泰勒公式及其应用-毕业论文

四川理工学院毕业论文

泰勒公式及其应用

学 生：

学 号：

专 业：数学与应用数学

班 级：

指导教师：

四川理工学院理学院

二OO九年六月

四 川 理 工 学 院

毕业论文任务书

论文题目： 泰勒公式及其应用 二级学院： 理学院 专业：数学与应用数学 班级： 2005级2班 学号： 05121020232 学生： 李颖梅 指导教师： 张新华 接受任务时间： 2009年3月9日

（系）教研室主任 （签名） 理学院院长 （签名）

1．毕业论文的主要内容及基本要求

主要内容：本文是先对泰勒公式进行简单的介绍，对余项进行讨论，以便引出对误差的估计．在此基础上将泰勒公式的应用进行了总结，并配备了相应的例题．对于有些应用也给予了说明． 基本要求：在明确了主要内容基础上要做到（1）查阅文献资料，确定课题研究思路，了解课题前沿（2）理清论文思路；（3）撰写出思路清晰，逻辑合理的论文．

2．指定查阅的主要参考文献及说明

［1］吴文俊．世界著名科学家传记[M]．北京：科学出版社，1992

［2］刘景麟，黄振友．微积分（上）[M]．国际工业出版社，2006

［3］华东师范大学数学系．数学分析（上）[M]．高等教育出版，2001

［4］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．高等教育出版社，2006

［5］同济大学数学教研室．高等数学[M]．高等教育出版社，1993

［6］杨万利．数学分析名师导学[M]．中国水利水电出版社，2005

［7］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义[M]．高等教育出版社，1992

［8］孙清华，孙昊．数学分析内容、方法与技巧[M]．华中科技大学出版社，2003

［9］曹之江，王刚．微积分学简明教程[M]．高等教育出版社，2004

［10］陈纪修，徐惠平．数学分析习题全解指南[M]．高等教育出版社，2005

［11］徐森林，薛春华．数学分析(第一册)[M]．清华大学出版社, 2005

3．进度安排

摘 要

泰勒公式是数学分析中的一部分重要内容．本文论述了泰勒公式的基本内容，并着重从9个方面介绍了泰勒公式在数学分析和实际生活中的一些应用：利用泰勒公式证明恒等式和不等式，求极限和中值点的极限，还有一些应用在函数方程和线形插值中；除此以外，我们还可用泰勒公式求极值，研究函数图形的局部形态，以及在近似计算中的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性．

关键词：泰勒公式 皮亚诺余项 拉格朗日余项 应用

ABSTRACT

Taylor’s formula is an important knowledge in the mathematical analysis ．This paper discusses some basic contents about the Taylor’s formula ， In this paper ，we discuss its applications in the mathematical analysis and reality life from 9 facets in general： we can use the Taylor’s formula to prove the equation and inequality，solve the limit and the value limit，There are some applications in the functional equations and linear interpolation，besides we may use it to search the extreme value and study the partial shape of the function’s graph，as well as the application of approximate calculation,this can help us to know the importance of the Taylor’s formula．

Keywords： Taylor's formula The remaining of the Piano The remaining of the Lagrangian Application

目 录

第1章 前 言 ..................................................................... 1

第2章 预备知识 ................................................................... 2

2.1 Taylor公式 .................................................................. 2

2.2 泰勒公式的各种余项............................................................ 3

第3章 泰勒公式的应用.............................................................. 6

3.1 应用Taylor公式证明等式 ....................................................... 6

3.2 应用Taylor公式证明不等式 ..................................................... 7

3.3 应用Taylor公式求极限 ......................................................... 9

3.4 应用Taylor公式求中值点的极限 ................................................ 11

3.5 应用Taylor公式近似计算 ...................................................... 12

3.6 应用Taylor公式求极值 ........................................................ 13

3.7 应用Taylor公式研究函数图形的局部形态 ........................................ 14

3.8 应用Taylor公式研究线形插值 .................................................. 15

3.9 应用Taylor公式研究函数表达式 ................................................ 16

结束语 ............................................................................ 18

