苏教版七年级上册数学第一单元知识点
更新时间:2023-07-27 06:08:01 阅读量: 实用文档 文档下载
《有理数》知识点总结归纳
正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数:比0 小的数正数:比0 大的数0 既不是正数,也不是负数
注意:①字母 a 可以表示任意数,当 a 表示正数时,-a 是负数;当 a 表示负数时,-a 是正数;当 a 表示0 时, -a 仍是 0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,
例如 +a,-a 就不能做出简单判断)
②正数有时也可以在前面加“+”,有时“ +”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:
零上 8℃表示为: +8℃;零下 8℃表示为: -8 ℃
3.0 表示的意义
⑴0 表示“ 没有”,如教室里有 0 个人,就是说教室里没有人;
⑵ 0 是正数和负数的分界线, 0 既不是正数,也不是负数。如:
有理数
1.有理数的概念
⑴正整数、 0、负整数统称为整数(0 和正整数统称为自然数)
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数, 0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π 是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②
有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。
注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8?也是偶数,-1,-3,-5?也是奇数。
2. 有理数的分类
⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分
正整数正整数
整数0正有理数
负整数正分数
有理数有理数0(0不能忽视)
正分数负整数
分数负有理数
负分数负分数
总结:①正整数、0 统称为非负整数(也叫自然数)
②负整数、 0 统称为非正整数
③正有理数、0 统称为非负有理数
④负有理数、0 统称为非正有理数
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不
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可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2. 数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示, 0 用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π 不是有理数)
3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较,右
边的数总比左边的数大;⑵正数都大于0,负数都小于0,
正数大于负数;⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离
原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;
⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是-1 ,无最小的负整数
5.a 可以表示什么数
⑴a>0 表示 a 是正数;反之, a 是正数,则 a>0;
⑵ a<0 表示 a 是负数;反之, a 是负数,则 a<0
⑶a=0 表示 a 是 0;反之, a 是 0, ,则 a=0
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。
相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0 的相反数是0。
注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;
⑶ 0 的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定⑴任何数都
有相反数,且只有一个;⑵ 0 的相
反数是 0;
⑶互为相反数的两数和为0,和为 0 的两数互为相反数,即a,b 互为相反数,则a+b=0
3. 相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点( 0 除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0 的相反数对应原点;原点表示0 的相反数。
说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
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4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“ - ”即可求得(如: 5 的相反数是 -5 );⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“ - ”,然后化简(如; 5a+b 的相反数是 -( 5a+b)。化简得 -5a-b );
⑶求前面带“ - ”的单个数,也应先用括号括起来再添“ - ”,然后化简 ( 如: -5 的相反数是 - ( -5 ),化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地,数 a 的相反数是 -a,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。
当a>0 时, -a<0 (正数的相反数是负数)
当a<0 时, -a>0 (负数的相反数是正数)
当a=0 时, -a=0 ,( 0 的相反数是 0)
6.多重符号的化简
多重符号的化简规律: “+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“- ”号的个数决定最后化简结果;即:“ - ”的个数是奇数时,结果为负,“ - ”的个数是偶数时,结果为正。
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值,记作|a| 。
2. 绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身;⑵一个负数的绝对值是它的相反数;⑶ 0的绝对值是0.
