2014版教材课后习题答案4-7章

P78 第四章

3

3.一物体按规律x＝ct在流体媒质中作直线运动，式中c为常量，t为时间．设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为k，试求物体由x＝0运动到x＝l时，阻力所作的功．

解：由x＝ct3可求物体的速度： v?2dx?3ct2 1分 dt2424物体受到的阻力大小为： f?kv?9kct?9kc3x3 2分

力对物体所作的功为：

?27kcl W??dW =??9kcxdx =

07l23432373 2分

4．一人从10 m深的井中提水．起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．

解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，井中水面处为原点．

由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量

即： F=P=P0?ky?mg?0.2gy=107.8?1.96y(SI) 3分 人的拉力所作的功为：

W=?dW??Fdy＝?(107.8?1.96y)dy=980 J 2分

00H10

??5．质量m＝2 kg的质点在力F?12ti(SI)的作用下，从静止出发沿x轴正向作直线运动，

求前三秒内该力所作的功．

??解： A??F?dr??12tvdt 1分

而质点的速度与时间的关系为

v?v0??t0adt?0??0?3323所以力F所作的功为 A??12t(3t)dt??36tdt=729 J 2分

0t12Fdt??tdt?3t2 2分 0m02t

6．如图所示，质量m为 0.1 kg的木块，在一个水平面上和一个劲度 系数k为20 N/m的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x = 0.4 m．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数? k为0.25，问在将要发生碰

m 撞时木块的速率v为多少？

解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统（木块和弹簧）机械能的增量．由题意有 ?frx?而

k 121kx?mv2 22 fr??kmg 3分

kx2由此得木块开始碰撞弹簧时的速率为 v?2?kgx? 1分

m = 5.83 m/s 1分

[另解]根据动能定理，摩擦力和弹性力对木块所作的功，等于木块动能的增量，应有

??kmgx??kxdx?0?0x1mv2 2

其中

?x0kxdx?12kx 2

7．一物体与斜面间的摩擦系数? = 0.20，斜面固定，倾角? = 45°．现

给予物体以初速率v 0 = 10 m/s，使它沿斜面向上滑，如图所示．求：

(1) 物体能够上升的最大高度h；

(2) 该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ． 解：(1)根据功能原理，有 fs??v0 ??h 12mv0?mgh 2分 2?Nhcos?12??mgh??mghctg??mv0?mgh 2分 fs?sin?sin?22v0 h?=4.5 m 2分

2g(1??ctg?)12 (2)根据功能原理有 mgh?mv?fs 1分

212 mv?mgh??mghctg? 1分

2 v??2gh(1??ctg?)?12=8.16 m/s 2分

8．一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂， l?a 下垂一段的长度为a．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为?．令

链条由静止开始运动，则 a (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？

(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？ 解：(1)建立如图坐标. l?a 某一时刻桌面上全链条长为y,则摩擦力大小为 y ya g 1分

l00m摩擦力的功 Wf??fdy???gydy 2分

l?al?alx ?mg20?mg

yl?a =?(l?a)2 2分 =2l2l1122 (2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W＝mv?mv0

22 f??m其中 ∑W = W P＋Wf ，v0 = 0 1分

mgmg(l2?a2)xdx? WP =?Pdx=? 2分 ala2l?mg(l?a)2由上问知 Wf??

2lmg(l2?a2)?mg1?(l?a)2?mv2 所以

2l2l21g2222(l?a)??(l?a)得 v? 2分 lll??

9．劲度系数为k、原长为l的弹簧，一端固定在圆周上的A点，圆周的半径R＝l，弹簧的另一端点从距A点2l的B点沿圆周移动1/4周长到C点，如图所示．求弹性力在此过程中所作的功．

C解：弹簧长为AB时，其伸长量为 x1?2l?l?l 1分 弹簧长为AC时，其伸长量为 x2?AB2l?l?(2?1)l 1分

弹性力的功等于弹性势能的减少 W?EP1?EP2? ?1212kx1?kx2 2分 2212kl1?(2?1)2?(2?1)kl2 1分 2??

