广东高考数学常考考点

广东高考数学热考点

首先，解答题一般有：

考点1：三角函数

1、应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀确定三角函数名称和判定三角函数值的符号。

2、在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时，注意观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，如tg(?+?)=tg?+tg?的变形tg?+tg?=tg(?+?)(1?tg?tg?),二倍角公式

1?tg?tg?1?cos2?, cos2??cos2??sin2??1?2sin2??2cos2??1的变形用cos2??21?cos2?等。 sin2??2 3、常用的三角变换

① 角的变换：主要是将三角函数中的角恰当变形，以利于应用公式和已知条件：

如2α=(α+β)+ (α-β) 2β=(α+β)-(α-β) α=[(α+β)/2]+[( α-β)/2]

β=[(α+β)/2]-[( α-β)/2] 2α=2α/2=(α+β-β) ②函数名称变换： 主要是切割化弦、弦切互换、正余弦互换、正余切互换。 ③ 公式的活用

主要有公式的正用、逆用、变形用。通过适当的三角变换，以减少函数种类及项数，降低次数，使一般角化为特殊角。

注意切割化弦通分、降幂和升幂等方法的使用，充分利用三角函数值的变式，如，1=tan45 ，-1=tan135 ,

0

0

= tan60, =cos60或 =sin30,

000

sinx+cosx=2sin(x+),创造条件使用公式。 4、三角函数的图像与性质

⑴“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0, ω＞0)的简图，掌握选取起关键作用的五个点的方法：设X=ωx+φ,由取0，π/2，π，3π/2，2π来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图。

⑵掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图像与函数y=sinx的图像之间互相交换，提倡先平移后压缩(伸展)，但先压缩(伸展)后平移也经常出现现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变换，切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量” 起多大变化，而不是“角变化”多少。另注意能以向量的形式表示平移

⑶给出图像确定解析式的题型：A、B与最值有关，ω与周期有关；φ从寻找“五点法”中的第二个零点且最靠近Y轴的最高点作为突破口，ωx+φ=π/2

⑷求定义域是研究其他性质首先应要考虑的方面之一，既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，例如题中出现tanx,则一定有 x≠k+(π/2)(k∈Z),不要遗忘.

⑸求值域离不开三角函数式的的恒等变形，所以要掌握六种三角函数的定义域、值域、单调

2233

性，还要熟练掌握形如：sinx±cosx、sinx2cosx、sinx+cosx、sinx+cosx 等之间的变换，以及三角公式的正逆用和变形用。 ⑹三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法求解，若对函数利用描点画图，则根据图形的直观性可迅速获解。判断函数的奇偶性，应首先判定函数定义域关于原点的对称性。三角函数最小正周期的求法，主要是通过恒等变形转化为基本三角函数类型或形如y=Asin(ωx+φ)的形式，另外还有图

像和定义法。

⑺函数y=Asin(ωx+φ)的图像是中心对称图形。其对称中心是图像与x轴的交点，同时也是轴对称图形，对称轴是经过图像的波峰顶或波谷底且与x轴垂直的直线。 考点2：立体几何解答题的解法 一、空间角的计算

主要步骤；一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算。 1． 两条异面直线所成的角

① 平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常

常利用中位线或成比例线段引平行线。

② 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体

等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系。

2．直线和平面所成的角 作出直线和平面所成的角，关键是垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。 3．二面角

⑴平面角的作法： ①定义法；

②三垂线定理及其定理法； ③垂面法。

⑵平面角计算法：

①找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算。 ②射影面积法:cos =S射影 /S 二、空间距离的计算：

1． 求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中

求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

2． 求两条异面直线距离，一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长，在不能直接作出

公垂线的情况下，可转化为线面距离求解（这种情形高考不作要求）.