参考文献 .......................................................................... 19

致 谢 ............................................................................ 20

第1章 前 言

随着计算机和通信技术的迅速发展,在自然科学和工程技术等众多领域中,利用计算机进行近似计算，已成为科学研究和工程设计中不可缺少的一个重要环节,也就是说近似计算方法是一种很重要的科学研究方法.泰勒公式是一个多项式的拟合问题,而多项式是一种简单函数，它的研究对我们来说是很轻松的，而且研究也是很方便的，特别是对计算机编程计算是极为方便．如果将所研究的对象转化为多项式,那么问题就会比较简单了.这就使我们想到可不可以把泰勒公式应用到这些领域呢？因此有很多科学家和学者对此做出了重要的贡献.首先来看一下泰勒理论创始人泰勒是如何研究的.

泰勒（1685-1731）主要是从有限差分出发，得到格里戈里-牛顿插值公式,然后令初始变量为零,项数为无穷,但没有给出余项的具体表达式.随着后人的不断研究与完善，形成今天我们学习使用的泰勒公式．现代也有很多期刊和教材对这部分内容进行了介绍,对近似计算上的应用介绍也已较全面,较系统．但在其它领域的应用则显简单,不系统，不全面，为了方便以后的学习,有必要对此部分内容进行归纳总结.

本文较为详细地介绍了泰勒公式这部分内容所涉及的基本概念,相关定理及余项表达式.在此基础上，对泰勒公式在证明等式和不等式，求极限和中值点的极限，函数方程和线形插值中的应用做了介绍，另外还可以用来求极值，研究函数图形的局部形态，在近似计算中的应用等方面进行了全面地总结,同时配备了相应的例题解答和文字说明,以便于读者更好地去理解.

应该说,本文的最大特点是全面性和系统性,所涉及到的内容不仅有我们所经常用到的内容,还有一部分是我们不很常见的泰勒公式的应用,这对于想补充一下自己的课外知识的学者很有帮助.虽然例题不是很多,但很典型.只要深入去把握,并挖透习题,了解其中的方法,就可以“以不变应万变”.

由于时间和能力有限,文中有错误是在所难免的,敬请读者批评指正.

第2章 预备知识

前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．

给定一个函数f(x)在点x0处可微，则有：

f(x0 x) f(x0) f (x0) x ( x) 这样当 x 1时可得近似公式

f(x0 x) f(x0) f (x0) x

或

f(x) f(x0) f (x0)(x x0)，x x0 1

即在x0点附近，可以用一个x的线形函数（一次多项式）去逼近函数f，但这时有两个问题没有解决：

（1） 近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f．

（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量 (x x0)，如果要求误差不得超过10 4，用f(x0) f (x0)(x x0)去替代f(x)行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．

在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．

2.1 Taylor公式

首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x的n次多项式在x0附近去逼近f，即令

f(x) a0 a1(x x0) ... an(x x0)n （2.1）

从几何上看，这表示不满足在x0附近用一条直线（曲线y f(x)在点(x0,f(x0))的切线）去替代y f(x)，而是想用一条n次抛物线f(x) a0 a1(x x0) ... an(x x0)n去替代它．

我们猜想在点(x0,f(x0))附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数a0，a1 an如何确定呢？

假设f本身就是一个n次多项式，显然，要用一个n次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有

f(x) a0 a1(x x0) ... an(x x0)n

于是得：a0 f(x0)

求一次导数可得：a1 f (x0) 又求一次导数可得：a2

这样进行下去可得：

f (x0)f(4)(x0)f(n)(x0)a3 ，a4 ， ，an 3!4!n!f (x0) 2!

