设上海世博会主场馆——“中国馆”，计划用25辆大卡车在规定时间内搬运 3000 根大钢樑．全部卡车搬运了4次后，由于机械故障，有5台卡车不能工作了．但 由于每辆卡车比原来多搬运了1根钢樑，结果恰好能及时完工．问：原先每辆卡车 每次运 ▲ 根钢樑．

16．若一个两位数ab是合数，且ba也是合数，ab+ba是完全平方数，这样的两位 数ab是___▲ __．

三、解答题（第17题10分、第18、19、20题各12分，共46分） 17．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．

2218．如果一个数能表示成x?2xy?2y（x,y是整数），我们称这个数为“好数”． （1）你认为“好数”的特征是什么？判断29是否为“好数”？ （2）写出1，2，3，?，9中的“好数”；

（3）如果m,n都是“好数”，那么mn是否为“好数”？为什么？

- 3 -

A E D

F B (第13题)

C 19．奥地利数学家皮克发现了一个计算正方形网格纸中多边形面积的公式：

S?a?1b?1，方格纸中每个小正方形的边长为1，其中a表示多边形内部的格点 2数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．

注：①由n条线段依次首尾连结而成的封闭图形叫做n边形，这些线段的端点叫做顶点；②网格中小正方形的顶点叫格点．

如：在图①中，点A、B、C、D都正好在格点上，那么四边形ABCD的面积S=8+

图①

1×4-1=9． 2A B D A D C C B 图②

图③

图④

图⑤

运用上述知识回答：

a? ▲ ； a? ▲ ； a? ▲ ；

b? ▲ . b? ▲ .

b? ▲ .

（1）如图②中，求四边形ABCD的面积；

（2）如图③、④、⑤，若多边形的顶点都在格点上，且面积为6，请画出这样三个形 状不同的多边形（?多边形的边数≥6）．并写出相应的a、b值.

20．甲、乙两人到特价商店购买商品，商店里每件商品的单价只有8元和9元两种（分别称为A型和B型），已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花了172元，求甲、乙两人购买的所有商品中，A型共有几件？B型呢？

- 4 -

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题4分，共24分）

1、B； 2、A； 3、C； 4、C； 5、D； 6、D. 注： 第5题：

A

P4 C P2

P6 P7 B P1

P3 P5

二、填空题（每小题5分，共50分）

7、 8 ； 8、 6 ； 9、 3?a?3.5； 10、 6 ； 11、 17 ； 12、6.55 ； 13、 2 ； 14、 13 ； 15、 4 ； 16、56或65. 注：第15题：故障后，每辆卡车每次多搬运1根，则每次共多搬运20根，恰好等于故障的那5辆卡车每次的工作量，故每辆卡车每次运20÷5=4(根) 第16题： 设ab=10a+b，ba=10b+a，其中1≤a，b≤9，

于是ab+ba=（10a+b）+（10b+a）=11（a+b），且2?≤a+b≤18． 因为ab+ba是完全平方数，只须a+b=11，只有56与65均为合数． 三、解答题（第17题10分、第18、19、20题各12分，共46分） 17．解：由a-c=1-b，① d-c=b-2，② d=a-c+3．③

①代入③得d=4-b，----------------2分 再代入②得c=6-2b，----------------4分 从而由①得a=7-3b．----------------6分

所以 a+b+c+d=（7-3b）+b+（6-2b）+（4-b）=17-5b． -------------------8分 因为b≥0，所以a+b+c+d的最大值为17．----------------------------------10分 18．（1）因为x?2xy?2y?(x?y)?y，x,y是整数，

所以“好数”是两个整数的平方和--------------------------------------------------------2分

222229?(3?2)2?22?32?2?3?2?2?22，29是“好数”。-------------------------4分

（2）1，2，3，?，9中的“好数”有1，2，4，5，8，9。----------------------------------7分 （3）设m?(x1?y1)2?y12,n?(x2?y2)2?y22，x1,y1,x2,y2是整数。----------------8分

- 5 -

mn?(x1?y1)2(x2?y2)2?(x1?y1)2y22?y12(x2?y2)2?y12y22??(x1?y1)(x2?y2)?y1y2???(x1?y1)y2?y1(x2?y2)?22

--------------------------------10分 令y?(x1?y1)2y2?y1(x2?y2),x?(x1?y1)(x2?y2)?y1y2?y，则x,y是整数， 且mn?x2?2xy?2y2，所以mn是“好数”。-------------------------------------------12分 19. （1）通过观察可知a=5，b=6，则S=a+（2）由题意知S=6，根据公式S=a+的二元一次方程a+

11b-1=5+×6-1=7（cm2）．??(3分)

221b-1，可列出关于a，b 21b-1=6，其中b≥6．不妨设b=6，则a=4， 2可画出如图的四种图形．(答案不唯一) ????(每个图形得3分，共9分)

20．设每人购买了n件商品，两人共购买了单价为8元的商品x件，单价为9元的商品y

?x?y?2n,件，则?

8x?9y?172.? ∴??x?18n?172, ?????????????????????5分

?y?172?16n 由x?0,y?0且x、y是整数知，

953?n?10且n是整数. 94∴n=10 ?????????????????????10分 相应地，?

?x?8 ?????????????????????12分

y?12.?- 6 -

mn?(x1?y1)2(x2?y2)2?(x1?y1)2y22?y12(x2?y2)2?y12y22??(x1?y1)(x2?y2)?y1y2???(x1?y1)y2?y1(x2?y2)?22

--------------------------------10分 令y?(x1?y1)2y2?y1(x2?y2),x?(x1?y1)(x2?y2)?y1y2?y，则x,y是整数， 且mn?x2?2xy?2y2，所以mn是“好数”。-------------------------------------------12分 19. （1）通过观察可知a=5，b=6，则S=a+（2）由题意知S=6，根据公式S=a+的二元一次方程a+

11b-1=5+×6-1=7（cm2）．??(3分)

221b-1，可列出关于a，b 21b-1=6，其中b≥6．不妨设b=6，则a=4， 2可画出如图的四种图形．(答案不唯一) ????(每个图形得3分，共9分)

20．设每人购买了n件商品，两人共购买了单价为8元的商品x件，单价为9元的商品y

?x?y?2n,件，则?

8x?9y?172.? ∴??x?18n?172, ?????????????????????5分

?y?172?16n 由x?0,y?0且x、y是整数知，

953?n?10且n是整数. 94∴n=10 ?????????????????????10分 相应地，?

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