八年级数学 - 角平分线的性质

角的平分线的性质

角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边的距离相等。到角两边距离相等的点在角的平分线上。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．角平分线的画法： ．．．．．．．．

例1.已知O是△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，若OD＝5，△ABC的周长等于20，则△ABC的面积等于S△ABC ＝ 例2.如图，ΔABD的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S?ABO：S?BCO：S?CAO等于______.

1例3.如图：在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABD=∠ABC,BC⊥DF,垂足为F,AF交BD于E。2求证：AE=EF.

例4.如图：在△ABC中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D。求证：点D在∠A的平分线上。

例5.如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上．DE=CD，EF=AC．求证：EF∥AB.

例6.在△ABC中，AB>AC，AD是∠BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：AB-AC>PB-PC．

1

例7.如图，∠A+∠D=1800，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上．

(1)探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系;(2)探讨线段BE与CE之间的位置关系．

例8.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF， 求证：AC=BE．

课堂练习：

1.如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AQ＝PQ，PR＝PS，则下列三个结论中正确的是 ( ) ①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全对

2.如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，以上结论正确的是（ ）

A. ①②③ B. ①②

C. ①③

D. ②③

3.在△ABC和△A'B'C'中 , ①AB=A'B';②BC=B'C'; ③AC=A'C;④∠A=∠A';⑤∠B=∠B';⑥∠C=∠C'; 则下列哪组条件不保证△ABC≌△A'B'C'．( )

A.①②③ B.①②⑤ C.①⑤⑥ D.①②④

4.如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠EAC的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠EAC三个角的平分线的交点。上述结论中，正确结论的个数有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2

5.∠AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为______

6.如图，AB∥CD，O是∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，则AB与CD间的距离等于 7.已知ΔABC的周长是15，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作OD⊥BC与点D，且OD=2， 求ΔABC的面积。

8.已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB。求证：D在∠BAC的平分线上．

7.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB 于点G，若BG=CF，求证：AD为∠BAC的角平分线．

8.已知△ABC，∠B=∠C，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G， 求证GD=GE．

9.如图，A，B两点位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A、B间距离，但是绳不够长．你能帮她设计测量方案吗?如不能，说明困难在哪里；如果能，写出方案，并说明其中的道理．

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课后练习：

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是（ ）

A.∠1<∠2 B.∠1=∠2 C.∠1>∠2 D.不能确定

2.尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、

1D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）

2 A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90° ．AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是( ) A．1 B.2 C．3 D．4 4.如图在RtΔABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交于点D，若CD=n，AB=m，则ΔABD的面积 是_______ 5.已知：如图，∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF， （1）若以“ASA”为依据，还缺条件 . （2）若以“AAS”为依据，还缺条件 . （3）若以“SAS”为依据，还缺条件 . 6.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE； ③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有____________（把你认为正确的序号都填上）。

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7.如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA。

8.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE.

9.已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.

10.如图：在△ABC中，∠A=60°，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于点O。求证：OE=OF。

11.已知AM为△ABC的中线，∠AMB，∠AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BE+CF>EF．

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能力提高：

1.如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC = 10cm，则△DBE的周长等于( )

A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm

2.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 3.如图,已知AE平分∠BAC,BE上AE于E,ED∥AC,∠BAE=36,那么∠BED= 4.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为C．求证：△DBE的周长等于AB． 0

5.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC边中点，连接CD、BE并分别延长至F、G，使BE=EG,CD=DF,连接FA,GA.求证：AF=AG.

16.如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=BD，

2 DF⊥AB于F。求证：CD=DF。

7.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE?1(AB?AD),

2求∠ABC+∠ADC的度数。

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能力提高：

1.如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC = 10cm，则△DBE的周长等于( )

A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm

2.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 3.如图,已知AE平分∠BAC,BE上AE于E,ED∥AC,∠BAE=36,那么∠BED= 4.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为C．求证：△DBE的周长等于AB． 0

5.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC边中点，连接CD、BE并分别延长至F、G，使BE=EG,CD=DF,连接FA,GA.求证：AF=AG.

16.如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=BD，

2 DF⊥AB于F。求证：CD=DF。

7.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE?1(AB?AD),

2求∠ABC+∠ADC的度数。

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