因此当f是一个n次多项式时，它就可以表成：

nf(n)(x0)f(k)(x0)nf(x) f(x0) f (x0)(x x0) ... (x x0) (x x0)k （2.2） n!k!k 0

即x0附近的点x处的函数值f(x)可以通过x0点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f，只要它在x0点存在直到n阶的导数，由这些导数构成一个n次多项式

f (x0)f(n)(x0)2Tn(x) f(x0) f (x0)(x x0) (x x0) ... (x x0)n 2!n!

(x0) (k 1,2,3,...,n) ，称k!

为泰勒系数．因而n次多项式的n次泰勒多项式就是它本身．

称为函数f(x)在点x0处的泰勒多项式，Tn(x)的各项系数f(k)

2.2 Taylor公式的各种余项

对于一般的函数，其n次Taylor多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点x0附近能近似地用它在x0点的n次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor定理就是回答这个问题的．

定理1[10] (带拉格朗日型余项的Taylor公式)

假设函数f(x)在|x x0| h上存在直至n 1阶的连续导函数，则对任一x [x0 h,x0 h],泰勒公式的余项为

f(n 1)( )Rn(x) (x x0)n 1 (n 1)!

其中 x0 (x x0)为x0与x间的一个值.即有

f(n)(x0)f(n 1)( )nf(x) f(x0) f (x0)(x x0) ... (x x0) (x x0)n 1 (2.3) n!(n 1)!

推论1[10] 当n 0，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：

f(x) f(x0) f ( )(x x0)

所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．

推论2[10] 在定理1中,若令

f(n 1)( )Rn(x) (1 )n 1 p(x x0)n 1

p n!

则称Rn(x)为一般形式的余项公式, 其中

型余项．若令p 1，则得

f(n 1)( )Rn(x) (1 )n(x x0)n 1

n!(p 0) x0x x0．在上式中，p n 1即为拉格朗日(p 0),

此式称为柯西余项公式．

当x0 0，得到泰勒公式：

f (0)2f(n)(0)nf（n 1）( x)n 1f(x) f(0) f (0)x x ... x x，(0 1) （2.4） 2!n!(n 1)!

则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．

定理２[10] （带皮亚诺型的余项的Taylor公式） 若函数f在点x0处存在直至n阶导数，则有

n

Pn(x) k 0f(k)(x0)(x x0)k， k!

Rn(x) f(x) Pn(x)．

则当x x0时，Rn(x) ((x x0)n)．即有

f(n)(x0)f(x) f(x0) f (x0)(x x0) ... (x x0)n ((x x0)n) （2.5） n!

定理3所证的（2.5）公式称为函数f(x)在点x0处的泰勒公式，Rn(x) f(x) Pn(x)， 称为泰勒公式的余项的，形如 ((x x0)n)的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式

当（2.5）式中x0 0时，可得到

f (0)2f(n)(0)nf(x) f(0) f (0)x x ... x (xn) （2.6） 2!n!

（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．

由于Rn(x) ((x x0)n)，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．

定理３ 设h 0，函数f(x)在U(x0;h)内具有n 2阶连续导数，且f(n 2)(x0) 0，

f(x)在U(x0;h)内的泰勒公式为

f(n)(x0)nf(n 1)(x0 h)n 1f(x0 h) f(x0) f (x0)h ... h h,0 1 （2.7） n!(n 1)!

则lim h 01． n 2

证明：f(x)在U(x0;h)内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：

f(n)(x0)nf(n 1)(x0)n 1f(n 2)(x0)n 2f(x0 h) f(x0) f (x0)h ... h h h (hn 2) n!(n 1)!(n 2)!

将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出

f(n 1)(x0 h)-f(n 1)(x0)n 1f(n 2)(x0)n 2h h (hn 2)， (n 1)!(n 2)!

从而

f(n 1)(x0 h) f(n 1)(x0)f(n 2)(x0) (hn 2) n 2， (n 1)! h(n 2)!h

令h 0，得

f(n 2)(x0)1(n 2)， lim f(x0) h 0(n 1)!(n 2)!

