典型例题：幂函数

1

例、已知幂函数f(x)＝(t－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f(x)＝x5是偶函数，且5和5都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数．

82

故t＝1且f(x)＝x5或t＝－1且f(x)＝x5.

PS: 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．

例、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )

3

A．-11 D．n<－1，m>1

解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

PS:在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．

例、已知x>x3，求x的取值范围．

2

1

1

错解 由于x≥0，x3∈R，则由x>x3，可得x∈R.

错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．

正解

2

2

1

作出函数y=x2和y=x的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.

例、函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

解答这个题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.

解 根据幂函数定义得

m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，

当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；

当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3. PS：幂函数y＝xα (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．

12

变式 已知y＝(m＋2m－2)x2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．

m－1

解

13

?2

由题意得?m－1≠0

?2n－3＝0

m2＋2m－2＝1

m＝－3??

，解得?3

n＝??2

，

3

所以m＝－3，n＝2.

例、比较下列各组中两个数的大小：

（1）1.5，1.7；（2）0.7，0.6；（3）(－1.2)3535351.5

1.5

－23，(－1.25)－23．

解析：（1）考查幂函数y＝x的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴1.5＜1.7，

（2）考查幂函数y＝x的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．

（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，

323535 ∵(－1.2) 又1.2－23－23＝1.2－23－23，(－1.25)－23＝1.25－23，

＞1.25，∴(－1.2)－23＞1.25－23．

PS：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．

－

例、 已知幂函数y＝x3m9 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上

mm

函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－3<(3－2a)－3的a的范围．

解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－9<0，解得m<3， 又m∈N*，∴m＝1,2.

又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1，

11

∴有(a＋1)－3<(3－2a)－3.

1

又∵y＝x－3在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，

∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a，

23

解得

32

PS:(1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y＝xα，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．

变式 已知幂函数y＝xm2－2m－3 (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象．

解 由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3. 又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3，

当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不符合题意．

当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图①所示． 当m＝1时，y＝x－4，其图象如图②所示．

例．已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5 (a为常数)．

(1)a为何值时此函数为幂函数？ (2)a为何值时此函数为正比例函数？ (3)a为何值时此函数为反比例函数？

解 (1)由题意，得a2－3a＋2＝1，即a2－3a＋1＝0.

3±53±5

解得a＝2，即a＝2时，此函数为幂函数；

2

?a－5a＋5＝1，

(2)由题意，得?2

?a－3a＋2≠0.

解得a＝4，即a＝4时，此函数为正比例函数；

2

?a－5a＋5＝－1，

(3)由题意，得?2

a－3a＋2≠0.?

解得a＝3，即a＝3时，此函数为反比例函数．

例．已知函数y＝415－2x－x2． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．

解析：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝4t， （1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t＝16－（x－1）2?［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．

（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．

（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，

∴x?［－5，1］时，t随x的增大而增大；x?（1，3）时，t随x的增大而减小．

又∵函数y＝4t在t?［0，16］时，y随t的增大而增大，

∴函数y＝415，单调减区间为（1，3］． －2x－x2的单调增区间为［－5，1］ 答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］； （2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；

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