上海市浦东新区2015届高三数学二模试卷（含答案）

上海市浦东新区2014-2015学年高考质量检测

高三数学试卷（理科）

2015.4.20

(满分：150分，完卷时间：120分钟)

（答题请写在答题纸上）

一、填空题(本大题共有14小题，满分56分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数f(x)=3x–2的反函数f –1(x)=________．

2．若全集U=R，集合A={x| –2≤x≤2}，B={x| 0

2n2?2)= ． 4．计算极限：lim(2n??n?n?15．已知a?(1,x)，b?(4,2)，若a?b，则实数x?_______．

6．若复数(1+2i)(1+ai)是纯虚数，(i为虚数单位)，则实数a的值是 ． 7．在(x?)的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示)

2x6?12??42?8．已知矩阵A=??，矩阵B=??，计算：AB= ．

3431????9．若直线l：y=kx经过点P(sin2?2?,cos)，则直线l的倾斜角为α = ． 3310．A、B、C三所学校共有高三学生1500人，且A、B、C三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_________人．

11．双曲线C：x2 – y2 = a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|?43，则双曲线C的方程为__________．

12．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组

?mx?ny?3只有一组解的概率是_________．（用最简分数表示） ??2x?3y?213．若函数y=f(x) (x∈R)满足：f(x+2)=f(x)，且x∈[–1, 1]时，f(x) = | x |，函数y=g(x)是定义

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在R上的奇函数，且x∈(0, +∞)时，g(x) = log 3 x，则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_______．

14．若实数a、b、c成等差数列，点P(–1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0, 3)，则线段MN长度的最小值是 ．

二、选择题(本大题有4题，满分20分) 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律的零分． 15．若

11??0，则下列结论不正确的是 （ ） ab222(A) a?b (B) ab?b (C)

开始 bab??2 (D) ?1 abaS=0 k=1 k>2011 否 是 16．右图是某程序的流程图，则其输出结果为( )

20101(A) (B)

2011201120111(C) (D)

2012201217．已知f(x)=x–2x+3，g(x)=kx–1，则“| k |≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的 （ ）

(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

2

S?S?1 k(k?1)输出S k ← k+1 第16题图 结束 18．给定方程：()?sinx?1?0，下列命题中：(1) 该方程没有小于0的实数解；(2) 该方程有无数个实数解；(3) 该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；(4) 若x0是该方程的实数解，则x0>–1．则正确命题的个数是 （ ）

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

三、解答题（本大题共有5个小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 已知集合A={x| | x–a | < 2，x?R }，B={x|(1) 求A、B；

(2) 若A?B，求实数a的取值范围．

12x2x?1<1，x?R }． x?22 / 4

20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数f(x)?sin(2x??)?sin(2x?)?3cos2x?m，x∈R，且f(x)的最大值为1．

33?(1) 求m的值，并求f(x)的单调递增区间；

(2) 在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若f(B)?3?1，且3a?b?c，试判断△ABC的形状．

21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

x2?2x?a,x?(0,2]，其中常数a > 0． 已知函数f(x)?x(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在(0,2]上是减函数； (2) 求函数f(x)的最小值．

22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l交椭圆于P、Q两点．

(1) 求该椭圆的标准方程；

(2) 若PB2?QB2，求直线l的方程；

(3) 设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈[4,27]，求△

3 / 4

B2PQ的面积S的取值范围．

23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知数列{an}满足a1??6，1?a1?a2?7?an??an?1?0(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，

Sn为数列{an}的前n项和．

2(1) 若a2?a1?a3，求?的值；

(2) 求数列{an}的通项公式an； (3) 当??1时，数列{an}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存3在，请说明理由．

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参考答案和评分标准

一、填空题 1．1x?2(定义域不写不扣分) 2．{x|–2≤x≤0或1≤x≤2} 3．2 5．–2 6． ? 4．

23?104?5?x2y27．–160 8．?? 9．6 10．40 11．4?4?1

2410??12．

17 13．4 14．4?2 18二、选择题

15．D 16．C 17．A 18．C 三、简答题

19．解：(1) 由| x–a | < 2，得a–22x?1x?3<1，得<0，即 –2

a?2?3?所以0≤a≤1．??????????????????????????????12分 20．解：(1)f(x)?sin2x?3cos2x?m?2sin(2x??3)?m ????????3分

因为f(x)max?2?m,所以m?1，??????????????????????4分 令–

???5??,k??](k∈Z)???6分 +2kπ≤2x+≤+2kπ得到：单调增区间为[k??2321212( 无(k∈Z)扣1分 )