故lim h 01． n 2

由上面的证明我们可以看得出，当n趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．

第3章 泰勒公式的应用

由于泰勒公式涉及到的是某一定点x0及x0处函数f(x0)及n阶导数值：f (x0)，

f (x0)， ，f(n)(x0)，以及用这些值表示动点x处的函数值f(x)，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．

3.1 应用Taylor公式证明等式

例3.1.1 设f(x)在 a,b 上三次可导，试证： c (a,b)，使得

f(b) f(a) f (a b1)(b a) f (c)(b a)3 224

证明： (利用待定系数法)

设k为使下列式子成立的实数：

f(b) f(a) f (a b1)(b a) k(b a)3 0 （3.1） 224

这时，我们的问题归为证明： c (a,b)，使得：

k f (c) a x1)(x a) k(x a)3，则g(a) g(b) 0． 224令g(x) f(x) f(a) f (

根据罗尔定理， (a,b)，使得g ( ) 0，即：

a a ( a)k) f () ( a)2 0 2228

a 这是关于k的方程，注意到f ( )在点处的泰勒公式： 2f ( ) f (

f ( ) f (a a ( a)1) f () f (c)( a)2 2228

其中 c (a,b)，比较可得原命题成立．

例3.1.2 设f(x)在 a,b 上有二阶导数，试证： c (a,b)，使得

a b1) f (c)(b a)3． （3.2） 224

证明：记x0 baf(x)dx (b a)f(a b，则f(x)在x0处泰勒公式展开式为： 2

f ( )f(x) f(x0) f (x0)(x x0) (x x0)2 （3.3） 2

对（3.3）式两端同时取 a,b 上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项

的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立： c (a,b)，使得

b

af ( )(x x0)2dx f (c) (x x0)2dx ab1f (c)(b a)3 12

因此原命题式成立．

因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证

明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．

3.2 应用Taylor公式证明不等式

例3.4设f(x)在 a,b 上二次可微，f (x) 0，试证： a x1 x2 ... xn b，

ki 0， ki 1，f( kixi) kif(xi)．

i 1i 1i 1nnn

证明：取x0 kixi，将f(xi)在x x0处展开

i 1n

f(xi) f(x0) f (x0)(xi x0) f ( i)(xi x0)2 f(x0) f (x0)(xi x0) 2

n其中 i 1,2,3,...,n ．

以ki乘此式两端，然后n个不等式相加，注意 ki 1

i 1

k xi

i 1ni x0 kixi x0 0 i 1n

得：

k

i 1nif(xi) f(x0) f( kixi)． i 1n

例3.2.2 设f(x)在 0,1 上有二阶导数，当0 x 1时，f(x) 1f (x) 2．试

证：当0 x 1时，f (x) 3．

证明：f(t)在x处的泰勒展开式为：

f(t) f(x) f (a)(t x) f ( )(t x)2 2!

其中将t分别换为t 1，t 0可得：

f(1) f(x) f (x)(1 x) f ( )(1 x)2 （3.4） 2!

f ( )f(0) f(x) f (x)( x) ( x)2 （3.5） 2!

所以（3.4）式减（3.5）式得：

f(1) f(0) f (x) f ( )f ( )2(1 x)2 x 2!2!

