最优投资组合模型

最优投资组合模型

陈家跃1 肖习雨2 杨珊珊3

1．韶关学院2004级数学与应用数学 广东韶关 512005 2．韶关学院2003级信息技术(1)班 广东韶关 512005 3．韶关学院2004级信息技术班 广东韶关 512005

摘 要

本文通过各种投资回报数据,对各种投资方案的回报效益进行分析,以平均回报期望为回报率,用回报方差来衡量风险,建立了在VaR(风险价值)约束下的经典马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型，并从几何角度具体地阐述了此模型的算法,最后根据此算法和借助数学软件LINGO、MATLAB计算出在VaR=1%,…,10%下的最优投资组合为方案一投资1421万美元,方案二投资2819.5万美元,方案三投资759.5万美元,得到的最大净收益为500.00万美元,结果令人满意.

关键词: 马柯维茨均值-方差模型;VaR约束;置信水平

1

1问题的提出

某基金会有科学基金5000万美元，现有三种不同的投资方式，分别为政府债券、石化产业股票、信息产业股票，为了保证其基金安全增殖，设计收益最大且安全的投资方案，要求(1)获得最大的投资回报期望(2)投资的风险限制在一定的范围。保证该投资方案资金保值概率不低于95%。（假设石化产业的投资回报率变化与信息产业的投资回报率变化彼此独立） 三种投资方式分别为： 投资方式一：

购买政府债券，收益为5.6％/年； 投资方式二：

投资石化产业股票

根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资石化产业股票的案例记录(如附录图表一)； 投资方式三：

投资信息产业股票

根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资信息产业股票的案例记录(如附录图表二)。

2 模型的假设

2．1 该基金投资持有期为一年； 2．2 投资政府债券的风险为零；

2．3 方案二和方案三中选取的八十只股票具有代表性，能反映总体股市情况； 2．4 不考虑交易过程中的手续费，即手续费为零； 2．5 总体投资金额设为单位1.

3 符号的约定

?P：表示证券组合在持有期?t内的损失；

Xi： 表示第i种方案的投资权重（投资比例）；

c： 表示置信水平，反映了投资主体对风险的厌恶程度；

?i2： 表示第i种方案的投资回报方差；

2

Ri： 表示第i种方案的投资回报期望； rij： 表示第i种方案里的第j只投票回报期望.

4问题的分析

此问题是一个投资组合的问题,投资项目包括政府债券和股票两种,政府债券收益率比较低但风险基本为零,而股票则收益率高但风险也相应高,最终目标是设计出一个投资组合方案使该基金会获得最大的回报期望和最少的投资风险. 经典的马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型正是解决这种投资组合问题的有效模型,他提出用收益期望来衡量回报率,用收益方差来衡量风险(方差越大,认为风险越大;方差越小,认为风险越小).而后来有不少学者对此模型进行深入研究,并提出了引入VaR约束和置信水平下的马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型,这种改进的模型不但继承了马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型的精髓,而且更实用、准确。VaR即风险价值(Value at Risk)，是指市场正常波动下，在一定的概率水平下，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失;置信水平表示投资主体对风险的厌恶程度,置信水平越高对风险的厌恶程度越大；相反，置信水平越高，就越喜欢冒险。

5模型的建立

5．1经典马柯维茨均值-方差模型：

??min?2?XTΣXp?n?T?max?Ri?XR

i?1?n??s.t.?xi?1i?1?其中，R?(R1,R2,...,Rn)T；Ri?E(ri)是第i种资产的预期回报率；X?(x1,x2,...,xn)T是

2投资组合的权重向量；??(?ij)n?n是n种资产间的协方差矩阵；Rp??Ri和?p分别是

3i?1投资组合的期望回报率和回报率的方差。该模型的解在?p?Rp空间是抛物线，即投资组合的有效前沿。

5．2 风险价值的确定：

VaR为风险价值，设资产组合的初始价值为W，持有期末的期望收益为R，R的数

3

学期望和标准差分别为?和?，在给定的置信水平c下，期末资产组合的最低值为

W??W(1?R?)，其中R?为相应的最低收益率(一般为负值)，则：

VaR(Value at Risk)?E(W)?W*??W(R*??) (1)

?又由P(R?R?)?P(R????R???)?1?c，可知：

R???????R?????? 将(2)式代入(1)式可得：VaR?E(W)?W???W(??????)????W。 另外VaR的求解方法还可用历史模拟法以及蒙特卡洛模拟法求得.