3． 求点到平面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直

的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知求距离比较困难难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。 三、 平行、垂直位置关系的转化 考点3：概率解答题的解法： 1．（1）等可能性事件的概念也称古典概率，它的特征为： ① 每一次试验中所有可能出现的结果是有限的； ② 每一个结果出现的可能性是相等的； ⑵等可能性事件概率的计算步骤

① 计算一次试验的基本事件的总数n； ② 计算事件A包含的基本事件的个数m； ③ 依公式P(A) =m/n求值。

2． 互斥事件与对立事件的区别与联系

互斥事件与对立事件都是研究两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要而非充分条件。

从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交。事件A的对立事件A所含的组成有集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。

3． 互斥事件的概率：P(A+B)=P(A)+P(B)

对立事件的概率：P(A+A)=P(A)+P(A)=1

相互独立事件的概率：P(A2B)=P(A)2P(B)

kkn-k

n次独立重复试验中事件A恰好发生k的概率：Pn(k)=Cn P(1-P) 4. 在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率。 5．在概率解答题中要有必要的文字解释 6、数学期望与方差

考点4：数列解答题的解法

1． 数列前n项和Sn与第n项aa的关系：

S1 (n =1)

an = Sn-Sn-1 (n≥2)

2． 等差数列的主要性质：

已知{an},{bn}为等差数列，则：

①{kan},{an}+{bn},{kan+b},(k,b为常数)等仍成等差数列； ②an=am+(n-m)d (m,n∈N+)； ③2an=an-m+an+m;

④如果m+n=p+q，则am+an =ap+aq;

⑤如果Sn 为{an}的前n项和，则Sn,S2n –Sn, S3n-S2n成等差数列. ⑥在等差数列{an}中，

若项数为2n,则S偶-S奇=nd, S奇/S偶 = an/an+1 ; 若项数为2n-1,则S奇=nan , S偶 =(n-1). an ,S2n-1 =(2n-1)an ,即an =S2n-1/2n-1 3.等比数列的主要性质：

已知{an},{bn}为等比数列，则：

k

①{kan},{an},{anbn},(k≠0,k为常数)等仍成等比数列；

n-m

②an=am2q (m,n∈N+)；

2

③an=an-m2an+m;

④如果m+n=p+q，则am2an =ap2aq;

⑤如果Sn 为{an}的前n项和，则Sn,S2n –Sn, S3n-S2n成等比数列.

⑥在等比数列{an}中，n为偶数时，S偶/S奇=q,n为奇数时，(S奇-a1)/S偶 = q. ⑦特别注意等比数列的前n项和公式及推导方法(错位相减)的应用. na1 (q=1)

n

Sn = [a1(1-q)]/(1-q)(q≠1)

4.能用等差、等比数列的定义进行解题。掌握等差、等比数列的通项公式，求和公式的推导方法。

考点5：解析几何解答题的解法： [1]直线和圆

1．a.与直线方程特征值(主要指斜率、截距等)的有关问题； b.直线的平行与垂直的条件； c.与距离有关的问题； d.中心对称与轴对称问题。

2． 直线与圆的位置关系的综合性试题，数形结合是解题的主导思想，借助“形”的直观性，

可以使问题化难不易。因此，求解直线与圆的问题一定要注意挖掘几何图形的内在几何性质。

[2]直线和圆锥曲线

一、 圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质 1． 椭圆

⑴完整地理解椭圆的定义并重视定义在解题中的应用。椭圆是平面内到两定点F1、F2 的距离之和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点的轨迹。还有一种定义(圆锥曲线的统一定义)：平面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数e(0＜e＜1＝的动点轨迹为椭圆，(顺便指出：e＞1、e=1时轨迹分别为双曲线和抛物线)。

⑵椭圆的标准方程有两种形式，决定于焦点所在的坐标轴。焦点是F(±c,0)时，标准方程

x2y2y2x2为2?2 =1(a＞b＞0)；焦点是F(0, ±c) 时，标准方程 2?2=1(a＞b＞0)。这里abab隐含a=b+c, 此关系体现在△OFB(B为短轴端点)中。

2

⑶深刻理解a、b、c、e、a/c 的本质含义及相互关系，实际上就掌握了几何性质。 2．双曲线

⑴类比椭圆，双曲线也有两种定义，两种标准方程形式，同样要重视定义在解题中的运用，

2

要深刻理解几何量a、b、c、e、a/c的本质含义及其相互间的关系。 ⑵双曲线的渐近线是区别是于椭圆的一道“风景线”，其实它是矩形的两条对角线所在的直线（参照课本）。

