北京中考压轴25新定义题型练习含答案 - 图文

北京中考压轴新题型练习

2. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，定义“外延矩形”：

若矩形的任何一条边均与某条坐标轴垂直，且点A，B，C在该矩形的内部或边界上.则该矩形称为A，B，C的“外延矩形”．

我们把点A，B，C的所有的“外延矩形”中，面积最小的称为点A，B，C的“最佳外延矩形”． （Ⅰ）已知点A(?2,0)，B(4,3)，C(0,t)．

①若t?2，则点A，B，C的“最佳外延矩形”的面积为_______；

②若点A，B，C的“最佳外延矩形”的面积为24，请直接写出t的值．

（Ⅱ）已知M(0,8)，N(6,0)，点P(x,y)是抛物线y?x2?4x?3上一点，求点M，N，P的“最佳外延矩形”面积的最小值，以及此时点P的横坐标x的取值范围． （Ⅲ）已知D(1,1)，点E?m,n?是函数y?

4

的图象上一点，求点O，D，E的“最佳外延矩x

形”面积的最小值，以及此时点E的横坐标m的取值范围．

1

3.研究发现，二次函数y=ax2（a≠0）图象上任何一点到定点（0，距离相等．我们把定点（0，的准线． （1）写出函数

图象的焦点坐标和准线方程；

）叫做抛物线y=ax2的焦点，定直线

）和到定直线的

叫做抛物线y=ax2

（2）等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数形的边长； （3）M为抛物线MP+MF的最小值．

上的一个动点，F为抛物线

图象上，O为坐标原点，求等边三角

的焦点，P（1，3）为定点，求

4． 对于平面直角坐标系 xOy中的点P（a，b），若点P?的坐标为（a?，ka?b）（其中k为常数，且k?0），则称点P?为点P的“k属派生点”．

4?例如：P（1，4）的“2属派生点”为P（1+，2?1?4），即P?（3，6）．

2（1）①点P（-1，-2）的“2属派生点”P?的坐标为____________； ②若点P的“k属派生点” P?的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标____________；

（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P?点，且△OPP?为等腰直角三角形，则k的值为____________；

（3）如图, 点Q的坐标为（0，43），点A在函数y??43（x?0）的图象上，且点A是xbk点B的“?3属派生点”，当线段B Q最短时，求B点坐标．

2

5．设p，q都是实数，且p?q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为?p，q?．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当． p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间?p，q?上的“闭函数”（1）反比例函数y?2014是闭区间?1，2014?上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； x（2）若一次函数y?kx?b?k?0?是闭区间?m，n?上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若实数c，d满足c?d，且d?2，当二次函数y?12x?2x是闭区间?c，d?上的“闭函2数”时，求c，d的值．

6. 已知：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：线段AB及点P，任取AB上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离，记作d（P→AB）． （1）如图1，已知C点的坐标为（1，0），D点的坐标为（3，0），求点P（2，1）到线段CD的距离d（P→CD）为 ；

（2）已知：线段EF：y=x（0≤x≤3），点G到线段EF的距离d（P→EF）为2，且点G的横坐标为1，在图2中画出图，试求点G的纵坐标．

yy

22

11 CD 12O3x12O

图1 图2

3x3

7. 定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”． 例如:y?y?11?1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y?的图象，则x?2x1?1是y与x的“反比例平移函数”． x?2（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x(cm)、y(cm)后，得到的新矩形的面积为8cm2，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”． （2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(9，

ax?k0)、(0，3) ．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y?的

x?6图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为 ；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式 ．

（3）在（2）的条件下， 已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点(P在Q的右侧)，若B、E、P、Q为顶

点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．

C E

O

8．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”

（1）已知：如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC?23,AB?27. yBDAx求证：△ABC是“匀称三角形”；

图1

（2）在平面直角坐标系xoy中，如果三角形的一边在x轴上，且这边的中线恰好等于这边的长，我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”.如图2，现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记为G, 每个小正方形的顶点称为格点，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D两点与O不重合）是x轴上的格点，且点C在点A的左侧. 在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有几个？其中是否存在横坐标为整数的点P，如果存在请求出这个点P的坐标，如果不存在请说明理由.

