第九届河南科技大学数学建模F题论文

2012河南科技大学第九届大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从题目编号中选择一项填写）： F 题目:物流与选址 参赛队员：

队长 姓名 专业班级 所在学院 电话（手机） 是否报名全国竞赛 15236285320 是 王云成 自动化102 电信学院 队员1 陆永强 自动化102 电信学院 15236285312 否 队员2 陈祖壮 自动化103 电信学院 15236282656 否

物流与选址问题

摘 要

本文通过建立数学模型研究了物流与选址设计问题。我们的思路是：首先明白了物流的整个过程，由市场调查具体的数据明确了两个工厂的选址，在此基础上提出了‘三级结构’（即工厂，中心仓库，城市）。分别分析工厂费用，工厂的生产量，工厂到中心仓库的运费，工厂向中心仓库的运输量，中心仓库的固定费用，容量，单位通过的固定费用，中心仓库到城市的运输量及运费，城市的销售量。采用了鲍摩—瓦尔夫（Baumol-wolfe）

??模型，运用公式：总用费f(z)????CijXij??DjkYjk?WjZjp???Vjr(Zj)+Qi；在计算过

j?jk?j程中，我们统一假设用汽车运送货物，不存在货运方式的不同而讨论不同的运输路径，运用数学软件 LINGO求出求出运费最小值，求出相应的运送路径，解决了最优中心仓库的选址问

题。

本文对问题的解决原则：在合理简化的基础上，对题目每个要求，都做到“有‘数’可依，有‘理’可辩”。

一、 问题重述

1

物流与选址问题

某公司是生产某种商品的省内知名厂家。该公司根据需要,计划在本省建设两个生

产工厂和若干个中心仓库向全省所有城市供货。根据市场调研,全省有n个城市，每个城市单位时间需要该公司的物资量是已知的，有关运费的信息也是确定的，工厂和中心仓库的单位面积的建设费用和运营费用已知，请你建立数学模型，回答以下问题: (1) 如何为两个生产工厂选址? （建多大规模？）

(2) 建多少个中心仓库?分别建在什么地方? （分别建多大规模？） (3) 生产工厂如何向中心仓库供货?

(4) 请你自己选用一组数据进行计算（可以根据假设、地图和铁路、公路、水路等信息

选择有关数据），并对你的模型和结果作出评价。

二、模型假设

对第二问假设：

1、中心仓库包括了货品的集货分货以及配送处理。

2、不考虑在消费的几个城市的非成本因素。 3、消费者对商品的需求量与工厂的供应量是相同的。 4、将每个城市看作一点。 对第三问假设：

1、设运用了相同的运输方式即汽车。 2、不考虑突发情况的发生。

三、符号约定

i: 工厂(i=1,2,3….m);

j: 中心仓库（j=1,2,3,….s）; k: 城市（k=1,2,3…n）;

Ai： 工厂i的供应量（i=1,2,3…m）; Bk: 城市k的需求量（k=1,2,3…n）;

Cij: 从工厂i到中心仓库j的单位运输成本；

2

Djk: 从中心仓库j到城市k的单位运输成本； Zj: 中心仓库j的产品通过量； Vj: 中心仓库j的固定费用； Qi： 工厂的总费用；

r(Zj): Zj=0时取0，否则取1；

Wj: 中心仓库j每单位通过量的变动费用，在考虑变动费时，引进指数p，满足

条件0

Zjp： 如果不考虑规模的经济性，可令p=1; Xij:工厂i到中心仓库j的运量；

Yjk:中心仓库j到城市k的运量。

四、问题分析与模型的建立

对问题一的分析：

对于选址我们应该了解原料供应及成本，能源的供应及成本，水资源及其供应，劳工成本，产品运至分销点成本，零配件产品从供应点运来成本，建筑和工地成本，税率，利率保险，资本市场和流动资金，各类服务及维修费用等成本因素，地区政府政策政治环境环境需要，环境保护要求，气候和地理环境，文化习惯，城市规划和社区情况，发展机会，合作环境，地区的教育服务等非成本因素。