2

2

2

x2y2222

⑶双曲线2?2=±1（a＞0，b＞0）隐含了一个附加公式c =a+b.此关系体现在△OAB

ab（A、B分别为实轴、虚轴的一个端点）中；特别地，当a=b时的双曲线称为等轴(边)双曲线，其离心率为;两条渐进线互相垂直。

3．抛物线

⑴抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹(F?L)定义指明了抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，并在解题中有突出的运用。

2

⑵抛物线方程(标准)有四种形式：y=±2px和x=±2px(p＞0)，选择时必须判定开口与对称轴。

⑶掌握几何性质，注意分清2p,p, p/2的几何意义。 [3]、直线与二次曲线的位置关系 1．判断直线L与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线L的方程代入曲线C的方程，消去y(也

2

可以消x)得一个关于变量x的一元方程ax+bx+c=0.

①当a≠0时，则有△＞0，L与C相交；△=0，L与C相切；△＜0，L与C相离。 ②当a=0时，即得到一个一次方程，则L与C相交，且只有一个交点， 此时，若C为双曲线，则L平行于双曲线的渐近线； 若C为抛物线，则L平行于抛物线的对称轴。

应当注意的是，当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交。

2． 关于弦长的计算有弦长公式： |AB|=(1?k)[(x1?x2)?4x1x2] =(1?221)[(y1?y2)2?4y1y2] 2k焦点弦的长可以利用焦半径公式，可使计算简化.

涉及与弦的中点有关的问题，除了利用韦达定理外，也可利用“点差法”。 [4 ] 常见的求轨迹方程的方法有以下几种：

⑴直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式。

⑵待定系数法：由已知条件可以根据定义判断出曲线类型，可用待定系数法设出方程具有形式，转化为求方程而解决。

⑶代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标(x,y)表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程。

⑷参数法：通过一个(或多个)中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程。

⑸交轨法；动点是两条动曲线的交点，由x，y满足的两个动曲线方程中消去参数，可得所求方程。故交轨法也属参数法。 [5]平面向量知识

（1） 平面向量的加减法运算（平行四边形法则，三角形法则） （2） 两向量平行： （3） 两向量垂直：

（4）注意向量向量的数量积： 考点6：函数与不等式及导数

1. 函数是高中数学的一条主线，贯穿整个高中数学的始终，因而是高考命题的重点和历久

不衰的热点。在“函数”这部分内容中，复习的重点是会求函数的解析式、定义域及值域；会判断函数的单调性并运用函数的单调性解题；会求原函数的反函数(包括定义域的确定)；会用指数、对数函数的概念与性质解决相关问题；能综合运动函数知识解决较复杂问题。灵活运用函数的单调性及用函数知识解决实际问题是复习中的两个难点，要切实掌握。

2. 从全国高考试卷看，函数试题进一步创新，试题设计新颖、灵活、思维力度增大，运算

量减少，从考试看主要有以下考查形式和特点：

⑴ 考查一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数和对数函数等常见初等函数的图象和性质及应用(10年间每年必考,其中二次函数及对数函数更为重要)。考查内容主要是关于函数的定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、反函数、图像以及图像的变换。以上纯函数内容的考查也常以选择题、填空题出现，属中档题。 ⑵ 考查函数与方程、不等式、三角、数列、曲线方程、导数(尤其是重视与导数的结合)等知识的交叉渗透及应用，属中、高档题。

⑶ 考查以⑴函数为模型的实际应用问题，让考生从数学角度观察事物、阐释现象，分析解决问题，属中档题。

⑷ 变函数的具体形式抽象形式，用以考查抽象思维水平，以及抽象与具体进行转化的思维能力，可结合在函数的各种型中进行考查。 3 导函数内容的增加

⑴ 导函数的定义（用极限的观点解释） ⑵ 多项式函数的导函数公式 ⑶ 导数的几何意义

⑷ 导数在函数单调性、极值、最值问题中的运用

考点7：应用题

高考常见应用问题与数学模型

（1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.

（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.

（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.

