周练五答案

新建一中2012—2013学年度高三补习班上学期数学周练（理科四）

命题：杨国春 时间：2012-10-9 考查范围：集合与简易逻辑 函数与导数 数列 一、选择题

1．若集合M={0，1，2}，N={（x，y）|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为（ ）

A．9 B. 6 C．4 D．2

解：画出集合N所表示的可行域，知满足条件的N中的点只有（0，0）、（1，0）、（1，1）和（2，1）四点，故选C

2．对于数列{an}，“an+1＞|an|（n=1，2，…）”是“{an}为递增数列”的（ B ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解：由an+1＞|an|（n=1，2，）知{an}所有项均为正项， 且a1＜a2＜…＜an＜an+1， 即{an}为递增数列 反之，{an}为递增数列， 不一定有an+1＞|an|（n=1，2，）， 如-2，-1，0，1，2，

3. 曲线y?2sinx?ex?4在x?0处的切线方程为（ ）

A．y?x?5 B．y?x?4 C．y?3x?3 D．y?3x?5

?x2?1,x?[0,1]24. 设函数f(x)??e?2（其中e为自然数对数的底数）?[1,e2，则]?f(x)dx的值为（ ） ?,x0?xA．

163 B．5 C．

133 D．4

5. 给出“等和数列”的定义：从第二项开始，每一项与前一项的和都等于一个常数，这样的数列叫做“等和数列”，这个常数叫做“公和”．已知数列{a1n}为等和数列，公和为

，且a2=1，则a2009=（ C ）

2A．-12 B.

12 C．1 D．2008

6. 若函数f(x)的导数是f′(x)=－x(x+1)，则函数g(x)=f(ax－1)(a<0)的单调减区间是（ ） A．[

1a，0] B．(－∞，0]∪[

11a，＋∞) C．[

2a，

a] D．(－∞，

2a]∪[

1a，＋∞)

7. 数列{a1n}满足a1=2，an+1=? ，则a2010等于（C ）

an?1A．2 B. ?13 C. ?32 D.1

8. 若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)?xf?(x)，则（ ）

A．2f(1)?f(2) B．2f(1)?f(2) C．2f(1)?f(2) D．f(1)?f(2)

?|lgx|,0?x?10,9. 已知函数f(x)???1 若a,b,c互不相等，且f(a)?f(b)?f(c) ，则abc??x?6,x?10.的取值

?2范围是（ ） A．（1,10） B．（5,6） C．（10,12） D．（20,24） 10.已知函数y?1323x?x?8x的图像C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同

于P的两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，则恒有y1?y2为定值y0，那么y0的值为（ ） A．

503 B．

523 C．

263 D．

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3二、填空题

11.对正整数n，设曲线y?xn(1?x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，

则数列?an?的前n项和S1n=________n?2n?__________

12. 已知an=n2+λn，且an+1＞an对一切正整数n恒成立，则λ的取值范围____λ＞-3________ 解：∵an=n2+λn，且an+1＞an对一切正整数n恒成立 ∴数列是一个单调递增的数列， 故f（x）=x2+λx在（1，+∞）上是一个增函数 由于数列是一个离散的函数，故可令???3 得λ＞-3 故λ的取值范围是λ＞-3 2213．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：x→y??x2?2x，对于实数k?B在集合A中存在两个不同的原像，像k的取值范围是______________________． 14. 数列??n(n?4)(2)n??中的最大项为第k项，则k=____4__________

?3?15.给出定义：若

m?1?x?m?1m22（其中为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，

即{x}?m．在此基础上给出下列关于函数f(x)?x?{x}的四个命题： ①f(?1)?1；(?1)?f(1)；?f(x)；22②f(3.4)??0.4；③f44④y的定义域是R，值域是

[?1,1]22．则其中真命题的序号是________ 三、解答题

2

16. 数列{an}前n项和为Sn，且Sn=an+bn+c（a，b，c∈R），已知a1=-28，S2=-52，S5=-100． 19.已知函数f(x)?lnx?ax2?(2?a)x

（1）求数列{an}的通项公式． （2）求使得Sn最小的序号n的值

解：（1）有题意可得 a+b+c=-28 4a+2b+c=-52 25a+5b+c=100 解得a=2，b=-30 ，c=0 ∴Sn=2n2-30n 因为当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n-32 当n=1时，a1=-28，也适合上式． ∴an=4n-32 （2）因为Sn=2n2-30n=2(n?15)2?22522

17. 已知函数g(x)?lnx?(x?1)． （1）求函数g(x)的极大值 （2）求证：ln(n?1)?1(n?N*)nn

因为n是正整数，所以当n=7或8，Sn最小，最小值是-112．（1）讨论f(x)的单调性

（2）设a?0，证明: 0?x?1,?x)?f(1?x)a时。f(1aa

解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）=

1-2ax+(2-a)=-

(2x?1)(ax?1)，

xx①若a＞0，则由f′（x）=0，得x= 1,，且当x∈(0,1) 时，f′（x）＞0，

aa当x∈(1,??)时，f′（x）＜0，所以f（x）在(0,1)单调递增，在(1,??)上单调递减；

aaa②当a≤0时，f（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增； （II）设函数g（x）=f(1?x)?f(1?x)aa ，则g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，

a?a22g′（x）=

1?ax1?ax?2a?2axa22 ，

1?x当x∈(0,1)时，g′（x）＞0，而g（0）=0， a所以g（x）＞0， 故当0＜x＜

1时，f(1?x)?f(1?x)aaa

20.已知函数f(x)满足：对任意x?R,x?0,恒有2f(x)?f(1)?x?2xx成立，数列?an?,?bn?满足：a*)11?1,b1?1,且对任意n?N,均有an?1?anf(an。

f(a1?bn?n)?2, bn?an（1）求函数f(x)的解析式 （2）求数列?an?,?bn?的通项公式

（3）已知对于任意???0,1?, 是否存在k?N*,使得当n?k时，

bn?(1??)f(an),恒成立？若存在，试求k的最小值，若不存在，说明理由。

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