江西师大附中2022届高三第三次模拟考试数学(理)试卷(含答案)

·1·

江西师大附中2016届高三第三次模拟考试

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

1.

已知集合{|A x y =，{|1210}B x x =-≤-≤，则()R C A B =I ( )

A.]2

1,0[

B.),4(+∞

C.]4,2

1(

D.]4,1(

2.已知z 是纯虚数，且3(2)1i z ai +=+（i 是虚数单位，a R ∈），则||a z +=( )

A.1

C.2

3.执行如图所示的程序框图，其输出结果是( ) A.61 B.62 C.63

D.64

4.给出下列三个命题：

①“若2230x x +-≠，则1x ≠”为假命题； ②若p ∧q 为假命题,则p ,q 均为假命题；

③命题p ：,20x x R ?∈>，则00:,20x p x R ??∈≤.其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a =+,72a =，则5a =( )

A.

12

B.12

-

C.2

D.2-

6.设,a b R ∈，若:p a b <，11

:0q b a

<<，则p 是q 的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.若()sin()cos()f x x x ω?ω?=+++(0)ω>的最小正周期为π

，(0)f ( )

A. ()f x 在(,)44

ππ

-单调递增

B. ()f x 在(,)44

ππ-单调递减

C.()f x 在(0,)2π

单调递增 D. ()f x 在(0,)2

π

单调递减

8.若x 、y 满足约束条件221

21x y x y x y +≥??

≥??-≤?

且向量(3,2)a = ，(,)b x y = ，则a b ? 的取值范围是( )

A.[54 , 4]

B.[72 ,5]

C.[54 ,5]

D.[7

2

,4]

9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据

是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c （*,,,a b c d N ∈），则b d

a c

++是x 的更为精确的

不足近似值或过剩近似值，我们知道 3.14159π=???，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得

16

5

·2· 是π的更为精确的过剩近似值，即

3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为( )

A.227

B.7825

C.6320

D.10935

10.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于

( )cm 3.

A.6+32π

B. 623π+

C. 4+32π

D.4+23π 11.已知焦点在x 轴上的椭圆方程为22

2141

x y a a +=+，随着a 的增大该椭圆的形状( ) A.越接近于圆 B.越扁 C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆

12.已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2

x f f x e x f x -=?+-?，0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是( )

A.(2)(2015)(2017)f g g ?<

B.(2)(2015)(2017)f g g ?>

C.(2015)(2)(2017)g f g

D.(2015)(2)(2017)g f g >?

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.

已知向量(1a = ,(3,)b y = ，若向量,a b 的夹角为6

π，则b 在a 方向上的投影是______. 14.已知定义在R 上的函数()f x 满足(6)()0f x f x ++=，函数(1)y f x =-关于点(1,0)对称，则(2016)f =_________.

15.已知20

(sin cos )a x x dx π

=+?，在64(1)(1)ax y ++的展开式中，2xy 项的系数为__________. 16.对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:3331373152,39,4, (5171119)

???????????????仿此，若3m

的“分裂”数中有一个是73，则m 的值为_____________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23

C π=

,

且22()(2a b c bc --=. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1cos21a B ?=，且248,,a a a 成等比数列，求14n n a a +??????

的前n

项和n S .

·3·

18.（本小题满分12分）

如图，已知长方形ABCD

中，AB =

AD =M 为DC 的中点．将ADM ?沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．

（Ⅰ）求证：AD BM ⊥；

（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --

．

19.（本小题满分12分）

为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．

（Ⅰ）（i

）请根据图示，将2×2列联表补充完整；

（ii ”？

（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X 的期望和方差.

附：)

)()()(()(2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．

20．（本小题满分12分）

·4· 已知椭圆22

2:1(0)3

x y M a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为,A B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于,C D 两点.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）记ABD ?与ABC ?的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.

21.（本小题满分12分）

已知函数2()(sin 2)x f x e x ax a e =-+-，其中a R ∈, 2.72828e =???为自然对数的底数.

（Ⅰ）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当112

a ≤≤时，对任意的[0,)x ∈+∞，比较()f x 与0的大小.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，ABC ?内接于圆O ，D 是 BAC 的中点，∠BAC 的平分线分别交

BC 和圆O 于点E ,F ． （Ⅰ）求证：BF 是ABE ?外接圆的切线；

（Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+??=?

（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．

（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；

（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y

?'=???'=?后得到曲线3C ，射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >．

（Ⅰ）求m 的值；

（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t

-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值． 江西师大附中高三年级三模数学（理）试卷

命（审）题人：廖涂凡、张延良

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合

F

·5· 题目要求的一项．

1.

已知集合{|A x y =，{|1210}B x x =-≤-≤，则()R C A B =I 【A 】

A.]21

,0[ B.),4(+∞ C.]4,21

( D.]4,1(

2.已知z 是纯虚数，且3(2)1i z ai +=+（i 是虚数单位，a R ∈），则||a z +=【D 】

A.1

C.2

3.执行如图所示的程序框图，其输出结果是( ) 【C 】

A.61

B.62

C.63

D.64

4.给出下列三个命题：

①“若2230x x +-≠，则1x ≠”为假命题；

②若p ∧q 为假命题,则p ,q 均为假命题； ③命题p ：,20x x R ?∈>，则00:,20x p x R ??∈≤.其中正确的个数是【B 】

A.0

B.1

C.2

D.3

【解析】（1）∵命题“若1=x ，则0322=-+x x ”是真命题，所以其逆否命

题亦为真命题，因此（1）不正确；（2）错误;（3）根据含量词的命题否定方

式，可知命题(3)正确.

