华东理工大学高等数学（下册）第9章作业答案

第9章（之1） （总第44次）

教学内容:§9.1微分方程基本概念

*1． 微分方程2(y??)3?9y?y????5xy7的阶数是 （ ） （A）3； （B）4； （C）6； （D）7． 答案（A）

解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．

*2． 下列函数中的C、?、?及k都是任意常数，这些函数中是微分方程y???4y?0的通解的函数是 （ ） （A）y?3Ccos2x?(12?29C)sin2x； （B）y?Ccos2x(1??sin2x)； （C）y?kCcos2x?1?k2C2sin2x； （D）y?Ccos(2x??)． 答案 （D）

解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A）中的函数只有一个任意常数C；

（B）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；

（C）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C及k，但当令C?kC时，函数就变成了

y?Ccos2x?1?Csin2x，实质上只有一个任意常数；

（D）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．

x?x*3．在曲线族 y?c1e?c2e中，求出与直线y?x相切于坐标原点的曲线．

2解 根据题意条件可归结出条件y(0)?0,y?(0)?1， 由y?c1e?c2e， y??c1e?c2e故c1?

x?xx?x，可得c1?c2?0,c1?c2?1，

111,c2??，这样就得到所求曲线为y?(ex?e?x)，即y?sinhx． 222?d2ydy1??x23?dx2?dx?y?023esinx是初值问题?*4．证明：函数y?的解．

dy32?yx?0?0,x?0?1?dx??x3?2x33esinx?e2cosx， 证明 y???32211 1

?x3?2x33y????esinx?e2cosx，

32211代入方程得

y???y??y?0， 此外

1y(0)?0，y?(0)?1，

?x23故y?3e2sinx是初始值问题的解．

32

*5．验证y?e证明 y??exx?xx0edt?Ce（其中C为任意常数）是方程y??y?ex?x的通解．

22t2x2?0etdt?ex?ex?Cexx?y?ex?x， 即 y??y?ex?x，说明函数确实

22给定方程的解．

另一方面函数y?ex?0etdt?Cex含有一任意常数C，所以它是方程的通解．

2

**6．求以下列函数为通解的微分方程： （1）y?3Cx?1；

解 将等式y?3Cx?1改写为y3?Cx?1，再在其两边同时对x求导，得3y2y??C，代入上式，即可得到所求之微分方程为3xy2y??y3?1． （2）y?C1x?C2． x解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x求两次导数，得

y??C1?C22C2??y?，． 23xx从以上三个式子中消去任意常数C1和C2，即可得到所求之微分方程为

x2y???xy??y?0．

**7．建立共焦抛物线族y?4C(x?C)（其中C为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．

解 在方程y?4C(x?C)两边对x求导有2yy??4C，从这两式中消去常数所求方程为y?y?(2x?yy?)．

22 2

**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线y?y(x)上任一点处的法线都经过坐标原点．

解 任取y?y(x)上的点 (x,y)，曲线在该点处的切线斜率为 y?=所以过点(x,y)的法线斜率为

dy． dx?1?1， 法线方程为Y?y=(X?x)， y?y??1(0?x)从而可得所求微分方程为x?yy??0． y?因为法线过原点，所以0?y?

第9章（之2）（总第45次）

教学内容：§9.2 .1可分离变量的方程； §9.2 .2一阶线性方程

**1．求下列微分方程的通解：

（1）y??x(1?y)；

1?x2解： 分离变量

dyxdxdyxdx??，两边积分?1?y?1?x2， 1?y1?x21Cln(1?x2)?lnC，即y?1?．

221?x得?ln(1?y)?（2）y??x2x?y2e； 2y2解：分离变量2yeydy?xe2xdx，两边积分就得到了通解

2111ey?(xe2x?e2xdx)?(xe2x?e2x)?c．

222?

（3）(2x?1)eyy??2ey?4?0．

eydydx??解： ， y2x?12e?4y111ln(ey?2)??ln(2x?1)?lnC， 222

即 (e?2)(2x?1)?C．

3

**2．试用两种不同的解法求微分方程y??1?x?y?xy的通解．

解法一 （可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易． 分离变量，y??(1?x)(1?y)，

dy?(1?x)dx，并积分 1?y1?dy?(1?x)dx 1?y?x2?x122得?ln(1?y)?x?x?c，所求通解为 y?1?ce．

2解法二 （线性方程的常数变易法）将原方程改写为y??(1?x)y?1?x，这是一个一阶线性非齐次方程．

对应的齐次方程为y??(1?x)y?0，其通解为○1y?Ce代入原非齐次方程得Ce方程的通解

112x?x2．

?12x?x22C?e?1?x，解得○

x2?x1x?x222代入○1即可得原?C，○

y?1?Ce

*3．求解下列初值问题：

2．

1（1）y??，y()??e6．

21?x2解：?y?=

y?y1?x2，?dydx (y?0)， ?2y1?x?dy??ydx1?x2，

?lny?arcsinx?C， ? y?Cearcsinx，

arcsin1??2，?C??1， ? y??earcsinx． ?y()??e，??e?Ce2661

（2）y??2xy?e?x，y(0)?1；

解: ?y??2xy?e?x， ?p(x)?2x，q(x)?e?x，

?2xdx222 ?y(x)?e?