从而，

f (x) f(1) f(0) 11f ( )(1 x)2 f ( )x2 2 (1 x)2 x2 2 1 3 22

例3.2.3 设f(x)在 a,b 上二阶可导，f (a) f (b) 0，证明： (a,b)，有

|f ( )| 4|f(b) f(a)|． (b a)2

证明：f(x)在x a，x b处的泰勒展开式分别为：

f ( 1)(x a)2， 1 (a,x) 2!

f ( 2)f(x) f(b) f (b)(x b) (x b)2， 2 (x,b) 2!f(x) f(a) f (a)(x a)

令x a b，则有 2

f ( 1)(b a)2a ba b) （3.6） f() f(a) ， 1 (a,222!4

f ( 2)(b a)2a ba b,b) （3.7） ) f(b) f(， 2 (222!4

（3.7）－（3.6）得：

(b a)2 f ( 2) f ( 1) 0 f(b) f(a) 8

则有

(b a)2(b a)2f ( 2) f ( 1) f(b) f(a) f ( 2) f ( 1) 88

令f ( ) maxf ( 1),f ( 2) ，即有

|f ( )| 4|f(b) f(a)|． 2(b a)

0 x 1例3.2.4 设f(x)二次可微，f(0) f(1) 0 ，maxf(x) 2 ，试证：

minf (x) 16． 0 x 1

证明：因f(x)在 0,1 上连续，故有最大值，最小值．又因maxf(x) 2，0 x 1

f(0) f(1) 0，故最大值在 0,1 内部达到，所以 x0 0,1 使得

f(x0) maxf(x) 0 x 1

于是f(x0)为极大值，由费马定理有：f (x0) 0，

在x x0处按Taylor公式展开： , (0,1)使得：

0 f(0) f(x0)

0 f(1) f(x0) f ( )2x0， （3.8） 2f ( )(1 x0)2． （3.9） 2

因此

4 4 minf(x) min f( ),f( ) min 2, 2 0 x 1(1 x) 0 x0

1 而x0 ,1 时， 2

4 4 4 min 2, 16， 2 2 x0(1 x0) (1 x0)

1 x0 0, 时， 2

4 4 4min 2, 2 16． 2 (1 x) 0 x0 x0

所以，minf (x) 16． 0 x 1

由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公

式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相似，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．

3.3 应用Taylor公式求极限

例3.3.1求limx 0cosx ex4 x22．

解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林

公式展开，则有

x2x4

cosx 1 (x5) 224

e x2

2x2x4 1 (x5) 28

x2

2cosx ex4

(x5) 12

所以，limx 0cosx ex4 x22x4 (x5)1 lim4 ． x 012x

像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复

杂．

例3.3.2 设函数 (x)在 0, 上二次连续可微，如果lim (x)存在，且 (x)在

(x) 0． 0, 上有界，试证：xlim

x x 证明：要证明lim (x) 0，即要证明： 0， 0．当x M时 x ．

利用Taylor公式， h 0，

(x h) (x) (x)h ( )h2 （3.10）

即 12

(x)

x 1 (x h) (x) 1 ( )h （3.11） h2记A lim (x)，因 (x)有界，所以 M 0，使得

(x) M， ( x 0)

故由（3.11）知

1 (x h) A A (x) 1| ( )|h （3.12） h2 (x)

1 0，首先可取h 0充分小，使得Mh ， 然后将h固定，因A lim (x)， x 22

所以 0，当x 时

1 (x h) A A (x) h2

从而由（3.12）式即得： (x)

2

2 ．即

x lim (x) 0

例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程．

（1）y (x 2)(x 1)2；

215（2）y x(cos e2x)． x1

解：（1）首先设所求的渐近线为 y ax b，并令 u 1，则有： x

(1 2u)(1 u) a bu

x u 0u

22(1 u)(1 u) a bu (u)33 limu 0u

1 a bu (u) lim 0u 0u

从中解出：a 1，b 0．所以有渐近线：y x． lim[(x 2)(x 1)2 ax b] lim

（2）设y ax b，u

113231，则有 x u2

2 21cosu e au4 bu552xlim[x(cos e) ax b] limx u 0xu5

u2u4u2u4

(1 )(1 ) au4 bu5 (u5) lim u 0u

0

从中解出：a 1，a 1,b 0． 12

1x． 12所以有渐近线：y

从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．

上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或

者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．

3.4 应用Taylor公式求中值点的极限

例3.4.1[4] 设

(1)f(x)在(x0 ,x0 )内是n阶连续可微函数，此处 0；

(2)当k 2,3,...,(n 1)时，有f(k)(x0) 0 ，但是f(n)(x0) 0；

(3)当0 h 时有

f(x0 h) f(x0) f (x0 h (h))． （3.13） h

其中0 (h) 1，证明：

lim (h) nh 01． n

证明：要求出 (h)的极限必须设法解出 (h)，因此将（3.13）式左边的f(x0 h)

