对开拓小学生探究性地学习数学的思考

对开拓小学生探究性地学习数学的思考

[摘要]：数学作为一门基础学科，旨在开拓人的理性思维。其基础地位不是在于数学在今天成为一门学科，而是在于数学思想，在于数学所探讨的问题的本质地位。数学思想是抽象的，但具有实在性，这种实在性不仅指数学开始于经验，更是指数学所揭示的逻辑规律的真理性。数学以符号的形式进行推演，也就是数学的实质是一种数学化了的演绎逻辑。演绎不仅是一种辩证的方法，更是一种探究性的思维方式。清晰自明的基本概念是演绎推理的前提，小学阶段是小学生学习数学的起始阶段，也就是小学生接触用简单的自明的基本概念锻炼思维逻辑推理的起始阶段。因此，对开拓小学生探究性地学习数学对每一个人进入逻辑思维起着基础的作用。

[关键词]：数学思想；演绎逻辑；小学数学；小学生；探究性

数学在其人类的历史发展中，从其根本没有数学知识到人们只能分辨一、二和许多的数字概念，到今天，数学也成为一门有组织的、独立的和理性的学科。数学的历史是一部演绎的历史，人类从借助于经验开始，通过把经验事实符号化。进行简单的运算和推理，把数学发展成为一门抽象的学科，这不是在说数学是一门不具有实在意义和价值的玄学，相反，是如同古希腊亚里士多德时代的理想，即科学应是数学，亚里士多德的目的就是要达到数学的确实性。因此，文章旨在从数学思想的本质性及其方法的探究性来论述对开拓小学生探究性地学习数学的思考。

一、对数学思想的概说

数学思想尽管在人类开始有初级的数学知识的时候是受经验世界的启发，但它的思想实质却是抽象的。这即是在说，数学知识不是来源于经验，而是理智的构造。“对于brouwer(布劳威尔)，数学的对象是从理智的构造得来的，其中基本的数目是1，2，3，……提供了这种构造的原型。”brouwer认为。数学思维与我们的经验世界无关。这不是在说数学思想是没有任何实在意义的想象，相反，数学是建立在严密的思维基础之上的，是一门理性的学科。正是因为如此，数学知识才具有确实性。因此，有人认为，数学是真正的科学。数学是理智的构造，也就是数学的知识具有先验性，也即客观性。因为，任何具有绝对必然性的知识都不是以后天的、经验的事实为原因或依据，而必须是本身就具有必然性。这种本身所固有的必然性就如Oliver Heaviside(亥维赛)所说，逻辑可以等待，因为它是永恒的。数学知识的先验性并非是从脱离于经验事实的角度来说具有客观性。而是说数学知识的客观性或必然性是先行于经验事实的。

数学思想是抽象的，数学思维与经验世界是无关的，不是在说数学是一种纯粹想象的构建并且仅仅是如此而已。数学不仅只能建立在实用的基础上，而且按照康德的说法，“纯粹数学，特别是纯粹几何学，只有在涉及感官对象的条件下才有其客观实在性。”任何由纯粹幻想而得来的产物都无法澄清其真理性，除了

幻想的事实以外。同时，数学的先验客观性也不是在唯心主义地指出，数学的知识统治着宇宙，是宇宙的第一因，而是在说数学知识和通过数学的严密的思维方式揭示出了宇宙的规律和和谐。数学知识和通过数学的思维方式所揭示的知识体现的是思维和存在的同一性。因此，数学思想的抽象性不但没有脱离我们的经验事实，而是它本身就与我们的经验事实具有内在一致性。但是数学思想的这种抽象性是可以被我们的思维和想象独立出来的，也就是数学的思维是犹如形式逻辑的推理，这也是数学思维所必须采取的。因为，任何经验的推理都不具有必然性和可靠性。按照康德的说法，数学知识是从概念的构造得出来的理性知识。因此，数学的思维方式本质上就是一种演绎逻辑。

“逻辑学是研究纯粹理念的科学，所谓纯粹理念就是思维的最抽象的要素所形成的理念。”演绎逻辑也就是关于论证的逻辑学，也就是以有效的前提推出正确的结论。这是一种先天综合的方法，也就是不以任何经验为依据。演绎逻辑的前提也就是笛卡儿所指的清晰自明的概念或命题，笛卡儿认为，凡是清晰明确被人认知的，都是真的。因此。演绎逻辑就是一种对清晰自明的概念进行构造的科学。比如这样一个论证：前提1、苏格拉底是人，前提2、所有人都是会死的，结论、所以，苏格拉底是会死的。数学也就是一种数理逻辑，通过把经验事实符号化或数字化，抽象成一般的概念，再进行理智的构造。在上面的论证中，我们可以把它转化为符号的论证。我们可以把结论分为两个部分：主词(A)和谓词(M)，“苏格拉底”是主词，“会死的”是谓词，其中“人”是一项中词。我们用(S)来代替，上面的论证形式就变成了：1、A是S，2、所有S都是M，3、所以，A是M。在数学中，无论是数字概念，还是符号概念，都是抽象的，这种抽象在人类开始拥有最初级的数学知识前，是从经验事实中抽译出来，比如：一、二……这些基本的数字概念。而后，抽象的概念是理智从概念构造出来的，如我们今天所熟知的上亿的数字概念。而这些概念是基本的和自明的，因为说数字“1”及其所指的数量时，这是最清晰的。

二、小学数学的基础地位

数学知识是从概念的构造得出来的知识。构造概念也就是从清晰自明的概念以及通过清晰自明的概念的构造所得来的正确的概念进行构造。由此，小学数学在数学思想的逻辑构造中的基础地位也就是必然的。根据演绎逻辑，数学知识要具有确实性，其前提必须是真的，也就是进行数学推理的前提本身是可说明清楚的，不能把假定为真的前提当作无需证明的前提。因此，数学知识从诞生起的那个前提必然要是不证自明的，否则，整个数学系统都是容易被摧毁的。小学数学也就在承担着这种熟知数学的基本概念并能进行简单的数学推理，包括数学运算和简单几何的解析。从人类发展史来看，小学数学也就在对从人类开始拥有基本的数学知识以来的数学推理的基本前提及其基本的推理方法进行系统的掌握。因此，小学一年级数学首先从数字“1”开始，随后，学习基本的运算：“1+1：2”。及类似的基本运算。到小学二年级，了解基本的平面概念并进行简单的解析，如了解长方形，并计算长方形的周长等。整个人类的数学知识在最开始的时候，人们只能分辨像一、二和许多这些最基本的数字概念，后来可以对其进行演算，并能对简单的物质世界进行数学似的解析。犹如在古巴比伦文化中发展程度最高的算术——阿卡得人的算术。因此，小学数学的基础地位从整个数学思想上来说，

就如罗素的逻辑原子主义所指：“原子命题是其他一切命题的基础和根据。”

在对数学思想的概说中。已经说明过，数学思想的抽象性并非独立于经验事实而存在，而是数学知识的诞生是开始于经验的，数学知识的真理性也必须达到思维与存在的同一性。从人类数学知识的发展史来看，数学的诞生事实也是如此。因此，小学数学的基础地位还在于从感性认知的角度来谈。任何企图从纯粹的玄思妙想中得出结论都不应具有肯定的价值，因为，知识的客观有效性就像几何学对空间必然有效外，而并不能一定就

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