5．3 加入VaR约束后的马柯维茨均值-方差模型：

假定置信水平为c，由VaR的定义，有：

Prob(rp??VaR)?1?c 在经典马柯维茨均值-方差模型中加入VaR约束后，模型变为：

??min?2P?XTΣX??maxE(rTp)?XR??s.t.Prob(rp??VaR)?1?c?n???xi?1i?1

在正态分布下，（1）式可化为：

VaR??(E(rp)???1(c)?p) 其中，?(?)是标准正态分布的分布函数。

RVaR约束 p A O B ?p

-VaR 图1 基于VaR约束的投资组合的有效前沿

4

(2)

3）

（ (4)

此模型的解在?p?Rp空间中是图1中的弧线AB，称其为基于VaR约束下的投资组合的有效前沿。

图1中VaR约束表现为一条斜率为??1(c)、截距为-VaR的直线。在该直线或其以上的全部投资组合都具有c的概率使其回报率超过最小值-VaR；而在直线以下的全部投资组合回报率在置信度c下不超过-VaR。这样，VaR约束使投资组合选择仅仅限制在传统有效前沿和VaR约束直线间的阴影部分，即点A和B之间的弧线AB上。进一步地，根据有效集定理，最优投资组合选择应为抛物线顶点O与点A之间的弧线，即弧线段OA。

5．4 加入VaR约束后的马柯维茨均值-方差模型的几何解法：

由图1可知，VaR约束的最优投资组合确定时，只需求出点A和O处的权重即可。但由于该模型的约束条件比较复杂，用传统的Laganerge乘子法无法求解。因此在这里我们用几何方法来解决此问题。

设n种资产组合的权重是x1,x2,...,xn?1,xn（其中xn?1?x1?x2?...?xn?1），则投资组

2合的期望回报率Rp?E(rp)与方差?p分别可表示为：

Rp?x1R1?x2R2?...?xn?1Rn?1?(1?x1?...?xn?1)Rn (5)

2222?p?x12?11?x2?22?...?xn?1?n?1,n?1?(1?x1?...?xn?1)?nn?2x1x2?12?...?2x1xn?1?1,n?1?2x1(1?x1?...?xn?1)?1n (6) ?...?2xn?1(1?x1?...?xn?1)?n?1,n因为协方差矩阵Σ是正定矩阵，所以在权重空间(x1,x2,...,xn?1)中，(4)式代表等方

2差超椭球面。?p取不同值可得到一族同心超椭球面，中心记为MVP，表示所有的可能

投资组合中风险最小的投资组合的权数；在权重空间(x1,x2,...,xn?1)中，(3)式代表等期望回报率超平面，Rp取不同值可得到一族平行超平面。因而，n种资产投资组合的最优权重应为等期望回报率超平面与等方差超椭球面的正切点。将这些正切点连接起来，就得到一条直线，称其为n种资产投资组合的临界线。不难看出，临界线实际上就是图1中的有效前沿在权重空间中的表现形式。

(5)式在点(x1,x2,...,xn?1)处的法向量为：(R1?Rn,R2?Rn,...,Rn?1?Rn). (6)式在点(x1,x2,...,xn?1)处的法向量为：

5

((?11??nn?2?1n)x1?...?(?1k??nn??1n??kn)xk?...?(?1,n?1??nn??1n??n?1,n)xn?1??1n??nn,......,(?1k??nn??1n??kn)x1?...?(?kk??nn?2?kn)xk?...?(?k,n?1??nn??kn??n?1,n)xn?1??kn??nn,......,(?1,n?1??nn??1n??n?1,n)x1?...?(?k,n?1??nn??kn??n?1,n)xk?...?(?n?1,n?1??nn?2?n?1,n)xn?1??n?1,n??nn)P?...01?[1,0,0,...,0,0,?1],?100??1...00??x1?x?令 P2?[0,1,0,...,0,0,?1],......, Q??0????????, ?2?W????