及右端的f (x0 h (h))在x0处展开，注意条件(2)，知 1, 2 (0,1)使得

hn n f(x0 h) f(x0) hf (x0) f(x0 1h)， （3.14） n!

hn 1( (h))n 1

(n)f (x0 h (h)) f (x0) f(x0 2h (h))， （3.15） (n 1)!

于是（3.13）式变为

hn 1

(n)hn 1( (h))n 1

(n)f (x0) f(x0 1h) f (x0) f(x0 2h (h)) n!(n 1)!

从而

(h) n(x0 1h)． (n)nf(x0 2h (h))f(n)

因 1, 2, (h) (0,1)，利用f(n)(x)的连续性，由此可得

lim (h) nh 01． n

这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．

3.5 应用Taylor公式近似计算

由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似

值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．

例3.5.1 求：（1）计算e的值，使其误差不超过10 6；

（2）用泰勒多项式逼近正弦函数sinx，要求误差不超过10 3，以m 2的情形

讨论x的取值范围．

解：(1) 由于ex的麦克劳林的泰勒展开式为： xxne x

e 1 x ... xn 1,0 1 2!n!(n 1)!x2

当x 1时，有

11e

e 1 1 ... 2!n!(n 1)!

e 3故Rn(1) ． 当n 9时，有 (n 1)!(n 1)!

R9(1) 33 10 6 10!3628800

从而省略R9(1)而求得e的近似值为： e 1 1 111 ... 2.718285 2!3!9!

(2) 当m 2时， x3

sinx x ，使其误差满足： 6

x5cos x5R4(x) x 10 3 5!5!

只需x 0.6543（弧度），即大约在原点左右37°29′38″范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过10 3．

3.6 应用Taylor公式求极值

定理3.1 [12] 设f在x0附近有n 1阶连续导数，且

f (x0) f (x0) ... f(n)(x0) 0， f(n 1)(x0) 0

（1）如果n为偶数，则x0不是f的极值点．

（2）如果n为奇数，则x0是f的严格极值点，且当f(n 1)(x0) 0时，x0是f的

严格极小值点；当f(n 1)(x0) 0 时，x0是f的严格极大值点．

证明：将f在x0点处作带皮亚诺型余项的Taylor展开，即：

f(n 1)(x0)f(x) f(x0) (x x0)n 1 ((x x0)n 1) (n 1)!

于是

f(n 1)(x0) ((x x0)n 1) n 1 f(x) f(x0) (x x) 0n 1(x x0) (n 1)!

由于

f(n 1)(x0) ((x x0)n 1) f(n 1)(x0) lim n 1 x x0(n 1)!(x x0) (n 1)!

f(n 1)(x0) ((x x0)n 1)f(n 1)(x0)故 0，(x0 ,x0 )中，与同号． n 1(n 1)!(x x0)(n 1)!

（1）如果n为偶数，则由(x x0)n 1在x0附近变号知，f(x) f(x0)也变号，故x0

不是f的极值点．

（2）如果n为奇数，则n 1为偶数，于是，(x x0)n 1在x0附近不变号，故

f(n 1)(x0)同号． f(x) f(x0)与(n 1)!