（4）等量关系问题：建立“方程模型”解决

再次，选择填空题：

考点8：集合 一组对象的全体形成一个集合 定 义 确定性、互异性、无序性 特 征 列举法{1,2,3,?}、描述法{x|P} 表示法 有限集、无限集 分 类 自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集φ 数 集 集 属于∈、不属于?、包含于?、真包含于?、集合相等 关 系 合运 算 交集 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}； 并集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}； 补集 CUA＝{x|x?A且x∈U}，U为全集 A?A； φ?A； 若A?B，B?C，则A?C； 性 质 A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝A?A∪B＝B?A?B； A∩CUA＝φ； A∪CUA＝I；CU( CUA)＝A；CU(A?B)＝CUA∩CUB 韦恩示意图 数轴分析 方 法 注意：① 区别∈与?、?与?、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A?B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ 考点9：复数

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即. ⑵复数及其相关概念：

① 复数-形如a + bi的数（其中）；

② 实数-当b = 0时的复数a + bi，即a； ③ 虚数-当时的复数a + bi；

④ 纯虚数-当a = 0且时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部-a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） ⑥ 复数集C-全体复数的集合，一般用字母C表示. ⑶两个复数相等的定义：当且仅当虚部与实部都相等 ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 考点10：函数 函数的定义

（1）映射的定义：

(2) 一一映射的定义： 上面是映射的是（一）（二）,是一一映射的是（二）。 (3)函数的定义

（4）函数的三要素：定义域，值域，对应法则。 三、函数的性质

（1）定义域： （2）值域：

（3）奇偶性（在整个定义域内考虑） ①定义： ②判断方法： Ⅰ.定义法： 步骤：

a.求出定义域；

b.判断定义域是否关于原点对称；

c.求f(?x)；

d.比较f(?x)与f(x)或f(?x)与?f(x)的关系。 Ⅱ图象法：即根据图象的对称性判别

③已知：H(x)?f(x)g(x)

若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相同，则在公共定义域内H(x)为偶函数

若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内H(x)为奇函数 ④常用的结论：若f(x)是奇函数，且0?定义域，则f(0)?0或f(?1)??f(1)；

若f(x)是偶函数，则f(?1)?f(1)；反之不然。 常见的奇函数：①y?lg(x?x?xx2?1) ②y?lg1?x 1?x1?x2ex?111③y?e?e④y??x⑤y?x⑥y?

x?2?222?1e?1非奇非偶函数f（x）=

1?cosx?sinx.

1?cosx?sinx （4）单调性（在定义域的某一个子集内考虑） ①定义：

②证明函数单调性的方法：

Ⅰ.定义法 步骤： a.设x1,x2?A且x1?x2； b.作差f(x1)?f(x2)；

（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出） c.判断正负号。

③求单调区间的方法：

a.定义法： b. 图象法： c.复合函数y?f?g(x)?在公共定义域上的单调性：

若f与g的单调性相同，则f?g(x)?为增函数； 若f与g的单调性相反，则f?g(x)?为减函数。

注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。

④一些有用的结论：

a.奇函数在其对称区间上的单调性相同； b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；

c.在公共定义域内

增函数f(x)?增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)?减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)?减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)?增函数g(x)是减函数。

⑤掌握函数y?

函 数 定义域 值域 奇偶性 单 调 性 非奇非偶函数 当b-ac>0时: 分别在(??,?c),(c,??)上单调递减； 当b-ac<0时: 分别在(??,?c),(c,??)上单调递增； ax?bb?acc?a?(b?ac?0);y?x?(c?0)的图象和性质； x?cx?cxax?bb?ac ?a?x?cx?c(b – ac≠0) y?ay?x?(a?0） x(??,?c)?(c,??) (??,a)?(a,??) (??,0)?(0,??) (??,?2a]?[2a,??) 奇函数 在(??,?a],[a,??)上单调递增； 在[?a,0),(0,a]上单调递增； 图 象 Y=a y y o X=-c o X x （5）函数的周期性

定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x?T)?f(x)恒成立 则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为

2a的周期函数；

（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数；

（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数；

（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2a?b的周期函数； （5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2a?b的周期函数；

（6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= ?1，则y=f(x)是周期为2a的周

f(x)期函数；

考点11：等比等差数列 [数列的通项公式] an???a1?S1(n?1)

S?S(n?2)n?1?n[数列的前n项和] Sn?a1?a2?a3???an

[等差数列的概念]

[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 即：an?an?1?d(n?2,an?0,q?0)?{an}成等比数列

[等差数列的判定方法]