对于选址，就是我们要算出各候选地址的位置量度量。首先分别计算客观度值和主观评比值，根据各主观因素的重要性指数Ik和个选址位置的主观评比值Sik可以计算每一可行位置的主观值SMi,而且还要知道比重值X的数值，然后根据公式：

LMi?X*SMi?(1?X)*OMi

3

求出位置量度值，最后根据位置量度值LMi的最优值确定最佳选址。根据市场调查，我们确定了两个工厂。

我们是假设这2个工厂，一个工厂是98000平方米，另外一个87000平方米

对问题二的分析：我们采用了鲍摩—瓦尔夫模型来处理中心仓库问题，建立单层次物流网络结构 ，需要建设3个中心仓库，这3个中心仓库对9个城市进行供货。 如图：

对问题三的分析：

我们为了模型的直观简单同意选择用货车运送商品。

经过问卷调查，得出以下数据

表一 工厂的费用（万元）

固定费用（万元） 单位可变费用（元每平方Qi 米） 1 80 1.2 2 78 1.1 表二 两个工厂到三个中心仓库的运费（元每吨） 1 2 3 Cij 1

130 4

180 180

2

260 240 125

表三 两个工厂向三个中心仓库的运输量

Xij: 1 2 3 1 400 500 1100 2 400 600 1212

表四 中心仓库的固定成本，容量，单位通过的固定费用 序号 固定成本/万元 容量 每单位通过的固Vj 1 2 3

45 60 70 Zj 30000 40000 45000 定费用Wj 1.2 1.1 1.0

表五 中心仓库到城市运价（元每吨）

Djk 1 2 3

1 313 295 129 2 288 148 292 3 257 154 311 4 231 261 301 5 304 187 145 6 279 278 221 7 109 187 319 8 231 318 313 9 136 228 263 表六 三个中心仓库向9个城市的运输量

5

Yjk 1 2 3 1 60 30 36 2 78 80 34 3 62 62 59 4 45 58 61 5 65 64 78 6 78 56 82 7 32 92 20 8 56 58 30 9 64 60 34 总用费f(z)?

约束条件：

?p?CX?DY?WZ??ijij?jkjk?jj???Vjr(Zj)+Qi； j?jk?j?Xjij?Aj（满足工厂供货能力要求） ?Bk（满足城市需要）

jk?Yjijk?X??Yijk（满足总进货量等于总出货量）

Xij?0Yjk?0

五、 模型求解

??f(z)????CijXij??DjkYjk?WjZjp???Vjr(Zj)+Qi；

j?jk?j

两个工厂向三个中心仓库运输

model:

!2发点3收点运输问题; sets:

warehouse/wh1 wh2/: capacity; vendors/v1..v9/:demand;

links(warehouse,vendors):cost,volume; endsets

!目标函数;

min=@sum(links:cost*volume); !需求约束;

@for(vendors(J):

@sum(warehouse(L):volume(L,J))=demand(J)); !产量约束;

6

@for(warehouse(L):

@sum(vendors(J):volume(L,J))<=capacity(L)); !这里是数据; data:

capacity=2000 2212; demand=540 560 534 ; cost= 130 180 180

260 240 125;

enddata end

Global optimal solution found.

Objective value: 237750.0 Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost CAPACITY( WH1) 2000.000 0.000000 CAPACITY( WH2) 2212.000 0.000000 DEMAND( V1) 540.0000 0.000000 DEMAND( V2) 560.0000 0.000000 DEMAND( V3) 534.0000 0.000000 COST( WH1, V1) 130.0000 0.000000 COST( WH1, V2) 180.0000 0.000000 COST( WH1, V3) 180.0000 0.000000 COST( WH2, V1) 260.0000 0.000000 COST( WH2, V2) 240.0000 0.000000 COST( WH2, V3) 125.0000 0.000000 VOLUME( WH1, V1) 540.0000 0.000000 VOLUME( WH1, V2) 560.0000 0.000000 VOLUME( WH1, V3) 0.000000 55.00000 VOLUME( WH2, V1) 0.000000 130.0000 VOLUME( WH2, V2) 0.000000 60.00000 VOLUME( WH2, V3) 534.0000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 237750.0 -1.000000 2 0.000000 -130.0000 3 0.000000 -180.0000 4 0.000000 -125.0000 5 900.0000 0.000000 6 1678.000 0.000000

