2018年高考数学总复习教师用书全套(含解析共1011页)

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第1讲 集 合

最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

知 识 梳 理

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系

(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A.

(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA. (3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B.

(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算

符号表示 集合的并集 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为U，则集 合A的补集为?UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x?A} 4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. (2)子集的传递性：A?B，B?C?A?C. (3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. (4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“3”) (1)任何集合都有两个子集.( )

(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( ) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( ) (4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )

解析 (1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.

(2)错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C不相等.

(3)错误.当x＝1，不满足互异性. (4)错误.当A＝?时，B，C可为任意集合. 答案 (1)3 (2)3 (3)3 (4)3

2.(必修1P7练习2改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( ) A.{a}?A C.{a}∈A

B.a?A D.a?A

解析 由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝22，知a? A. 答案 D

3.(2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( ) A.{1，3}

B.{3，5}

C.{5，7} D.{1，7}

解析 因为A＝{1，3，5，7}，而3，5∈A且3，5∈B，所以A∩B＝{3，5}. 答案 B

4.(2017·杭州模拟)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则?U(A∪B)等于( ) A.{1，4}

B.{1，5}

C.{2，5}

D.{2，4}

解析 由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U＝{1，2，3，4，5}，∴?U(A∪B)＝{2，4}. 答案 D

5.(2017·绍兴调研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，则A∪B＝________，(?UA)∩B＝________.

解析 ∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，∴A∪B＝{x|x≥0}，(?UA)∩B＝{x|0≤x<2}. 答案 {x|x≥0} {x|0≤x<2}

6.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________.

解析 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素. 答案 2

考点一 集合的基本概念

【例1】 (1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A.1

B.3

C.5

D.9

(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( ) 9A.2

9B.8

C.0

9D.0或8

解析 (1)当x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2； 当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1； 当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.

根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共5个. (2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等

实根.

2

当a＝0时，x＝3，符合题意；

9

当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝8， 9

所以a的取值为0或8. 答案 (1)C (2)D

规律方法 (1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形. (2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.

??b

【训练1】 (1)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，则b－a＝________.

?

?

(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝?，则实数a的取值范围为________.

??b

解析 (1)因为{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，a≠0，

?

?

所以a＋b＝0，且b＝1，

所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2. (2)由A＝?知方程ax2＋3x－2＝0无实根， 2

当a＝0时，x＝3不合题意，舍去； 9

当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，∴a<－8. 9??

－∞，－?答案 (1)2 (2) 8???考点二 集合间的基本关系

【例2】 (1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( ) A.AB

B.BA

C.A?B

D.B＝A

(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

解析 (1)易知A＝{x|－1≤x≤1}， 所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.

因此BA.

(2)当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠?时，若B?A，如图.

?m＋1≥－2，

则?2m－1≤7，解得2

综上，m的取值范围为(－∞，4]. 答案 (1)B (2)(－∞，4]

规律方法 (1)若B?A，应分B＝?和B≠?两种情况讨论.

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.

【训练2】 (1)(2017·镇海中学质检)若集合A＝{x|x>0}，且B?A，则集合B可能是( ) A.{1，2} C.{－1，0，1}

B.{x|x≤1} D.R

(2)(2016·郑州调研)已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，m}，若A?B，则m的值为( ) A.2 C.－1或2

B.－1 D.2或2

解析 (1)因为A＝{x|x＞0}，且B?A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确.

(2)由x＝x2－2，得x＝2，则A＝{2}. 因为B＝{1，m}且A?B， 所以m＝2. 答案 (1)A (2)A 考点三 集合的基本运算

【例3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )

A.5 B.4 C.3 D.2

(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(?RQ)＝( ) A.[2，3] C.[1，2)

B.(－2，3]

D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)

解析 (1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素. (2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}. ∴?RQ＝{x|－2

又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(?RQ)＝{x|－2

规律方法 (1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.

(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.

【训练3】 (1)(2017·石家庄模拟)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是( ) A.N?M C.M?N

B.N∩M＝? D.M∩N＝R

(2)(2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则?U(A∪B)＝( ) A.{2，6}

B.{3，6} D.{1，2，4，6}

C.{1，3，4，5}

解析 (1)易知N＝(－2，3)，且M＝{－1，1}，∴M?N. (2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}， 又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此?U(A∪B)＝{2，6}. 答案 (1)C (2)A

[思想方法]

1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要

进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.

3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现. [易错防范]

1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.

3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.

4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

基础巩固题组 (建议用时：25分钟)

一、选择题

1.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( ) A.A＝B C.AB

B.A∩B＝? D.BA

解析 ∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1?B， ∴BA. 答案 D

2.(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝( ) A.{－2，－1，0，1，2，3} C.{1，2，3}

B.{－2，－1，0，1，2} D.{1，2}

解析 由于B＝{x|x2<9}＝{x|－3

3.(2017·肇庆模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则( ) A.A∩B≠?

B.A∪B＝R

C.B?A

D.A?B

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