1． 定义法：对于数列?an?，若an?1?an?d(常数)，则数列?an?是等差数列。 2．等差中项法：对于数列?an?，若2an?1?an?an?2，则数列?an?是等差数列。 [等差数列的通项公式]

如果等差数列?an?的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为an?a1?(n?1)d。 [说明]：该公式整理后是关于n的一次函数。

n(a1?an)n(n?1)[等差数列的前n项和] 1．Sn? 2. Sn?na1?d

22[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。 [等差中项]

a?b或2A?a?b 2[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 [等差数列的性质]

am是等差数列的第m项，1．等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：A?且m?n，公差为d，则有an?am?(n?m)d

2.对于等差数列?an?，若n?m?p?q，则an?am?ap?aq。

a1?an???????????a,a2,a3,?,an?2,an?1,an

?a2?an?1?a3?an?2???，如图所示：1?????????a2?an?1*也就是：a1?anSn是其前n项的和，S2k?Sk，S3k?S2k3．若数列?an?是等差数列，那么Sk，k?N，

成等差数列。如下图所示：

S3k?????????????????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k ???????????????????????SkS2k?SkS3k?S2k4．设数列?an?是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的

2d 和，则有如下性质：①奇数项a1,a3,a5,?成等差数列，公差为 ②偶数项a2,a4,a6,?成等差数列，公差为2d ③若有奇数项2n?1项，则S奇? S偶?a2?a2n2a1?a2n?1?(n?1)?an?1?(n?1) 2?S奇?S偶?an?1?(2n?1)?(2n?1)a中??n?an?1?n所以有?

S?S?a?an?1奇偶中?S奇S偶?S?S偶Snn?1?奇?2n?1 ；

nS奇?S偶S奇?S偶a1?a2n?1?n?n?an 2a?a2n?n?n?an?1 S偶?22 所以有S偶?S奇??a2?a1???a4?a3?????a2n?a2n?1??nd

若有偶数项2n项，则S奇?5．若等差数列?an?的前2n?1项的和为S2n?1，等差数列?bn?的前2n?1项的和为

'S2n?1，则

anS2n?1。 ?'bnS2n?1[等比数列的概念] [定义]：

an?q(n?2,an?0,q?0)?{an}成等比数列 an?1[等比中项]

如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中

Gb2项。也就是，如果是的等比中项，那么?，即G?ab。

aG[等比数列的判定方法]

1． 定义法：对于数列?an?，若

an?1?q(q?0)，则数列?an?是等比数列。 an22．等比中项：对于数列?an?，若anan?2?an?1(an?0)，则数列?an?是等比数列。 [等比数列的通项公式]

如果等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为an?a1q[等比数列的前n项和]

n?1。

na1(q?1)?? Sn??a1(1?qn)a1?anq?(q?1)?1?q1?q?[等比数列的性质]

am是等差数列的第m项，1．等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，且m?n，公比为q，则有an?amqn?m

2.对于等比数列?an?，若n?m?u?v，则an?am?au?av

a1?an???????????a,a2,a3,?,an?2,an?1,an

?a2?an?1?a3?an?2???。如图所示：1?????????a2?an?1也就是：a1?an3．若数列?an?是等比数列，Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比数列。如下图所示：

S3k?????????????????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k ???????????????????????SkS2k?SkS3k?S2k

考点12：命题

命题：可以判断真假的语句； 逻辑联结词：或、且、非；

简单命题：不含逻辑联结词的命题；

复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 三种形式：p或q、p且q、非p

真假判断：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真，否则为假；非p，真假相反； 原命题：若p则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若?p则?q； 逆否命题：若?q则?p；

互为逆否的两个命题是等价的。 考点13：向量

（1）向量的基本概念

①定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。 ②特定大小或特定关系的向量

零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。

③表示法：几何法：画有向线段表示，记为AB或α。

④在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量i, j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，记作：a=(x, y) 称作向量a的坐标.

