高考数学难点突破 难点07 奇偶性与单调性（一）

难点7 奇偶性与单调性(一)

函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

●难点磁场

exa?(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+aex∞)上是增函数.

●案例探究

［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(

1)=－1,当且仅当0

命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.

知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.

错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.

技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.

证明：(1)由f(x)+f(y)=f(

x2?x11?x1x2x?xx?y),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.1?xy1?x2∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.

(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.

令0

x2?x1)

1?x1x2∵00,1－x1x2>0，∴又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴0<

x2?x1>0,

1?x2x1x2?x1x?x1<1,由题意知f(2)<0，

1?x2x11?x1x2即f(x2)

∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数.

［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，

f(2a2+a+1)

1a2?3a?1)的单调递减区2命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.

知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.

技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.

解：设0

1712又2a2?a?1?2(a?)2??0,3a2?2a?1?3(a?)2??0.

4833由f(2a2+a+1)3a2－2a+1.解之，得0

325)－. 241a2?3a?13)的单调减区间是［，+∞］ 22323结合0

22●锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)判断函数的奇偶性与单调性

若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.

若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.

同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.

复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数. (2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.

●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )

x?1A.f(x)=(x－1)

1?x2??x?x(x?0)C.f(x)=?2

???x?x(x?0)

lg(1?x2)B.f(x)=2

|x?2|?2D.f(x)=

1?sinx?cosx

1?cosx?sinx2.(★★★★★)函数f(x)=A.关于x轴对称

1?x2?x?11?x?x?1

2的图象( )

B.关于y轴对称

C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称 二、填空题

3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________. 4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0

三、解答题

5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+

x?2 (a>1). x?1(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.

x36.(★★★★★)求证函数f(x)=2在区间(1，+∞)上是减函数.

(x?1)27.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=

f(x1)?f(x2)?1；

f(x2)?f(x1)(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：

(1)f(x)是奇函数.

(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.

8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且 f(－

11)=0,当x>－时，f(x)>0. 22(1)求证：f(x)是单调递增函数；

(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.

参考答案

难点磁场

exa11?x?x+aex.整理，得(a－) (1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即

aeaea(ex－

11)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1 xea111x2x1??(e?e)(?1) ex1ex2ex1?x2xx(2)证法一：设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)=e1?e2??e(ex1x2?x11?ex1?x2?1)x?x

e12由x1>0,x2>0,x2>x1,∴ex2?x1?1>0,1－ex1?x2＜0,

∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数

－－－－证法二：由f(x)=ex+ex，得f′(x)=ex－ex=ex·(e2x－1).当x∈(0,+∞)时，ex>0,e2x－1>0. 此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数. 歼灭难点训练

22?(x?0)?(x?0)?x?x ??(x?x) 一、1.解析：f(－x)=? =－f(x)，故f(x)??22?(x?0)?(x?0)??x?x ??(?x?x) 为奇函数.

答案：C

2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称. 答案：C

二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1]上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1]上递减.

答案：(－∞,－1]

4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x， ∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞)单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0, ∴b=－a(x1+x2)＜0. 答案：(－∞,0）

三、5.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, ax2?x1>1且ax1>0, ∴ax2?ax1?ax1(ax2?x1?1)>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴

x2?2x1?2(x2?2)(x1?1)?(x1?2)(x2?1)3(x2?x1)???>0, x2?1x1?1(x1?1)(x2?1)(x1?1)(x2?1)x2?2x1?2? >0 x2?1x1?1于是f(x2)－f(x1)=ax2?ax1+

∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.

(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则ax0??x0?2且由0＜ax0＜1得0＜x0?1－

x0?21＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根. x0?12证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则

x0?2＜－2,ax0＜1,∴f(x0)＜x0?1－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则没有负数根.

6.证明：∵x≠0,∴f(x)=

x0?2

>0, ax0>0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0x0?1

111, ??(x2?1)2x(x2?1)2x(1?1)2x2x3x42设1＜x1＜x2＜+∞,则

1x2?1x12?1,1?1x22?1?1x12?0.

?x2(1?1x22)?x1(1?21x12)?0.?21x2(1?1x22?)21x1(1?1x12

)2∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决） 7.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.

(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).

∵f(x+a)=f［x－(－a)］=

f(x2)f(x1)?1f(x1)f(x2)?1??

f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1)f(?a)f(x)?1?f(a)f(x)?1f(x)?1??(f(a)?1).

f(?a)?f(?x)?f(a)?f(x)f(x)?1f(x)?1?1f(x?a)?1f(x)?11 ?f(x?2a)?f[(x?a)?a]????f(x)?1f(x?a)?1f(x).?1f(x)?11∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.

?f(x?2a)8.(1）证明：设x1＜x2,则x2－x1－

111>－,由题意f(x2－x1－)>0, 222∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－

11)－1=f［(x2－x1)－］>0, 22∴f(x)是单调递增函数. (2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pmea.html