若f(n 1)(x0) 0，则f(x) f(x0)， x (x0 ,x0) (x0,x0 )，x0为f的严格

极小值点．

若f(n 1)(x0) 0，则f(x) f(x0)， x (x0 ,x0) (x0,x0 )，x0为f的严格

极大值点．

例3.6.1 试求函数x4(x 1)3的极值．

解：设f(x) x4(x 1)3，由于f (x) x3(x 1)2(7x 4)，因此x 0,1,

三个稳定点．f的二阶导数为 4是函数的7

f (x) 6x2(x 1)(7x2 8x 2)，

44由此得，f (0) f (1) 0及f () 0．所以f(x)在x 时取得极小值． 77

求三阶导数

f (x) 6x(35x3 60x2 30x 4)，

有f (0) 0，f (1) 0．由于n 1 3，则n 2为偶数，由定理3.1知f在x 1不取极值.

再求f的四阶导数

f(4)(x) 24(35x3 45x2 15x 1)，

有f(4)(0) 0．因为n 1 4，则n 3为奇数，由定理3.1知f在x 0处取得极大值．

444336912（）（ ） 综上所述，f(0) 0为极大值，f() 为极小值． 777823543

由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．

3.7 应用Taylor公式研究函数图形的局部形态

定理3.2[12] 设X R为任一非空集合，x0 X，函数f:X R在x0处n阶可

导，且满足条件：f (x0) f (x0) ... f(n 1)(x0) 0，f(n)(x0) 0．

（1）n为偶数，如果f(n)(x0) 0( 0)，则曲线y f(x)在点(x0,f(x0))的邻近

位于曲线过此点的切线的上（下）方．

（2）n为奇数，则曲线y f(x)在点(x0,f(x0))的邻近位于该点切线的两侧，此

时称曲线y f(x)在点(x0,f(x0))处与该点的切线横截相交．

证明：因为f在x0处n阶可导，并且f (x0) f (x0) ... f(n 1)(x0) 0，

f(n)(x0) 0，所以f在x0的开邻域 B (x0, )内的n阶Taylor公式为

f(n)(x0)f(x) f(x0) f (x0)(x x0) (x x0)n ((x x0)n) (x x0) n!

于是

f(n)(x0) ((x x0)n) f(x) f(x0) f (x0)(x x0) (x x0) n (x x0) n!n

由于

f(n)(x0) ((x x0)n) f(n)(x0) lim n x x0n!(x x0) n!

由此可见： 0， x X B (x0, )，有：f(x) f(x0) f (x0)(x x0) 与

f(n)(x0)(x x0)n同号． n!

（1）当n为偶数，

如果f(n)(x0) 0，则

f(x) f(x0) f (x0)(x x0) 0， x X B (x0, )

这就表明在点(x0,f(x0))邻近，曲线y f(x)位于切线y f(x0) f (x0)(x x0)的上方；

如果f(n)(x0) 0，则有

f(x) f(x0) f (x0)(x x0) 0， x X B (x0, )

因此，在点(x0,f(x0))邻近，曲线y f(x)位于切线y f(x0) f (x0)(x x0)的下方．

（2）当n为奇数，这时若f(n)(x0) 0( 0)，则

f(x) f(x0) f (x0)(x x0) 0( 0)， x X B (x0, )

f(x) f(x0) f (x0)(x x0) 0( 0)， x X B (x0, )

由此知，在x0的右侧，曲线y f(x)位于切线y f(x0) f (x0)(x x0)的上（下）

方；而在x0的左侧，曲线y f(x)位于切线y f(x0) f (x0)(x x0)的下（上）方．因此，曲线y f(x)在点(x0,f(x0))处与该点的切线横截相交．

3.8 应用Taylor公式研究线形插值

例3.8.1（线形插值的误差公式） 设f:[a,b] R为实一元函数，l为两点

(a,f(a))与(b,f(b))所决定的线形函数，即l(x) b xx af(a) f(b)，l称为f在b ab a

区间[a,b]上的线形插值．

如果f在区间[a,b]上二阶可导，f在[a,b]上连续，那么，我们可以对这种插值

法带来的误差作出估计．

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