4

9．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M?0，对于任意的函数值y，都满足?M?y?M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．

（1）分别判断函数y?界值；

（2）若函数y??x?1?a?x?b，b?a?的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；

（3）将函数y?x2??1?x?m，m?0?的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当

m在什么范围时，满足

1?x?0?和y?x?1??4?x?2?是不是有界函数？若是有界函数，求其边x3?t?1？ 4

10．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。

11已知点D（，），E（0，-2），F（23，0）

22（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。

5

11．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P“非1(x1，y1)与P2(x2，y2)的常距离”，给出如下定义：

若|x1?x2|≥|y1?y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1?x2|； 若|x1?x2|?|y1?y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1?y2|. 例如：点P2)，点P2(3，5)，因为|1?3|?|2?5|，所以点P1与点P2的1(1，“非常距离”为|2?5|?3，也就是图1中线段PQ与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y1轴的直线PQ与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。 1 （1）已知点A(?，0)，B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； （2）已知C是直线y?x?3上的一个动点，

①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”

的最小值及相应的点E和点C的坐标。

3412

6

12.对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧. （1）当r=42时，

①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（42，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是_____________；

②若点P在直线y??x?2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为________； （2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方. ①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P 在y轴上截得的弦长；

②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是_____________________________________．

yHBECODAFxG

图1 图2

7

13.在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作lPBM. （1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0,2），

①直线l1：y?2，直线l2：y?x?2，直线l3：y?3x?2，直线l4：y??2x?2都经过点P，在直线l1， l2， l3， l4中，是⊙O的“x关联直线”的是 ；

②若直线lPBM是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标xM的最大值是 ； （2）点A（2,0）,⊙A的半径为1，

①若P（-1,2）,⊙A的“x关联直线”lPBM：y?kx?k?2，点M的横坐标为xM，当xM最大时，求k的值；

②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标yp?2，⊙A的两条“x关联直线”lPCM,lPDN是⊙A的两条切线，切点分别为C,D，作直线CD与x轴点于点E，当点P的位置发生变化时， AE的长度是否发生改变？并说明理由.

14.定义：对于数轴上的任意两点A，B分别表示数x1,x2，用x1?x2表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)我们把x1?x2?y1?y2叫做A，B两点之间的直角距离,记作d（A，B）．

（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（－1，3），则d(O,P)＝_____________; （2）已知C是直线上y＝x＋2的一个动点， ①若D（1，0），求点C与点D的直角距离的最小值；

②若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C与点E的直角距离的最小值．

8

15. 如果一条抛物线y=ax2+bx+c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，若以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公共点，求出r的取值范围．

16．点P在图形M上, 点Q在图形N上,记dmax(M,N)为线段PQ长度的最大值，

dmin(M,N)为线段PQ长度的最小值，图形M,N的平均距离

dmax(M,N)?dmin(M,N)． Ed(M,N)=

213A(,)，（1）在平面直角坐标系xOy中，⊙O是以O为圆心，2的半径的圆，且

22B(2,23)，求Ed(A,⊙O)及Ed(B,⊙O)；(直接写出答案即可)

（2）半径为1的⊙C的圆心C与坐标原点O重合，直线y??与y轴交于点F，记线段DF为图形G，求Ed(G,⊙C)；

（3）在（2）的条件下，如果⊙C的圆心C从原点沿x轴向右移动，⊙C的半径不变，且Ed(G,⊙C)=

9

343与x轴交于点D，x?335，求圆心C的横坐标． 2

17. 在平面直角坐标系xOy中，设点P?x1,y1?，Q?x2,y2?是图形W上的任意两点．

定义图形W的测度面积：若的测度面积．

例如，若图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，x1?x2的最大值为m，y1?y2的最大值为n，则S?mn 为图形W

x1?x2 取得最

y1?y2取得最大值，且最大

值n=2．则图形W的测度面积S?mn?4． 1 yP y y B yB POQ xO1OOx

AxCx 图1Q

图2图3A图4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.

①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ； ②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ；

（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值为 ； （3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．

10

11 BD＝ , 221∴AM＝AN=

2∴点A为MN的中点.

∵△PAC与△PBD是“水平匀称三角形” ∴PM＝AC＝1，PN＝BD＝1 ∴PM＝PN=1

∴PA⊥MN，即PA与x轴垂直 ………………………………………6分 ∵A（3，0）

∴P点横坐标为整数3.

1在Rt△PMA中，PM＝1，AM＝

2AN＝

∴PA＝1?13 [来源:学科网] ?42∴P（3，3 ） 2所以，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合时，△PAC与△PBD是水平匀称三角形且P点横坐标为整数. ……………………………………………………………………8分

解法2. 在长方形区域内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P中，存在横坐标为整数的点P.

如图，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合，P点横坐标为3时 ∵A（3，0），P点横坐标为3 ∴PA与x轴垂直 ∵A（3，0），C（2，0）， B（4，0），D（3，0） ∴AC＝1，BD＝1 y设AC中点为M，BD中点为N.