???AB=(x2-x1,y2-y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)

（2）向量的运算

①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：

a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)。其中a=(x1，y1),b=(x2,y2)。 运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a。 ②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5-2）：

λa=λ(x,y)=(λx, λy)

(1)︱?a︱=︱?︱2︱a︱;

(2) 当?＞0时，?a与a的方向相同；当?＜0时，?a与a的方向相反； 当?=0时，?a=0．

(3)若a=（x1,y1），则?2a=（?x1,?y1）． 运算律

λ（μa）=(λμ)a,( λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)= λa+λb。 3.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）： （1）．向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=? （0???180）叫做向量a与b的夹角。 （2）．两个向量的数量积： 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则

00a2b=︱a︱2︱b︱cos?．

其中︱b︱cos?称为向量b在a方向上的投影．

（3）．向量的数量积的性质：a2b=b2a,(λa)2b=a2(λb)=λ（a2b），（a+b）2c=a2c+b2c。若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则a2b=x1x2?y1y2 ⅰ）a⊥b?a2b=0?x1x2?y1y2?0（a，b为非零向量）;

?x1x2?y1y2?0ⅱ）向量a与b夹角为锐角??

?(x1,y2)??(x2,y2)ⅲ）向量a与b夹角为钝角???x1x2?y1y2?0

(x,y)??(x,y)22?124.定理与公式

① 共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=

λ a ?注意：1?消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵b?0∴x2, y2中至少有一个不为

0

2?充要条件不能写成

???结论：a∥b (b?0)的充要条件是x1y2-x2y1=0 y1y2? ∵x1, x2有可能为0 x1x2???3?向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b?0)?a??b或x1y2?x2y1?0

②平面向量基本定量：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2

③两向量垂直的充要条件

(i) a⊥b?a2b=0 (ii) a⊥b?x12x2+y12y2=0（a=(x1,y1), b=(x2,y2)） ④三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,使OA=αOB+βOC，其中α+β=1，O为平面内的任一点。

⑤数值计算公式

22两点间的距离公式：|P1P2|=(x2?x1)?(y2?y1)，其中[P1(x1,y1),P2(x2,y2)]

P分有向线段P1P2所成的比：

设P1、P2是直线l上两个点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数?使

P1P=?PP2，?叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

当点P在线段P1P2上时，?＞0；当点P在线段P1P2或P2P1的延长线上时，?＜0； 分点坐标公式：若P1P=?PP2；（x1,y1）,（x,y）,（x2,y2）；P1,P,P2的坐标分别为

x1?λx2x1?x2??x?x?????1?λ2则：? 中点坐标公式：?

?y?y1?λy2?y?y1?y2??1?λ2??x1x2?y1y2a·b两向量的夹角公式：cosθ==

2222|a|·|b|x1?y1?x2?y20≤θ≤180°,a=(x1,y1),b=(x2,y2)

⑥图形变换公式 平移公式：若点P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y′)，

则?⑦有关结论

?x'?x?h,

y'?y?k.?1(OA+OB); 2一般地，若P是分线段AB成定比λ的分点（即AP=λPB，λ≠-1）则1?OA+OP=OB，此即线段定比分点的向量式 1??1?? (ii)有限个向量，a1,a2,?,an,相加，可以从点O出发，逐一作向量OA1=a1,

(i)平面内有任意三个点O，A，B。若M是线段AB的中点，则OM?A1A2=a2,?, An?1An=an,则向量OAn即这些向量的和，即

a1+a2+?+an=OA1+A1A2+?+An?1An=OAn（向量加法的多边形法则）。

当An和O重合时（即上述折线OA1A2?An成封闭折线时），则和向量为零向量。

注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。

考点14：直线、平面、简单几何体 一、判定两线平行的方法

1、平行于同一直线的两条直线互相平行

2、垂直于同一平面的两条直线互相平行

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法

1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点

2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面

5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行”。

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。

⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 四、面面平行的性质

1、两平行平面没有公共点

2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行

4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法

1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直

3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、 果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、 定义：成90?角

2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直

3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直

5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法

1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直

2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质

1、 二面角的平面角为90?

2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面

3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面

九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：0????90? ?0?,90?? 2、直线与平面所成的角的取值范围是：0????90? ?0?,90?? 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：0????90? ?0?,90??

4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：0????180? ?0?,180?? 考点15：排列组合、二项式定理

1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？

⑴分类计数原理（加法原理）N?m1?m2???mn.

