吉林大学2009级计算机学院《离散数学II》试题(A)

一、简答题（共20小题，每小题2分，共40分，不必证明，直接给出答案即可）

1. 设S={a,b,c,d}，定义ρ(S)上的二元运算“－”，使对于任意A、B ρ(S)，A－B={x|x A且x B}，问：该运算满足消去律吗？ρ(S)上存在幂等元吗？

2. 所有的4元群都同构吗？所有的7元群都同构吗？

3. 整区中是否存在零因子？整区中所有非零元素的乘法周期都相等吗？

4. 设循环群G=(a)，|G|=24，则G中是否存在周期为5的元素？是否存在8元子群？

5. 设a GF(27)且a≠0，求6a和a26。

6. 在R13求2

4-4。

7. 设（G，·）是群，请给出满足方程a·b·x·c =1的解x，其中：1是G的单位元，a、b、c G。

8. 设G={e,a,b,c,d,f,g},（G，·）是群，e是G的单位元，计算a·b·c·d·f·g等于多少？

9. 设循环群G=(a)，H是G子群，则H是正规子群吗？

10. 写出模12剩余环的一个极大理想。

11. 域F上的非0多项式f(x)有k（k为非负整数）重根，则f(x)一定可约吗？

12. 给出多项式x5+5x4+2x3+3x+1的一个有理根。

13. 在R2上给出两个多项式f(x)和g(x)，满足f(x) g(x)但f(x)≠g(x)。

14. 在R0上，多项式6x5+14x4+7x3+21x2-35x+7是否是质式？

15. 求分圆多项式之积： 1(x) 2(x) 3(x) 6(x)。

16. q元有限域中的非零元素一定都是多项式xq-1-1的根吗？

17. 设(L，≤)是一个半序格，与其等价的代数格为(L,×,⊕)，设S L。若（S，≤）是（L，≤）的半序子格，则(S,×,⊕)一定是(L, ×, ⊕)的代数子格吗？

18. 设（L，≤）是一个半序格，其对应的代数格为（L，×， ），则一定有a×b=a

吗？

19. 有余格一定是有界格吗？

20. 设S={a,b,c,d}，请给出集合代数（ρ（S），∩，∪，ˉ， ，S）的基底。

二、计算题（共3小题，共30分）

1、（10分）S3是3次对称群，则

（1）写出S3所有的偶置换；

（2）写出由对换(2 3)生成的子群H；

（3）写出H的所有左陪集和右陪集。

2、（10分）在R7上，用长除法求3x2+2除3x4+5x3+6x2-5x+2的商式和余式。（要求

有运算过程）

3、（10分）在构造9元有限域GF(9)的过程中，请回答如下问题：

（1）写出GF(9)的所有子域；

（2）求 8(x)，并将其写成R3[x]中的质因式乘积；

（3）写出GF(9)的所有元素。(不写运算表)

三、证明题（共3小题，共30分）

1、（8分）设循环群G=(a)，|G|=6，（Z，+）为整数加法群，令 是Z到G内映射

（n）= an，n Z。

（1）证明： 是同态映射，且是满射。

（2）设N是 的同态核，求商群Z/N。

2、（10分）设A是整数集合Z到Z上的所有映射的集合，即A={ |y= (x), x、y Z}，

定义A上两种二元运算如下：对于任意的 、 A，

( ⊕ )(x)= (x)+ (x) ( ⊙ )(x)= ( (x))

其中，“+”为整数加法。

证明：（1）（A，⊕）是阿贝尔群；

（2）证明或反驳（A，⊕，⊙）是环。

3、（12分）设G是群，G存在非平凡子群，设H是G中所有非平凡子群的交集且

H≠{1}，1是群G的单位元，证明：

（1）H是G的子群； （2）H中每个元素的周期都有限； （3）H是一个循环群，且|H|为质数。

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