1111∴AM＝AC＝，AN＝ BD＝

2222∴AM＝AN P要使△PAC与△PBD是水平匀称三角形 只需PM＝AC＝1，PN＝BD＝1

xOCMA(D)NB∵PA与x轴垂直

1在Rt△PMA中，PM＝1，AM＝

2∴PA＝1?13 ?42∴P（3，3） 2所以，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合，△PAC与△PBD是水平匀称三

16

角形且P点横坐标为整数.

17

10.解：（1）①在D，E，F中，⊙O的关联点是D，E．??????????????2分 ②当OP=2时，

过点P向⊙O作两条切线PA，PB（A，B为切点），则∠APB=60° ∴ 点P为⊙O的关联点

事实上，当0≤OP≤2时，点P是⊙O的关联点；当OP>2时，点P 不是⊙O的关联点

∵ F，且∠GFO=30°， （23,0） ∴∠OGF=60°，OF=23，OG=2

如图，以O为圆心，OG为半径作圆，设该圆 与l的另一个交点为M

当点P在线段GM上时，OP≤2，点P是⊙O 的关联点；

当点P在线段GM的延长线或反向延长线上时，OP>2，点P不是⊙O的 关联点

连结OM，可知△GOM为等边三角形???????????????3分 过点M作MN⊥x轴与点N，可得∠MON=30°，ON=3 ∴ 0≤m≤3?????????????????????????5分 （2）设该圆的圆心为C．

根据②可得，若点P是⊙C的关联点，则0≤PC≤2r． 由题意，点E，F都是⊙C的关联点，

∴ EC≤2r，FC≤2r．???????????????????????6分 ∴ EC+FC≤4r．

又∵ EC+FC≥EF（当点C在线段EF上时，等号成立），

∴ 4r≥EF．???????????????????????????7分 ∵ E（0，-2），F， （23,0） ∴ EF=4． ∴ r≥1．

事实上，当点C是EF中点时，对所有r≥1的⊙C，线段EF上的所有点 都是⊙C的关联点．

综上所述，r≥1．?????????????????????????8分

11.解：（1）①点B的坐标是（0，2）或（0，-2）；（写出一个答案即可） ②点A与点B的“非常距离”的最小值是 .

（2）①过点C作x轴的垂线，过点D作y的垂线，两条垂线交于点M，连结CD.

如图1，当点C在点D的左上方且使?CMD是等腰直角三角形时，点C与点D的“非常距离”最小. 理由如下：

12 18

3 记此时 C所在位置的坐标为(x0， x0?3).

4y3y=x+34CMD1x 当点C的横坐标大于x0时，线段CM的长度变大， 由于点C与点D的“非常距离”是线

段CM与线段MD长度的较大值，所以点C与点D 的“非常距离”变大；当点C的横坐标 小于x0时，线段MD的长度变大，点C与点D的 “非常距离”变大. 所以当点C的横坐标 等于x0时，点C与点D的“非常距离”最小.

CM?3x0?3?1，MD??x0，CM?MD，4图145°O3?x0?3?1??x0.4

解得x0??.

815?点C的坐标是(?， ).

778?CM?MD?.

787815?当点C的坐标是(?， )时，点C与点D

77的“非常距离”最小，最小值是.

②如图2，对于⊙O上的每一个给定的点E，过点E作y

轴的垂线，过点C作x轴的垂线，

两条垂线交于点N，连结CE. 由①可知，当点C运动到点E的左上方且使?CNE是等腰 直角三角形时，点C与点E的“非常距离”最小. 当点E在⊙上运动时，求这些最小“非 常距离”中的最小值，只需使CE的长度最小. 因此，将直线y?x?3沿图中所示由点C 到点E的方向平移到第一次与⊙O有公共点，即与⊙O在第二象限内相切的位置时，切点即为所求点E.

作EP?x轴于点P. 设直线y?x?3与x轴，y轴分别交于点H，G. 可求得HO?4，GO?3，GH?5. 可证?OEP?GHO.

OPEPOE??.GOHOGHOPEP1 ???.34534?OP?，EP?.55?CNH45°EyG3y=x+34873434PO1x 图219

34?点E的坐标是(?， ).

55设点C的坐标为(xC， xC?3).

343xC?3?，NE???xC，455

343?xC?3????xC.455CN?34解得xC??.

89?点C的坐标是(?， ).

55?CN?NE?1.

858934?当点C的坐标是(?， )，点E的坐标是(?， )时，点C与点E的“非常距离”最小，

5555最小值是1.