?e?x2e?2xdxdx?C??e?x2?e?x2e?2xdxdx?C??xe?x2?Ce?x2， ?????????? ? y(0)?1， ?1?0?c?c?1， ?y?(x?1)e?x．

2 4

（3）y??ycotx?ecosx，y()?1；

?2 解： ? y??ycotx?ecosx， ?P(x)?coxt，Q(x)?ecosx．

?coxtdx?coxtdxC?ecoxse?dx? ?e?lnsinx(C?ecosxelnsinxdx) ? y?e???????

cosxsinxdx)?(C?ecosx)cscx， ?cscx(C?e? 由y()?1， 可确定 C?2，所以

?2y?(2?ecosx)cscx．

（4）x2dy?(2xy?x?1)dx?0，y解： 方程变形为 y??

2211?xdx??xdx?y?edx? ?c?(?2)exx???x?1?0．

211y??2，是一阶线性非齐次方程，其通解为 xxx? ?1x2c11112?1?12????? c?(?)xdx?c?x?x222????2xxx2??x??x?由 y(1)?0， 得 c?

1111??． ， 所以特解为：y?222x2x**4．求微分方程 ylnydx?(x?lny)dy?0 的通解（提示将x看作是y的函数）． 解：将x看作是y的函数，原方程可化为

dx11?x?，这是一阶线性方程，将其中dyylnyyP(y)?11, Q(y)?代入一阶线性方程求解公式，得通解 ylnyy?11???ylnydy?1?ylnydy?1dy? ?e?ln(lny)?c??eln(lny)dy? x?e?c??eyy?????? ?

1?lny?c1c?dy ???lny2lny． ?lny?y?? 5

解：方程的通解为 y?c1ex?c2x，将初始条件代入，有：

y(0)?c1?1，xy'(0)?c1e?c2?c1?c2?0，c1?1,c2??1，

解得c1,c2为： 所以特解为：

y?ex?x．

**5．设x1(t)是非齐次线性方程

x??(t)?a1(t)x?(t)?a2(t)x(t)?f1(t)(1)

的解．x2(t)是方程

x??(t)?a1(t)x?(t)?a2(t)x(t)?f2(t)x?x1(t)?x2(t)

(2)

的解．试证明 是方程

x??(t)?a1(t)x?(t)?a2(t)x(t)?f1(t)?f2(t)(3)

的解．

解：因为x1(t),x2(t)分别为方程（1）和方程（2）的解，所以

??(t)?a1(t)x1?(t)?a2(t)x1(t)?f1(t)x1x2??(t)?a1(t)x2?(t)?a2(t)x2(t)?f2(t)(1)??(2)?得：

(1)?

(2)?

?x1(t)?x2(t)???a1(t)?x1(t)?x2(t)???a2(t)?x1(t)?x2(t)???即 x?x1(t)?x2(t) 是方程（3）的解．

f1(t)?f2(t)