5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a =+,72a =，则5a =【A 】

A.12

B.1

2- C.2 D.2-

【解析】3211235S a a a a a =+=++，所以314a a =，即24q =，所以7522142

a a q ===. 6.设,a

b R ∈，若:p a b <，11:0q b a

<<，则p 是q 的【B 】 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.若()sin()cos()f x x x ω?ω?=+++(0)ω>的最小正周期为π

，(0)f 【D 】

A. ()f x 在(,)44ππ-单调递增

B. ()f x 在(,)44ππ-单调递减

C.()f x 在(0,)2π单调递增

D. ()f x 在(0,)2

π单调递减 【解析】

8.若x 、y 满足约束条件22121x y x y x y +≥??≥??-≤?

且向量(3,2)a = ，(,)b x y = ，则a b ? 的取值范围是【C 】

A.[54 , 4]

B.[72 ,5]

C.[54 ,5]

D.[72

,4] 【解析】三角形可行域的顶点是11(,)44

A ,(1,1)

B ,1(,0)2

C ,a b ? =32x y +的最值必在顶点处取得，所以当14x y ==时，最小值为54

；当1x y ==时，最大值为5，选C. 9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”

是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据

·6· 是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为

b a 和d

c （*,,,a b c

d N ∈），则b d a c

++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道 3.14159π=???，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165

是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为【C 】

A.227

B.7825

C.6320

D.10935

【解析】：由调日法运算方法可知，第二次用调日法后得

4715

是π更为精确的不足近似值，即4716155π<<，故第三次调日法后得到6320为π的近似分数,选C.

10.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于【A 】cm 3.

A.6+32

π B. 623π+ C. 4+32π D.4+23π 【解析】

11.已知焦点在x 轴上的椭圆方程为22

2141

x y a a +=+，随着a 的增大该椭圆的形状【D 】 A.越接近于圆 B.越扁 C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆

【解析】24122a a a >+?<22

41111()44a a e a a a --==-+，由1a a

+

在(2上的单调性知2e 先递增后递减，从而椭圆先越扁后接近于圆.选D.

12.已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2

x f f x e x f x -=?+-?，0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是【D 】

A.(2)(2015)(2017)f g g ?<

B.(2)(2015)(2017)f g g ?>

C.(2015)(2)(2017)g f g

D.(2015)(2)(2017)g f g >? 【解析】2224(0)1,'(1)2()2(2)x f f e f x e x x f e ==?=+-?=，

222'()2()0[()]x x x e g x e g x e g x +?，选D.

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.

已知向量(1a = ,(3,)b y = ，若向量,a b 的夹角为6

π，则b 在a 方向上的投影是______. 【解析】y

||cos 6

b π =3. 14.已知定义在R 上的函数()f x 满足(6)()0f x f x ++=，函数(1)y f x =-关于点(1,0)

对称，则

·7· (2016)f =_________.

【解析】函数的周期为12，把函数()y f x =的图象向右平移1个单位，得(1)y f x =-，因此()y f x =的图象关于(0,0)对称，为奇函数，()()201616812(0)0f f f ∴=?==.

15.已知20

(sin cos )a x x dx π

=+?，在64(1)(1)ax y ++的展开式中，2xy 项的系数为__________. 【解析】根据题意，可以求得20(cos sin )|2a x x π

=-+=，64(12)(1)x y ++的展开式中，2xy 的系数

为1264272C C ??=,故选B.

16.对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:3331373152,39,4, (5171119)

???????????????仿此，若3m

的“分裂”数中有一个是73，则m 的值为_____________.

【解析】依题意，m 增加1，累加的奇数增加1，从32到3m ，用从3开始的连续奇数共有

(2)(1)2342

m m m +-+++???+=，73是从3开始的36个奇数，当8m =时，从3开始连续的奇数共1072?=35，当9m =时，从3开始的连续奇数共1182

?=44，故9m =. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23

C π=

,

且22()(2a b c bc --=. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1cos21a B ?=，且248,,a a a 成等比数列，求14n n a a +??????

的前n 项和n S .

【解析】（Ⅰ

）由22()(2a b c bc --=

得222a b c --=，

所以222cos 2b c a A bc +-==，………………………………3分 6A π∴=,由23C π=,得6

B π=………………………………6分 （Ⅱ）设{}n a 的公差为d ，由(I)得112cos 3

a π==，且2428a a a =, 2111(3)()(7)a d a d a d ∴+=++，又0d ≠,2d ∴=,2n a n ∴=…………9分

14n n a a +∴111n n =-+11111122311

n n S n n n ∴=-+-+???+-=++……………………12分 18.（本小题满分12分）

如图，已知长方形ABCD

中，AB =

AD =M 为DC 的中点．将ADM ?沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．

（Ⅰ）求证：AD BM ⊥；

·8·

【解析】（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为DC 的中点，

∴AM=BM=2，∴BM ⊥AM.

∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM∩平面ABCM=AM ，BM ?平面ABCM

∴BM ⊥平面ADM ∵AD ?平面ADM ∴AD ⊥BM ； （Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，设DE DB λ= ， 则平面AMD 的一个法向量(0,1,0)n = ，(1,2,1),ME MD DB λλλλ=+=-- (2,0,0)AM =- ， 设平面AME 的一个法向量为(,,),m x y z =

202(1)0

x y z λλ=??+-=? 取y =1，得20,1,,1x y z λλ===-

所

以2(0,1,)1m λλ=- ， 因为cos ,||||m n m n m n ?<>==? ，求得12λ=，所以E 为BD 的中点． 19.（本小题满分12分）

为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．

（Ⅰ）（i ）请根据图示，将

2×2列联表补充完整；

（ii ”？

（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X 的期望和方差.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pm8l.html