12解：

（1）①P2，P3； ……………………………………………………………………2分 ②P（-4，6）或P（4，-2）. …………………………………………………4分 （2）①解:

∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，

∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I. ∴点P在线段EI的中垂线上. ∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE在y轴上， ∴E（0，2），I（3，5） ∴∠I EH=45°，

设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M， ∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴， ∴L（0，5），

∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM ∴M（5，0），

∴P在直线y=-x+5上， ∴设P（p，-p+5）

过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE， ∵⊙P与BC所在直线相切， ∴PE=PQ， ∴

p2???p?5?2???p?2?22，

解得：p1?5?25，p2?5?25，

1(5?25,?25),P2(5?25,25)． .……………………………………5分 ∴．P 20

∵⊙P过点E，且E点在y轴上， ∴⊙P在y轴上截得的弦长为

2?25?2?45?4或225?2=45?4．…6分

②0?r?2或r?217?22．…………………………………………………8分

13.解：（1）①l3,l4； 2分

②x23M?3； 3分 （2）①如图，当直线PB与⊙A相切于点B时,此时点M的横坐标xM最大， 作PH⊥x轴于点H， ∴HM=xM?1，AM= xM?2， 在Rt△ABM和Rt△PHM中，

tan?AMB?AB，

BM?PHHM∴BM=1HM=1(xM?1)．

22在Rt△ABM中， AM2?AB2?BM2，

∴(x1M?2)2?1?4(xM?1)2．

解得xM?3?433． ∴点M的横坐标x43M最大时，xM?3?3． ∴k?3?34． 6分 ②当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变． 如图，⊙A的两条“x关联直线”与⊙A相切于点C,D， ∴PC=PD． 又∵AC=AD

∴AP垂直平分BC．

在Rt△ADF和Rt△ADP中，

sin?ADF?sin?APD，

∴AF?AP?AD2

在Rt△AEF和Rt△AOP中，

cos?EAF?AFAO， AE?AP 21

∴AF?AP?AE?AO ∴AD2?AE?AO ∴AE?1．

2即当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变． 8分

14．简解⑴4； ????2分 （2）①

②．????8分

15.解：（1）等腰 ..........................................1

（2）存在．

如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称， 则四边形ABCD为平行四边形．

当OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形 ..................................2分 又∵AO=AB，

∴△OAB为等边三角形． 作AE?OB，垂足为E． ∴AE=3OE．

b2∴4?3?b2(b﹥0) ∴b?23 ∴A?3，3?，B?23，0?．

∴C?-3，-3?，D?-23，0? ..........................................4分 设过点O、C、D三点的抛物线y=mx2+nx，则

???12m-23n=0， 解之，得??m=1，??3m-3n=-3.?? ?n=23.∴所求抛物线的表达式为y=x2+23x ..........................................5分 （3）①⊙E与AD相切时，r=332 ..........................................6分

分

22

②⊙E过点D时，r=3 ③⊙E过点A时，r=33 综上所述，r=33或3﹤r≤33 ..........................................7分 216解：（1）Ed(A,⊙O)=2，……………………………….…1分

Ed(B,⊙O)=4 ………………………………….…2分

（2）dmax(G,⊙C)=5，

dmi(nG,⊙C)=1，……………………………..…4分

（求对1个给一分，对于圆外一点到圆上的一点的距离的最大值与最小值要求有说理或画图解释，点到直线上一点的距离的最小值为该点到垂足的距离，要求有说理或画图解释。 两个答案均正确，但是没有理论依据或理论依据有较严重错误，得1分；只有一个答案正确，且没有没有理论依据或理论依据有较严重错误，得0分；）

Ed(G,⊙C)=3，…………………………………….5分

（3）设点C的横坐标为x(x?0)，

4时，线段与圆无公共点，圆心离点D远， 312

[(4?x)?1]?[(4?x)?1]?5 解得：x?