P0...10??1n?1?[0,0,0,...,0,1,?1],?0????x?n??1?1...?11?????1??则(4)式在点(x1,x2,...,xn?1)处的法向量可简化为：

(PTT1?QW,P2?QWT,...,Pk?QWT,...,Pn?1?QW)

由临界线定义，可得临界线方程为

PT1?QWTP2?QWPk?QWTPnR?R?R?...??...??1?QWT 1n2?RnRk?RnRn?1?Rn由(5)式可得到n?2个方程构成的线性方程组：

??a11x1?a12x2???a1,n?1xn?1?b1??a21x1?a22x2???a2,n?1xn?1?b2 ?????an?2,1x1?an?2,2x2???an?2,,n?1xn?1?bn?2其中：

a?ij??nn??in??jn,n?1??nn??jn??n?1,nij?Ri?R??jnRn?1?Rn

b??nn??n?1,n??nni??inRi?RnRn?1?Rn， i?1,2,?,n?2,j?1,2,?,n?1.

进一步将(2)式化为如下形式：

6

(7)

(8) ?n??(?Ri?VaR)?2??p??i?1?1?(c)?????? (9)

2根据均值和方差的表达式： ?Ri?XR，??i2?XT?X，将其代入上式：

Ti?1i?1n3?(XTR?VaR)2?X?X????1?(c)?? (10)

T??2因为线性方程组(6)的秩是n?2，所以它的基础解系的个数是1，我们可以用x1分别表示x2,x3,?.xn?1。而由于

?xi?1ni?1，xn也可以用x1表示。将x2,x3,?.xn代入(8)式，

就得到一个关于x1的一元二次方程，求出x1就可得到相应x2,x3,?,.xn的值。因为x1有两个根，因此有两组解，它们分别是点A和点B处的权重。这样就求出了点A和点B处投

22资组合的预期回报率RA，RB和方差?A，?B。

进一步地，根据方程XT?X??2，我们可求出抛物线顶点O处的投资权重。该方程是常数项包含?2的关于x1一元二次方程，当其判别式为零时只有一个解，此时x1A与x1B重合为x1O。利用判别式为零求出?2后，便可分别求出O点的投资权重及投资回报率RO。

于是可以得到VaR约束下投资组合的选择范围：

2。 RO??Ri?RA，????i2??A2Oi?1i?1n3针对这一范围内投资组合的一个回报率RP，联立(8)式和(5)式，就可在临界线上求得投资组合最优权重，该权重下的投资组合的方差为最小，并通过(6)式可算出这个

2最小方差；同理，给定了上述范围内投资组合的一个方差?p，联立(8)式和(6)式，就

可在临界线上求得投资组合的最优权重，使得该权重下的投资组合的预期回报率最高，并且由(5)式可算出这个最高的预期回报率。

5．5协方差的求解：

7

设(X,Y)是二维随机变量，若E((X?E(X))(Y?E(Y)))小于无穷大，则称

E((X?E(X))(Y?E(Y)))为X与Y的协方差，记为Cov(X,Y).

即： Cov(X,Y)?E((X?E(X))(Y?E(Y))) 计算式： Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)

当X,Y相互独立时，有E((X?E(X))(Y?E(Y)))＝0 由此可知，如不等于0，则它们肯定不独立。

6 模型的求解

由于投资方案二和投资方案三给出的各四十只股票都是随机抽样得来的,据概率论中的大数定理，能基本反映该类股票的收益和风险，然后用数学软件MATLAB可以求出三种投资方案的回报率期望、回报率方差和协方差矩阵，得下表：

方案一,方案二和方案三的回报率,风险数据及协方差矩阵 方案一 方案二 方案三

3??max?Ri?X1*0.05.6?X2*0.099?X3*0.186i?1?3?222?min??i?0.024*X2?0.240*X3?i?1 ?3?X?1i??i?1?40?Prob(r??VaR)?1?ci?2,3?ij?j?1?回报率均值Ri(%) 5.6 9.9 18.6 回报率方差?i(%) 0 1.71 22.23 2协协方差矩阵 ?0??0?0???0.0240? 00.240??00