⑵分步计数原理（乘法原理）N?m1?m2???mn. 加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

n！；

(n?m)！nmm?1mm?(n?m?1)An 排列恒等式 （1）An;（2）An?An?1;

n?mmm?1nn?1nmmm?1（3）An?nAn?1; （4）nAn?An?1?An;（5）An?1?An?mAn

n！mn(n?1)?(n?m?1)3、 组合数公式是：Cn==； m！?(n?m)！1?2???mmn?mmm?1m 组合数性质：Cn=Cn Cn+Cn=Cn?1

n?m?1m?1nnm?1mmmm组合恒等式（1）Cn;（3）?Cn;（2）Cn?CnC?Cn?1; ?1nmn?mm2、排列数公式是：Pn=n(n?1)?(n?m?1)=

m（4）

?Cr?0nrnrr?1=2;（5）Crr?Crr?1?Crr?2???Cn?Cn?1

nmm?m！?Cn4、排列数与组合数的关系是：An .

5、排列组合应用问题的处理方法：

(1)要分清是先分步还是先分类， (2) 混合应用题要注意先组合再排列.

(3)解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．

(4)解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法； 定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；选取问题先选后排法；至多至少问题间接法．要区别平均分组与不平均分组的处理方法.特别地还有隔板法（什么时候用？）.

6、二项式定理

0n1n?12n?22rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ; （1）掌握二项展开式的通项：Tr?1?Cnarn?rbr(r?0,1,2,...,n);

（2）注意第r＋1项二项式系数与第r＋1系数的区别； （3）与首末两端等距离的二项式系数相等； （4）若n为偶数，中间一项（第两项（第

n＋1项）的二项式系数最大；若n为奇数，中间2n?1n?1和＋1项）的二项式系数最大； 22012nn0213n?1 （5）Cn?Cn?Cn?????Cn?2;Cn?Cn?????Cn?Cn?????2;

1n

（6）F(x)=(ax+b)展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为[f(1)?f(?1)]；

2

偶数项的系数和为[f(1)?f(?1)]；

考点16：导数

一、瞬时速度

在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 二、导数的定义

1.导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作

y?x?x012?f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)；

?x 由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行： (1)求函数的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；

?yf(x0??x)?f(x0)?； ?x?x?y (3)取极限，得导数f'(x0)?lim。

?x?0?x (2)求平均变化率

2.导数的几何意义：曲线y＝f（x） 在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是f?(x0).相应地，切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0);

3.常见函数的导数公式：C??0(C为常数);(x)??mx(m?Q); 4.导数的应用：

（1）利用导数判断函数的单调性：已知y?f(x) ①分析 y?f(x)的定义域； ②求导数 y??f?(x) ③解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间 ④解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为减区间 ⑤如果在某个区间内恒有f?(x)?0,那么f(x)为常数；

（2）求可导函数极值的步骤：①求导数f?(x)；②求方程f?(x)?0的根；③检验

mm-1f?(x)在方程f?(x)?0根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处

取得极大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值；

（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在[a,b]内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。 考点17：算法

1、算法概念： 在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 2、程序框图

考点18：曲线与方程 1．定义

在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解(一点不杂)；

(2)以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏)．

这时称方程f(x，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)． 设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若设点M的坐标为(x0，y0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：

(1)M∈P?(x0，y0)∈Q，即P?Q；(2)(x0，y0)∈Q?M∈P，即Q?P．

以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：

(1)(x0，y0)?Q?M?P；(2)M?P?(x0，y0)?Q．

显然，当且仅当P?Q且Q?P，即P=Q时，才能称方程f(x，y)=0

为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)． 2．曲线方程的两个基本问题

(1)由曲线(图形)求方程的步骤：

①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； ②立式：写出适合条件p的点M的集合p={M|p(M)}； ③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)=0； ④化简：化方程f(x，y)=0为最简形式；

⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．求轨迹的常用方法：

①直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法； ②待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可； ③代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程； ④定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；

⑤参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时， 可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。 (2)由方程画曲线(图形)的步骤：

①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；

?f(x，y)?0方程组?的解是曲线与x轴交点的坐标；y?0?②求截距：

?f(x，y)?0方程组?的解是曲线与y轴交点的坐标；x?0?