第9章 （之6）（总第49次）

教学内容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法

**1．解下列问题：

（1）方程y???8y?0的通解为y?_______________．

16

解：y?c1cos22x?c2sin22x．

（2）方程y\?6y'?25y?0的通解为y?_______________． 解：y?e?3x(c1cos4x?c2sin4x)．

（3）方程y???8y??15y?0的通解为y?_______________． 解：y?C1e3x?C2e5x．

（4）方程5y???215y??3y?0的通解为y?_______________． 解：y?e

（3）方程y???6y??py?0的通解为y?ekx(C1cos2x?C2sin2x)，则p?___，

?15x5(C1x?C2)．

k?_____． 解：11，?3．

**2．求解下列初值问题：

（1）y???8y??16y?0,2y(1)?e4,2y?(1)?0；

解：∵??8??16?(??4)?0， ∴?1，2?4，

（2）y???4y??29y?0,通解为：y?(c1?c2x)e．

将初始条件代入，有 y(1)?(c1?c2)e4?e4，

4xy'(1)?c2e4x?4(c1?c2x)e4x?c2e4?4(c1?c2)e4?c2e4?4e4?0

得到：c1?5c2??4，

所以特解为：y?(5?4x)e4x．

y()?1,y?()?3；

22??解：??4??29?0， 通解为：y?e?2x2???4?16?116?4?10i???2?5i，

22(c1cos5x?c2sin5x)．

17

代入初始条件有： y()?e???2(0?c2)?1?c2?e?，

y?()??2e??2x2(c1cos5x?c2sin5x)?e?2x(?5c1sin5x?5c2cos5x)，

得：c1??e?． 特解为：y?e??2x(?cos5x?sin5x)．

（3）y???4y??3y?0,2y(0)?6,y?(0)?10；

解： ??4??3?0， (??1)(??3)?0， 所以通解为 y?c1e?x?c2e?3x． 代入初始条件有：

y(0)?c1?c2?6，

y'(0)??c1e?x?3c2e?3x??c1?3c2?10，

特解为：y?14e?x?8e?3x．

**3．求解初值问题

x??y??2y??ydx?10??y(0)?1?x?0 y???2y??y?0

解：将原方程对x求导得

且有

(1)

y?(0)?1?2y(0)??1

微分方程（1）的通解为：

y?e?x(C1x?C2)，

代入初始条件y(0)?1,y?(0)??1，得C1?0,C2?1， 故所求问题的解为：y?e

***4．设函数?(x)二阶连续可微，且满足方程?(x)?1?解：原方程关于x求导得

?(x?u)?(u)du，求函数?(x)．

0x?x．

??(x)??(u)du?x?(x)?x?(x)??(u)du,??(0)?0，

00?x?x?(0)?1，再求导得： ???(x)??(x)， 且由原方程还有：

微分方程的通解为：

?(x)?C1ex?C2e?x，

18

代入条件?(0)?1,??(0)?0，得C1?C2?故所求函数为： ?(x)?1， 21x(e?e?x)?chx． 2

***5．长为100cm的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．

解：设链条单位长度的质量为?，则链条的质量为100?．再设当时刻 t 时，链条的下端距桌面的距离为x(t)，则根据牛顿第二定律有：

d2xd2xg?x?0． 100?2??gx， 即 2100dtdt又据题意知：x(0)?20， x?(0)?0，所以 x(t) 满足下列初值问题：

?d2xgx?0?2? ?dt 100?x(0)?20，x?(0)?0?g解得方程的通解为：x?c1e10t?c2e?g10t．

?x?0??20?c1?10??又因为有初始条件： ?'

c?10?2?x?0??0g所以 x?10e10t?10e?g10t．

gt?g10t又当链条全部从桌子边缘滑下时，x?100，求解t，得：100?10e10?10e即： ch，

gt?5， 10t?10garch5．

***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期． 解：取物体的平衡位置为坐标原点，x轴竖直向下，设t时刻物体m位于x(t)处，由牛

顿第二定律：

d2x22?2g?g(x?2)??gx ， dt其中g?980厘米/秒2 其解为：

x?C1cosggt?C2sint， 22振动周期为 T?2?

22???0.28． g49019

第9章 （之7）（总第50次）

教学内容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法； §9.4.4高阶线性常系数微分方程 **1．微分方程y???y?xsinx的一个特解应具有形式 （ ）

（A）(Ax?B)sinx

（B）x(Ax?B)sinx?x(Cx?D)cosx （C）x(Ax?B)(cosx?sinx) （D）x(Ax?B)(Csinx?Dcosx) 解：（B）

**2．设A,B,C,D是待定常数，则微分方程y???y?x?cosx的一个特解应具有形式 （ ）

（A）Ax?B?Ccosx

（B）Ax?B?Ccosx?Dsinx

（C）Ax?B?x(Ccosx?Dsinx) （D）Ax?B?Cxcosx 答：（C）

**3．求下列非齐次方程的一个解 （1）y???y??2y?2x?1； 解：∵ ????2?0，

2∴?1,2?2,?1， ?0不是特征根．

设 yp?b1x?b0， 代入原方程，得：?b1?2b1x?2b0?2x?1， 有：b0?0,b1?1，

?x特解为：y??x．

（2）y???2y??y?e． 解： ∵ ?1 是二重特征根，

∴ 设 yp?xeb0， y?p?2xeb0?xeb0，

2?x?x2?x??2e?xb0?x2e?xb0?2xe?xb0?x2e?xb0， y?p?x代入 y''?2y'?y?e

特解为：y?， 解得：b0?1， 212?xxe． 220

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