可用字母表示为:
①如果 a>0,那么 |a|=a ;②如果a<0,那么|a|=-a;③如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为①:a≥ 0, <═ > |a|=a(非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)
② a≤ 0, <═ > |a|=-a(非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)
3. 绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以, a 取任何有理数,都有|a|≥ 0。即⑴ 0 的绝对值是0;绝对值是0 的数是 0. 即: a=0 < ═ > |a|=0;
⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0. 即: |a| ≥ 0;
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a| ≥ a;
⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a ( a>0),则 x=± a;
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;
⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即 |a|+|b|=0,则a=0且b=0。
(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)
4.有理数大小的比较⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数
大于负数。
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5.绝对值的化简
①当 a≥ 0 时, |a|=a;②当a≤ 0时,|a|=-a
6.已知一个数的绝对值,求这个数
一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0 的数是 0,没有绝对值为负数的数。
有理数的加减法
1.有理数的加法法则⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;⑵绝对值不相等的异号两数
相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;⑶互为相反数的两数相加,
和为零;
⑷一个数与零相加,仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律:a+b=b+a
⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;
④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3. 加法性质
一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0 后的和等于原数。即:
⑴当 b>0 时, a+b>a⑵当b<0时,a+b<a⑶当b=0时,a+b=a
4. 有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。
5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。
在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负 7、负 6、正 5 的和”
②按运算意义读作“负8减7减 6加 5”
6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:
Ⅰ . 把符号相同的加数相结合(同号结合法)
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)(将减法转换成加法)
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=-33+18-15-1+23 (省略加号和括号) =(-33-15-1)+(18+23) (把符号相同的加数相结合) =-49+41 (运用加法法则一进行运算) =-8 (运用加法法则二进行运算) Ⅱ . 把和为整数的加数相结合 (凑整法)
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) (将减法转换成加法)
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 (省略加号和括号) =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 (把和为整数的加数相结合) =4-10+3.8 (运用加法法则进行运算) =7.8-10 (把符号相同的加数相结合,并进行运算) =-2.2 (得出结论) Ⅲ . 把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法) 3 1 3 2 1 7
- - + - 5 + -
5 2 4 2
8 原式 =(- 3 - 2 )+(- 1+1)+(+ 3 - 7 )
5 5 2 2 4 8
=-1+0- 1
1 8
=-1
8
Ⅳ . 既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合) (+0.125)-(-3 3 1
2
)+(-3 )-(-10 )-(+1.25)
4 8 3
原式 =(+ 1 )+(+3 3 )+(-3 1 )+(+10 2 )+(-1 1 )
8 4 8 3
4 =1+33-3 1+102-1 1
8 4 8 3 4
=(3 3 -1 1 )+( 1 -3 1 )+10 2
4 4 8 8 3
=2 1 -3+10 2
2 3
1
=-3+13
6
=10 1
6
Ⅴ . 把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)
-3 1+10 6 -12 1 +4 7
5 11 22 15
5共8页
1761
原式 =(-3+10-12+4)+(-+ )+(-)
5151122
=-1+4+ 11
1522
=-1+8+ 15
30 30
-
7
30
Ⅵ. 分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9?+66-67-68+69
原式 =(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+? +(66-67-68+69)
=0
Ⅶ . 先拆项后结合
(1+3+5+7? +99) - ( 2+4+6+8? +100)
有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”
的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)
法则二:任何数同0 相乘,都得 0;
法则三:几个不是0 的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0, 则积等于 0.
2. 倒数
乘积是 1 的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·1
=1( a≠ 0),就是
说 a 和1
互为倒数,即 a 是
1
的倒数,
1
是 a 的倒数。
a a a a
注意:① 0 没有倒数;
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把
带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);
④倒数等于它本身的数是 1 或 -1, 不包括 0。
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即 (ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。
即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
( 1)除以一个不等0 的数,等于乘以这个数的倒数。
( 2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于0 的数,都得0
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5.有理数的乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序
进行。
有理数的乘方
1.乘方的概念
求 n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在a n中,a叫做底数,n叫做指数。
2.乘方的性质
( 1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。
( 2)正数的任何次幂都是正数,0 的任何正整数次幂都是0。
有理数的混合运算
做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
1.先乘方,再乘除,最后加减;
2.同级运算,从左到右进行;
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
科学记数法
把一个大于10 的数表示成 a 10n的形式(其中 1 a10 ,n是正整数),这种记数法是科学记数法。
用字母表示数
代数式
代数式:用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式,如 n,-1,2n+500,abc 。单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式:表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数:单项式中的数字因数
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数和
多项式:几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。
整式:单项式和多项式统称为整式。
注意:分母上含有字母的不是整式。
代数式书写规范:
①数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示,并把数字放到字母前;
②出现除式时,用分数表示;
③带分数与字母相乘时,带分数要化成假分数;
④若运算结果为加减的式子,当后面有单位时,要用括号把整个式子括起来。
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合并同类项
同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变。
合并同类项的步骤:( 1)准确的找出同类项;( 2)运用加法交换律,把同类项交换位置后结合在一起;( 3)利用法则,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变;(4)写出合并后的结果。
去括号的法则
(1)括号前面是“ +”号,把括号和它前面的“ +”号去掉,括号里各项的符号都不变;
(2)括号前面是“—”号,把括号和它前面的“—”号去掉,括号里各项的符号都要改变。
整式的加减:进行整式的加减运算时,如果有括号先去括号,再合并同类项。
整式加减的步骤:(1)列出代数式;(2)去括号;(3)合并同类项。
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