③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．

3．交点

求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组． 4．曲线系方程

过两曲线f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交点的曲线系方程是f1(x，y)＋λf2(x，y)=0(λ∈R)．

考点19：概率与统计

１．必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0

两条基本性质①pi?0(i?1,2,?)； ②P1+P2+?=1。 2.等可能事件的概率：（古典概率）P(A)=

m 理解这里m、ｎ的意义。 n 互斥事件（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，这时P(A?B)=０） P(A+B)=P（A）+ P(B)

对立事件（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。这时P(A?B)=０）P（A）+ P(B)＝１

独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A?B)＝P(A) ? P(B)

独立重复事件（贝努里概型）

(K)kkk

Pn=Cnp(1－p) 表示事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率。 ．．．．．k．．

P为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。

特殊：令k=0 得：在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为 ．．．．．．．．Pn=Cnp(1－p) =(1－p)

令k=n得：在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为 ．．．．．．．．

Pn=Cnp(1－p) =p

3.求事件的概率首先要正确判断属于那一种事件的概率。 4.要学会正确使用排列组合知识解决概率问题。

5.概率解答过程的书写一定要以文字为主，分步进行，尽量得分。

6.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图； （1）平均数（又称期望值） 设数据x1,x2,x3,?，xn，则 ①x?(n)

nn

0

n

(０)

00

n

n

1(x1?x2???xn) n'''②设x1?x1?a， x2?x2?a，???xn?xn?a,则x'?x?a

③x?1[f1x1?f2x2???fixi],f1?f2???fi?n n（2）方差：衡量数据波动大小

221?x1?x????xn?x? （xi?x较小）

???n?21222 ?[x1?x2??xn?nx] （数据较小）

n1'' ?[(x1?x')2????(xn?x')2]

nS2?????21'2nn'2'2' ?[x1?x2???xn?nx] ?1?(xi?x)2?1?(xi2?nx2) （数据较大）

nni?1ni?1S2--------标准差

学会用修正的样本方差S*?21[(x1?x)2?(x2?x)2?????(xn?x)2] n?17.了解三种抽样的意义，理解样本频率分布的意义。

（1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。

（2）系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。

系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段；（3）确定起始的个体编号；（4）抽取样本。

（3）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。

考点20：选做题（几何证明/坐标系与参数方程选做题） 坐标系与参数方程

一、常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 圆心为(r,0),半径为r的圆 ??r(0???2?) ??2rcos?(??2????2) 圆心为(r,?2),半 ?2rsin?(0????) (1)径为r的圆 过极点,倾斜角为?的直线 ???(??R)或?????(??R) (2)???(??0)和?????(??0) 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ?cos??a(??2????2) 过点(a,?2),与极?sin??a(0????) 轴平行的直线

二、参数方程

2.参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x?f(t),把它代入普通方程,求

出另一个变数与参数的关系y?g(t),那么??x?f(t)就是曲线的参数方程,在参数方程与

y?g(t)?普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.

3．圆的参数

如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设M(x,y)，则??x?rcos?(?为参数)。

y?rsin??这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中?的几何意义是OM0转过的角度。

圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x?a)?(y?b)?r，

222它的参数方程为：??x?a?rcos?(?为参数)。

y?b?rsin??4．椭圆的参数方程

x2y2以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0),其参

ab?x?acos?(?为参数)，其中参数?称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方数方程为?y?bsin???x?bcos?y2x2(?为参数),其中参数?仍为离心程是2?2?1(a?b?0),其参数方程为?ab?y?asin?角，通常规定参数?的范围为?∈[0，2?）。

5．双曲线的参数方程

x2y2以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为2?2?1(a?0,b?0),ab其参数方程为??x?asec??3?(?为参数)，其中??[0,2?)且??,??.

22?y?btan?y2x2焦点在y轴上的双曲线的标准方程是2?2?1(a?0,b?0),其参数方程为

ab?x?bcot?(?为参数，其中??(0,2?)e且???. ??y?acsc?以上参数?都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程

以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y?2px(p?0)的参数方程为

2?x?2pt2(t为参数). ?y?2pt?7．直线的参数方程

经过点M0(x0,y0)，倾斜角为?(???2)的直线l的普通方程是y?y0?tan?(x?x0),?x?x0?tcos?而过M0(x0,y0)，倾斜角为?的直线l的参数方程为?(t为参数)。

y?y?tsin?0?

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