(2) 因为f(B)?3?1，则2sin(2B??3615??A) 又3a?b?c，则3sinA?sinB?sinC，3sinA??sin(26?1?化简得sin(A?)?，所以A?，???????????????????12分

362所以C?网])?1?3?1，所以B????????8分

?2，故△ABC为直角三角形．???????????????????14分

[来源学科

21．解：(1) 当a?4时，f(x)?x?任取0

44(x?x2)(x1x2?4)?x2??1??????3分 x1x2x1x25 / 4

因为00，即f(x1)>f(x2)???????????????5分 所以函数f(x)在(0,2]上是减函数；?????????????????????6分 (2)f(x)?x?当且仅当x?当0?a?2?2a?2，????????????????????7分 xa时等号成立，??????????????????????8分

a?2，即0?a?4时，f(x)的最小值为2a?2，?????????10分

当a?2，即a?4时，f(x)在(0,2]上单调递减，?????????????11分 所以当x?2时，f(x)取得最小值为

a，??????????????????13分 2综上所述：f(x)min?2a?2???a??20?a?4,a?4. ???????????????14分

x2y222．解：（1）设所求椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0),右焦点为F2(c,0).

ab因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90o，得c=2b????1分

2在Rt△AB1B2中，S?AB1B2?b?4，从而a?b?c?20.??????3分

222x2y2??1 ????????????????4分 因此所求椭圆的标准方程为：

204(2)由(1)知B1(?2,0),B(2,0),由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为：

x?my?2,代入椭圆方程得?m2?5?y2?4my?16?0,??????????6分

设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则y1、y2是上面方程的两根，因此y1?y2?4m，

m2?5[来源学_科_网Z_X_X_K]

y1?y2??16，又B2P??x1?2,y1?,B2Q??x2?2,y2?，所以

m2?516m2?64????????????8分 B2P?B2Q?(x1?2)(x2?2)?y1y2??m2?5由PB2?QB1，得B2P?B2Q=0，即16m?64?0，解得m??2；

所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x+2y+2=0和x–2y+2=0????????10分 (3) 当斜率不存在时，直线l:x??2，此时|MN|?4，S?2165??????11分 56 / 4

当斜率存在时，设直线l:y?k(x?2)，则圆心O到直线的距离d?|2k|k?12，

14k2因此t=|MN|?28?2?27，得k2????????????????13分

3k?1?y?k(x?2),?2222联立方程组：?x2得(1?5k)y?4ky?16k?0，由韦达定理知， y?1,???2044k4?k24k16k2y1?y2?,y1y2??，所以|y1?y2|?45， 2222(1?5k)1?5k1?5k14k4?k2因此S??4?|y1?y2|?85. 222(1?5k)设u?1?5k，u?28851325165，所以S?，所以S?[35,)?15分 ?(?)2?355u24综上所述：△B2PQ的面积S?[35,&网]165]?????????????????16分5[来源学&科

23．解：(1) 令n?1，得到a2?111?2。????2分 ，令n?2，得到a3?7?7?7?72由a2?a1?a3，计算得???．????????????????????4分

6(2) 由题意1?a1?a2?????an??an?1?0，可得： 1?a1?a2?????an?1??an?0(n?2)，所以有

[来源学科网Z|X|X|K]

(1??)an??an?1?0(n?2)，又??0,???1，????????5分

得到：an?1?又因为a2?1???an(n?2)，故数列{an}从第二项起是等比数列。?????7分

111??n?2()???????????8分 ，所以n≥2时，an?7?7???6?n?1,??7所以数列{an}的通项an???????????????10分

?1(1??)n?2n?2.??7??7 / 4

?6?n?1,?1?7(3) 因为?? 所以an????????????????11分

3?3?4n?2n?2.??7假设数列{an}中存在三项am、ak、ap成等差数列，

①不防设m>k>p≥2，因为当n≥2时，数列{an}单调递增，所以2ak=am+ap 即：2?(

333)?4k–2 = ?4m–2 + ?4p–2，化简得：2?4k - p = 4m–p+1 777即22k–2p+1=22m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1，

故有：m=p=k，和题设矛盾????????????????????????14分 ②假设存在成等差数列的三项中包含a1时， 不妨设m=1，k>p≥2且ak>ap，所以2ap = a1+ak ， 2?(

363)?4p–2 = – + ()?4k–2，所以2?4p–2= –2+4k–2，即22p–4 = 22k–5 – 1 777因为k > p ≥ 2，所以当且仅当k=3且p=2时成立???????????????16分 因此，数列{an}中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差数列???????????18分

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