?3??(?Ri?VaR)?2? (其中?(c)为标准正态分布函数?(c)?由公式?p??i?1?1?(c)??????212?e?x22，

8

则??1(c)??ln2??lnc，而VaR和c都是一个未定值) 和a11*X1?a12*X2?b1 其中:

a11?a12?b1??11???33???13???13??12???33???13???23?R1?R3R1?R3R1?R3?R2?R3?R2?R3R2?R3??62.113???9.896??23.377

?12???33???13???23??22???33???23???23??23??33??13??33?当给定VaR值和c值时就能得到最优值。

由题意可知c=95%

运用数学软件LINGO和MATLAB求解得下表:

VaR(%) X3 X1 X2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 1 1 1 0.9370 0.7794 0.6218 0.4642 0.2842 0 0 0 0 0 0.0482 0.1688 0.2893 0.4098 0.5639 0 0 0 0 0 0.0148 0.0519 0.0889 0.1260 0.1519 方差?i(%) 0 0 0 0 0 0.01 0.13 0.39 0.78 1.32 2净收益(万美元) 280.00 280.00 280.00 280.00 280.00 300.00 350.00 400.00 450.00 500.00 又由计算可得当VaR>0.1时没最优解,故最优的的投资组合为方案一投资1421万美元,方案二投资2819.5万美元,方案三投资759.5万美元,最大净收益为500.00万美元.

参考文献:

[1] 姜启源等,数学模型[M],北京：高等教育出版社，2004。

[2] 李强等,Maple基础应用教程[M],北京：中国水利水电出版社,2004。

[3] 宋兆基等，MATLAB6.5在科学计算中的应用[M]，北京：清华大学出版社，2005。 [4] 谢金星 薛毅编著,优化建模与LINDO/LINGO软件[M]：清华大学出版社.2005。 [5]邵欣炜，基于VaR的证券投资组合优化方法，http://www.sse.org.cn/UpFi les/Attach/1883/2005/03/22/1134279531.doc，2006年8月25日。

附录

石化产业股票的案例记录: 案例编号 投资量（万） 回报（万） 企业编号 投资量（万） 回报（万） 1 2000 250 21 1290 270

9

2 5000 350 22 3 1500 -200 23 4 2500 1000 24 5 4500 240 25 6 1800 -180 26 7 5200 290 27 8 2500 150 28 9 3400 500 29 10 4000 1000 30 11 8000 80 31 12 7500 1000 32 13 4600 120 33 14 4300 290 34 15 1200 420 35 16 2600 510 36 17 3100 1020 37 18 2010 -230 38 19 1020 120 39 20 3100 1020 40 (表一) 信息产业股票的案例记录: 企业编号 投资量（万） 回报（万） 企业编号 1 2500 700 21 2 7100 2100 22 3 1400 970 23 4 3100 -210 24 5 1800 -1500 25 6 2500 2300 26 7 2700 210 27 8 5600 1500 28 9 3010 -2800 29 10 7200 8100 30 11 1300 510 31 12 2900 350 32 13 3400 130 33 14 6700 1750 34 15 3600 1400 35 16 6050 2410 36 17 6700 210 37 18 5300 710 38 19 4790 20 39 20 6800 -1700 40 (表二)

10

1720 2980 4600 5100 7200 4900 3200 5000 4900 5700 4900 3100 4930 6700 7800 9100 4100 3900 2300 -129 -120 310 620 740 200 -310 -620 620 -292 270 2010 278 810 620 720 120 240 410 投资量（万） 回报（万） 6010 230 3740 1020 6350 3100 7240 9400 3100 580 5170 -2100 3410 -2000 8210 420 6830 5400 5260 1020 2570 1200 6450 4210 6175 -720 6310 5100 3852 -3630 7980 230 6340 -540 5780 1750 5250 2030 2770 780

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pm13.html