10．一质量为m的质点在Oxy平面上运动，其位置矢量为

???r?acos?ti?bsin?tj(SI)

式中a、b、?是正值常量，且a＞b． (1)求质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能； 别作的功．

???? (2)求质点所受的合外力F以及当质点从A点运动到B点的过程中F的分力Fx和Fy分

???解：(1)位矢 r?acos?ti?bsin?tj (SI)

?t 可写为 x?acos?t ， y?bsindxdy??a?sin?t， vy???b?cos?t vx?dtdt在A点(a，0) ，cos?t?1，sin?t?0

1112222 EKA=mvx?mvy?mb? 2分

222在B点(0，b) ，cos?t?0，sin?t?1

1112222 EKB=mvx?mvy?ma? 2分

222?????22(2) F?maxi?mayj=?ma?cos?ti?mb?sin?tj 2分

00012222由A→B Wx??Fxdx???m?acos?tdx=??m?xdx?ma? 2分

aaa2bbb12222 Wy??Fydy???m?bsin?tdy=??m?ydy??mb? 2分

0002

11．某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F，相应伸长为x，力与伸长的关系为 F＝52.8x＋38.4x2（SI）求：

(1)将弹簧从伸长x1＝0.50 m拉伸到伸长x2＝1.00 m时，外力所需做的功．

(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00 m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1＝0.50 m时，物体的速率．

(3)此弹簧的弹力是保守力吗？ 解：(1) 外力做的功

??W??F?dx??(52.8x?38.4x2)dxx1x2 ＝31 J 1分

(2) 设弹力为F′

x1?x1?12mv??F'?dx???Fdx?Wx2x22v?2Wm3分

= 5.34 m/s 1分 (3) 此力为保守力，因为其功的值仅与弹簧的始末态有关． 2分

12．如图所示，悬挂的轻弹簧下端挂着质量为m1、m2的两个物体，开始时处于静止状态．现在突然把m1与m2间的连线剪断，求m1的最大速度为多少？设弹簧的劲度系数k＝8.9×104 N/m，m1＝0.5 kg，m2＝0.3 kg．

解：以弹簧仅挂重物m1时，物体静止（平衡）位置为坐标原点，竖直向下为

m1y轴正向，此时弹簧伸长为：

l1＝m 1 g / k ① 1

m2分 再悬挂重物m2后，弹簧再获得附加伸长为

l2＝m2 g /k ② 1分

当突然剪断连线去掉m2后，m1将上升并开始作简谐振动，在平衡位置处速度最大．根据机械能守恒，有

1112k(l1?l2)2?m1gl2＝m1vm?kl12 ③ 2分 222将①、②代入③得 vm?m2g1(m1k) ≈0.014 m/s ④ 1分

13．用劲度系数为k的弹簧，悬挂一质量为m的物体，若使此物体在平衡位置以初速v突然向下运动，问物体可降低到何处？

解：取物体在平衡位置时，重力势能EP＝0，设平衡时弹簧的伸长量为x0，则物体开始向下运动的一瞬间，机械能为

E1?121kx0?mv2 1分 22设物体刚好又下降x距离的一瞬间速度为零(不再下降)，则该瞬时机械能为

E2?1k(x0?x)2?mgx 1分 2物体运动过程中，只有保守力作功，故系统的机械能守恒：

1211kx0?mv2?k(x0?x)2?mgx 2分 222把kx0＝mg代入上式，可解得： x?vmk 1分

P103 第五章

3．一飞轮以等角加速度2 rad /s2转动，在某时刻以后的5s内飞轮转过了100 rad．若此飞轮

是由静止开始转动的，问在上述的某时刻以前飞轮转动了多少时间？ 解：设在某时刻之前，飞轮已转动了t1时间，由于初角速度 ? 0＝0

则 ?1??t1 ① 1分

而在某时刻后t2 =5 s时间内，转过的角位移为

???1t2?12?t2 ② 2分 2将已知量??100 rad， t2 =5s， ??2 rad /s2代入②式，得

?1 = 15 rad /s 1分

从而 t1 = ?1/?? 7.5ｓ

即在某时刻之前，飞轮已经转动了7.5ｓ． 1分

4．有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量J?1mR2，其中m为圆形平板的质量） 2解：在r处的宽度为dr 的环带面积上摩擦力矩为

故平板角加速度 ? =M /J 1分

设停止前转数为n，则转角 ? = 2?n

2由 ?0?2???4?Mn/J 2分

2J?02?3R?0/16π?g 1分 可得 n?4?Mmg?2?r?rdr 3分 2?RR2总摩擦力矩 M??dM??mgR 1分

03 dM??

5．如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定轴O转动，它们的质量分别为mA＝10 kg和mB＝20 kg，半径分别为rA和rB．现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A、B轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？(其中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为JA? B rB A rA fB fA1122mArA和JB?mBrB) 22

解：根据转动定律  fArA = JA?A ① 1分

12mArA，且 fBrB = JB?B ② 1分 212其中JB?mBrB．要使A、B轮边上的切向加速度相同，应有

2其中JA?  a = rA?A = rB?B ③ 1分

由①、②式，有

fAJArB?AmArA?A ④ ??fBJBrA?BmBrB?B

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