7

由此可见最小的费用是2337750元，对应的是工厂2向仓库3运输。

从中心仓库到城市的运输费用 运 仓 城 市 价 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 供应量 1 2 3 313 295 129 288 148 292 55 257 154 311 59 231 261 301 60 304 187 145 65 279 278 221 62 109 187 319 58 231 318 313 65 136 228 263 59 540 560 534 销售50 量

model:

!3发点9收点运输问题; sets:

warehouse/wh1..wh3/: capacity; vendors/v1..v9/:demand;

links(warehouse,vendors):cost,volume; endsets

!目标函数;

min=@sum(links:cost*volume); !需求约束;

@for(vendors(J):

@sum(warehouse(L):volume(L,J))=demand(J)); !产量约束;

@for(warehouse(L):

@sum(vendors(J):volume(L,J))<=capacity(L)); !这里是数据; data:

capacity=540 560 534;

8

demand=50 55 59 60 65 62 58 65 59 ; cost=313 288 257 231 304 279 109 231 136 295 148 154 261 187 278 187 318 228 129 292 311 301 145 221 319 313 263; enddata end

运行结果为Global optimal solution found.

Objective value: 90024.00 Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost CAPACITY( WH1) 540.0000 0.000000 CAPACITY( WH2) 560.0000 0.000000 CAPACITY( WH3) 534.0000 0.000000 DEMAND( V1) 50.00000 0.000000 DEMAND( V2) 55.00000 0.000000 DEMAND( V3) 59.00000 0.000000 DEMAND( V4) 60.00000 0.000000 DEMAND( V5) 65.00000 0.000000 DEMAND( V6) 62.00000 0.000000 DEMAND( V7) 58.00000 0.000000 DEMAND( V8) 65.00000 0.000000 DEMAND( V9) 59.00000 0.000000 COST( WH1, V1) 313.0000 0.000000 COST( WH1, V2) 288.0000 0.000000 COST( WH1, V3) 257.0000 0.000000 COST( WH1, V4) 231.0000 0.000000 COST( WH1, V5) 304.0000 0.000000 COST( WH1, V6) 279.0000 0.000000 COST( WH1, V7) 109.0000 0.000000 COST( WH1, V8) 231.0000 0.000000 COST( WH1, V9) 136.0000 0.000000 COST( WH2, V1) 295.0000 0.000000 COST( WH2, V2) 148.0000 0.000000 COST( WH2, V3) 154.0000 0.000000 COST( WH2, V4) 261.0000 0.000000 COST( WH2, V5) 187.0000 0.000000 COST( WH2, V6) 278.0000 0.000000 COST( WH2, V7) 187.0000 0.000000 COST( WH2, V8) 318.0000 0.000000 COST( WH2, V9) 228.0000 0.000000 COST( WH3, V1) 129.0000 0.000000 COST( WH3, V2) 292.0000 0.000000 COST( WH3, V3) 311.0000 0.000000