23

4当?x?2时，线段与圆无公共点，圆心离点F远， 3当0?x?[(434321（舍） )?x2?1]?[(4?x)?1]?5 解得：x?2?332当2?x?5时，线段与圆有公共点，

(46432（舍负） )?x2?1?5，x?33当x?5时，dmax(G,⊙C)>5，不符合题意舍去. 综上：点C的横坐标为

246或………………………….…8分 33（第一种和第三种情况各1分，第二种和第四种情况共1分）

23

17.解：（1）① 1；………………………………………………………………………………1分

② 1．…………………………………………………………………………………2分 （2） 2． …………………………………………………………………………………4分

（3）不妨设矩形ABCD的边AB=4，BC=3．由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上．

当顶点A，B或B，C都在x轴上时，如图5和图6，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S取得最小值，且最小值为12．

y y………………………………5分

AD

DC

OO当顶点A，C都不在x轴上时，如图7． xxBABC图5 图6 过A作直线AE⊥x轴于点E，过C作直线CF⊥x轴于

点F，

过D作直线GH∥x轴，与直线AE，CF分别交于点H和点 G，则可得四边形EFGH是矩形．

当点P，Q分别与点A，C重合时，x1?x2取得最大值m， 且最大值m?EF；

当点P，Q分别与点B，D重合时，y1?y2取得最大值n，且最大值n?GF． ∴图形W的测度面积S?EF?GF． ∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=90°． ∵∠AEB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°． ∴∠BAE=∠CBF．

又∵?AEB??BFC?90，

∴△ABE∽△BCF．…………………………………………………………………………6分 ∴

yHDGCAOE图7 BFxAEEBAB4???． BFFCBC3设AE?4a,EB?4b?a?0,b?0?，则BF?3a,FC?3b， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE?BE?AB．

2222∴16a?16b?16．即a?b?1．

222∵b?0，∴b?1?a 易证△ABE≌△CDG． ∴CG?AE?4a．

∴EF?EB?BF?4b?3a，GF?FC?CG?3b?4a．

2∴S?EF?GF??4b?3a??3b?4a??12a?12b?25ab?12?25a1?a 222 24

?12?25a?1?a22?1?1??12?25?a+a?12?25??a2??? 2?4?4222∴当a?14912，即a?时，测度面积S取得最大值12?25?．…………7分 ?2242∵a?0,b?0，∴a2?a4?0．∴S?12． ∴当顶点A，C都不在x轴上时，S的范围为12?S≤综上所述，测度面积S的取值范围是12≤S≤

18．解：（1）满足条件的其中一个点P的坐标是(5,0)；????????????? 1分

（说明：点P(x,y)的坐标满足x?y?5， 0≤x≤5，0≤y≤5均可）

图形G与坐标轴围成图形的面积等于

49． 249．………………………………………8分 225．?????????????2分 2（2）如图11，作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则MF =1，作MD∥x轴，交OB于点D，

作BK⊥x轴于点K．

由点B的坐标为B(3,4)，可求得直线OB对应的函数关系式为y?4x． 3∴ 点D的坐标为D(,1)，DM?4?∴ OB=5，sin?AOB?34313?． 44BK4?， OB54sin?MDE?sin?AOB?．

513413∴ ME?DM?sin?MDE???．

455??????????????? 3分

1318∴ d(M,?AOB)?ME?MF??1?．

55??????????????? 4分

（3）∵ 抛物线y??图11 12x?bx?c经过A(5,0)，B(3,4)两点， 212?0???5?5b?c,?b?2,???2∴ ?解得?5

1c?.??4???32?3b?c.2??2?

∴ 抛物线对应的函数关系式为y??125x?2x?．?????????5分 2225

如图12，作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N． 设点Q的坐标为Q(m,n)，其中3≤m≤5， 则QH?n??1m2?252m?2．

同（2）得 sin?QNG?sin?AOB?45． ∴ 点N的坐标为N(334n,n)，NQ?m?4n．

∴ QG?NQ?sin?QNG?435(m?4n)

?45m?35n． 图12 ∴ d(Q,?AOB)?QG?QH?45m?35n?n?425m?5n

?45m?25(?12m2?2m?52) ??15m2?85m?1

??1215(m?4)2?5．

∴ 当m?4（在3≤m≤5范围内）时，d?Q,?AOB?取得最大值（

215）． ?????????????????????? 6分

此时点Q的坐标为(4,52)．???????????????????7分

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如图12，作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N． 设点Q的坐标为Q(m,n)，其中3≤m≤5， 则QH?n??1m2?252m?2．

同（2）得 sin?QNG?sin?AOB?45． ∴ 点N的坐标为N(334n,n)，NQ?m?4n．

∴ QG?NQ?sin?QNG?435(m?4n)

?45m?35n． 图12 ∴ d(Q,?AOB)?QG?QH?45m?35n?n?425m?5n

?45m?25(?12m2?2m?52) ??15m2?85m?1

??1215(m?4)2?5．

∴ 当m?4（在3≤m≤5范围内）时，d?Q,?AOB?取得最大值（

215）． ?????????????????????? 6分

此时点Q的坐标为(4,52)．???????????????????7分

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