辽宁省沈阳市大东区高三数学一模试卷（文科） Word版含解析

流过多少汗，流下多少泪，只为高考这一天；付出多少时间，付出多少努力，只为高考这一刻；高考这条路就算布满荆棘也要披荆而过，请相信天道酬勤，请相信付出一定会有回报，对自己充满信心，加油，祝高考成功顺利。2016年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（?RN）=（ ） A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2} 2．a为正实数，i为虚数单位，A．2

B．

C．

D．1 ，

C．57

D．23

=（ ）

，则3|

=（ ）

，则a=（ ）

3．已知向量A．83

B．63

4．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则A．

B．

C．

D．

5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（ ）

A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值 B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值 C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值 D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值 6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（ ）

A．等边三角形 C．两腰长都为

B．直角三角形 的等腰三角形

D．两腰长都为

的等腰三角形

7．设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（ ）

A．[﹣11，3） B．[﹣11，3] C．（﹣11，3） D．（﹣11，3]

8．已知x、y取值如表： x 0 1 4 5 6 8 y 1 3 5 6 7 8 从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（ ） A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.15

9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值

范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） D．[﹣2，1] 10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（ ） A．

B．

C．

D．1

11．设函数f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（ ）

A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a） D．g（a）＜0＜f（b） 12．已知F1、F2分别是双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的

直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上． 13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为 ．

14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为 ． 15．若

，则

= ．

16．已知{an}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20= ．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c） （a+b﹣c）=3ab．

（Ⅰ）求角C； （Ⅱ）f（x）=

在区间

上的值域．

18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：

（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；

（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．

19．AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE． （Ⅰ）求证：DE∥平面ACF； （Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；

（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．

20．椭圆C：的离心率为

，左、右焦点分别为F1、F2，点

，且F2在线段PF1的中垂线上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值． 21．已知函数

，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．

（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M； （Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．

[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分） 22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．

（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD

（Ⅱ）求证：AB?BE=AE?DC．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点

．以极点O为原

点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．

（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； （Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R． （1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；

（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

2016年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（?RN）=（ ） A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2} 【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】求出集合M，根据集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：M={0，1，2}，

N={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＞2或x＜1}， ∴?RN={x|1≤x≤2}， M∩（?RN）={1，2}， 故选：D．

2．a为正实数，i为虚数单位，A．2

B．

C．

D．1

，则a=（ ）

【考点】复数代数形式的混合运算． 【分析】根据复数的运算法则，我们易将|m+ni|=【解答】解：∵∴|

|=|1﹣ai|=

化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据

，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值． =1﹣ai

=2

即a2=3

由a为正实数 解得a= 故选B

3．已知向量A．83

B．63

C．57

，D．23

，则3|

=（ ）

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】直接利用数量积的坐标运算得答案． 【解答】解：∵∴∴

，

．

，

，

，

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上． 13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为 或x=0 ．

【考点】圆的切线方程．

【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，

则圆心为（1，2），半径R=1，

若切线斜率k不存在，即x=0时，满足条件． 若切线斜率k存在，则设切线方程为y=kx， 即kx﹣y=0， 圆心到直线的距离d=

=1，

得|k﹣2|=，

平方得k2﹣4k+4=1+k2， 即k=，此时切线方程为综上切线方程为：故答案为：

，

或x=0，

或x=0．

14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于

的概率为

．

【考点】几何概型．

【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可．

【解答】解：若线段AM的长度不小于，则M在线段BE，BF，CG，CD上， 其中AE=AE=， ∵AH=∴FH=

=

，

=1，

则FG=2，

三角形的周长l=4+4+6=14， 则BE+BF+CG+CD=14﹣﹣则线段AM的长度不小于故答案为：

﹣2=12﹣4， =

，

的概率P=

15．若

，则

= ．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可． 【解答】解：1=2×

﹣1=

， ．

，则

=cos（2α+

）=2cos2（α+

）﹣

故答案为：

16．已知{an}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20= 45 ． 【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．

【分析】设正项等比数列{an}的公比为q＞0，可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，即可解出．

【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵S5=3，S15=21， ∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列， ∴∴

，，解得S10=9，

=（S10﹣S5）（S20﹣S15），

∴（21﹣9）2=（9﹣3）×（S20﹣21），

解得S20=45． 故答案为：45．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c） （a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理． 【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出C的值即可；

（Ⅱ）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可．

【解答】解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab， 得：a2+b2﹣c2=ab， ∴

，

∴在△ABC中，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∴===∵∴∴

，∴

；

，

，

，

，

，

∴函数f（x）的值域为．

18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：

（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；

（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差． 【分析】（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．

（Ⅱ）由已知先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差．

（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．利用列举法能求出身高176cm的同学被抽中的概率． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高． … （Ⅱ）

甲班的样本方差为： s2=

cm …

+2+2+2+2]=57.2…

（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm． 取出两人的基本事件空间为： Ω={，，，，， ，，，，}，共10种情况．…

身高176cm同学被抽到的事件空间为： {，，，}，共4中情况． ∴所求事件的概率为

．…

19．AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE． （Ⅰ）求证：DE∥平面ACF； （Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；

（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；

（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案； （Ⅲ）由AB=1，求得

，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥

F﹣ACE的体积． 【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，

在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，

则O为BD的中点， 又∵F是EB中点，

∴OF是△BDE的中位线， ∴OF∥DE，

∵DE?平面ACF，OF?平面ACF， ∴DE∥平面ACF；

（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD?平面ABCD， ∴EC⊥BD，

∵BD⊥AC，且AC∩CE=C， ∴BD⊥平面ACE， ∵CG?平面ACE， ∴CG⊥BD，

在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且∴

，

，

在△OCE中，G是EO中点， ∴CG⊥EO， ∵EO∩BD=E，

∴CG⊥平面BDE； 解：（Ⅲ）∵AB=1， ∴

，

∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD， ∴

．

20．椭圆C：

的离心率为

，左、右焦点分别为F1、F2，点

，且F2在线段PF1的中垂线上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值． 【考点】椭圆的简单性质．

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