9

COST( WH3, V4) 301.0000 0.000000 COST( WH3, V5) 145.0000 0.000000 COST( WH3, V6) 221.0000 0.000000 COST( WH3, V7) 319.0000 0.000000 COST( WH3, V8) 313.0000 0.000000 COST( WH3, V9) 263.0000 0.000000 VOLUME( WH1, V1) 0.000000 184.0000 VOLUME( WH1, V2) 0.000000 140.0000 VOLUME( WH1, V3) 0.000000 103.0000 VOLUME( WH1, V4) 60.00000 0.000000 VOLUME( WH1, V5) 0.000000 159.0000 VOLUME( WH1, V6) 0.000000 58.00000 VOLUME( WH1, V7) 58.00000 0.000000 VOLUME( WH1, V8) 65.00000 0.000000 VOLUME( WH1, V9) 59.00000 0.000000 VOLUME( WH2, V1) 0.000000 166.0000 VOLUME( WH2, V2) 55.00000 0.000000 VOLUME( WH2, V3) 59.00000 0.000000 VOLUME( WH2, V4) 0.000000 30.00000 VOLUME( WH2, V5) 0.000000 42.00000 VOLUME( WH2, V6) 0.000000 57.00000 VOLUME( WH2, V7) 0.000000 78.00000 VOLUME( WH2, V8) 0.000000 87.00000 VOLUME( WH2, V9) 0.000000 92.00000 VOLUME( WH3, V1) 50.00000 0.000000 VOLUME( WH3, V2) 0.000000 144.0000 VOLUME( WH3, V3) 0.000000 157.0000 VOLUME( WH3, V4) 0.000000 70.00000 VOLUME( WH3, V5) 65.00000 0.000000 VOLUME( WH3, V6) 62.00000 0.000000 VOLUME( WH3, V7) 0.000000 210.0000 VOLUME( WH3, V8) 0.000000 82.00000 VOLUME( WH3, V9) 0.000000 127.0000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 90024.00 -1.000000 2 0.000000 -129.0000 3 0.000000 -148.0000 4 0.000000 -154.0000 5 0.000000 -231.0000 6 0.000000 -145.0000 7 0.000000 -221.0000 8 0.000000 -109.0000 9 0.000000 -231.0000 10 0.000000 -136.0000

10

11 298.0000 0.000000 12 446.0000 0.000000 13 357.0000 0.000000

从中可以看出。最小费用为90024元。最好的路线是经过仓库3向城市1运输。 所以最小的运费的路线是从工厂2出来，经过中心仓库3，到达城市1. 工厂2的费用Q2?780000?1.1*87000?967000， 中心仓库3的费用Q3?700000?45000*1.0?745000

所以费用为f(z)?967000?745000?237750?90024?2239774。

六、模型评价：

本文通过合理的假设，将许多问题都归结到一个模型中去，使选址问题变得简化、直观、易于求解，更减少了问题的运算量。并且我们所建立的数学模型在实际生活中也有一定推广意义，选址问题在现实生活中是普遍存在的。根据我们所建立的模型，在现实生活中的选址就可以做到科学性和合理性。不过我们的模型都是在合理假设的条件下建立的，我们所求解的值有近似性，对于那些需要精确计算的问题都不能根据此模型草率计算，而需要根据具体问题具体分析，因此如果能对此模型能做出进一步的深入和改进，使计算变得更加精确合理，将会有更高的使用价值。

七、模型的改进与应用

由于我们的模型是建立在各种假设基础之上，我们所得结果与实际存在不可避免的差距。为此我们对模型进行改进，我们应该对非成本因素的加大考虑而且实验分的小组太少，应该从单层次物流网络向多层次物流网络转化，这样得到的数据才更精确。对于商品来说，各种成本因素和非成本因素是不一样的，我们要根据具体情况做出最恰当的数学模型。我们还应该用不同的运输方式求出最经济，最快捷的路径，因为在这个模型中，我们省略了这个方面，但是这个方面在实际应用中是不可少的。总之，可以根据不同地方的实际情况因地制宜，对模型作出适当调整，以便得出不同的商业网点的设计方案来满足各方面不同的要求。

参考文献

11

【1】物流网络与选址规 http://wenku.http://www.wodefanwen.com//view/6890e2ea6294dd88d0d26b41.html 2010 05 02

【2】基于鲍摩_瓦尔夫模型的配送中心选址的研究http://wenku.http://www.wodefanwen.com//view/6a8bbd0b6c85ec3a87c2c5c5.html 2012 05 02

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pmu8.html