2012年山西省高三第四次四校联考数学试卷及答案（理科）

命题： 长治二中 临汾一中 康杰中学 忻州一中

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的)

1. 已知z?1?i(i为虚数单位）,z2?2z? A. ?1?i B. ?1?i C. 1?i D. 1?i 2. 各项都是正数的等比数列{an}中,a1?2,a6?a1a2a3，则公比q? A.

2 B. 2 C. 3 D. 3

?3.

?2??(1?cosx)dx?

2A. ??2 B. 2 C. ??2 D. ?

4. 若(x+1x)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于 A. 8 B. 16 C. 80 D. 70

5. 函数f(x)???2x,x?0log，若f(a)?1，则实数a的值是

?2x,x?02 A. ?2 B.

2 C.

?1或12 D. ?1或2

6. 命题p：?x?R,使得3x?x；命题q：若函数y?f(x?1)为

函数y?f(x) 关于直线x?1对称

A. p?q真 B. p?q真 C. ?p真 D. ?q假

7. 执行右图所给的程序框图，则运行后输出的结果是 A. 3 B. ?3 C. ?2 D. 2

?x?y?5?08. 由不等式组??y?5围成的三角形区域有一个外接圆，

??0?x?2随机取一点，该点落在三角形内的概率是

A.

2 B. （3-22）? C. 1 D.

1??2? 9. 已知A、B、C是圆O：x2?y2?1上三点，且???OA?????OB?????OC?,则???AB?????OA?=

[来源学科网ZXXK]

偶函数，则

在该圆内

A. ?3333 B. C. ? D.

2222[来源:Z+xx+k.Com]10. 已知三棱锥O?ABC中，A、B、C三点在以O为球心的球面上， 若AB?BC?1，

?ABC?1200，三棱锥O?ABC的体积为

A.

5，则球O的表面积为 432? B. 16? C. 64? D. 544? 3a1111. 已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为

a10

A. 11 B. 19 C. 20 D. 21

a2x2y22212. 过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点F(?c,0)(c?0)，作圆：x?y? 的切线，切点为E，

4ab????1????????延长FE交双曲线右支于点P，若OE?(OF?OP)，则双曲线的离心率为

2 A.

10 2B.

10 5C.

10

D.

2 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 若sin(?4??)?1,则sin2?=___________. 314. 已知A,B为抛物线y2?4x上不同两点，且直线AB倾斜角为锐角，F为抛物线焦点，若FA??4FB, 则直线AB斜率为 .

15. 某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，积为 _____

[来源:学科网ZXXK]

何体的体

侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则这个几

?21??x?x,x?0,16. 已知函数f(x)??若函数2??ln(x?1),x?0,y?f(x)?kx有三个零点，则k的取值范围为 . 新 课标 第一网

三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17.（本小题满分12分）

?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

(1) 求角A；

bc?tanA. 222b?c?a (2) 设函数f(x)?sinx?2sinAcosx,将函数y?f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1?，把所得图象向右平移个单位，得到函数y?g(x)的图象，求函数y?g(x)的对称中心26及单调递增区间. www.x kb1.c om 18.（本小题满分12分）

在三棱锥M?ABC中，AB?2AC?2,MA?MB?面ABC，S为BC的中点. (1) 证明：CM?SN；

5，AB?4AN，AB?AC,平面MAB?平2平面CMN所成角的大小. (2) 求SN与

19.（本小题满分12分）

某单位为了提高员工素质，举办了一场跳绳比赛，12人，女员工18人，其成绩编成如图所示的茎叶图（单数在175分以上（含175分）者定为“运动健将”，并给励，其他人员则给予“运动积极分子”称号.

⑴ 若用分层抽样的方法从“运动健将”和“运动积极分

10人，然后再从这10人中选4人，求至少有1人是“运动健将”的概率；

⑵ 若从所有“运动健将”中选3名代表，用?表示所选代表中女“运动健将”的人数，试写出?的分布列，并求?的数学期望.

子”中抽取其中男员工位：分），分予特别奖

第四次四校联考理科数学试题 第 3 页 共 8 页

20.（本小题满分12分）

x2y222已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点Q(1，）．

ab22 （1) 求椭圆C的方程；

(2) 若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P点在直线x?y?1?0 上，且满足OA?OB?tOP (O为坐标原点），求实数t的最小值． 21.（本小题满分12分）

设函数f(x)?ax2?xlnx?(2a?1)x?a?1(a?R). ⑴ 当a?0时,求函数f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程； ⑵ 对任意的x?[1,??)函数f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围.

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22. (本题满分10分)选修4-1：几何证明与选讲

如图，?ABC为直角三角形，?ABC?90，以AB交AC于点E，点D是BC边的中点，连OD交圆O于⑴ 求证：O,B,D,E四点共圆； ⑵ 求证：2DE?DM?AC?DM?AB. 23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

2?为直径的圆点M.

3?x??1?t?5在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为?(t为参数）.若以坐标原点O为极点，x轴正

4?y??1?t5??半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为??2sin(??).

4 (1) 求曲线C的直角坐标方程;

(2) 求直线l被曲线C所截得的弦长.

24.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 函数f(x)?|x?1|?|x?2| ⑴ 画出函数y?f(x)的图象；

⑵ 若不等式|a?b|?|a?b|?|a|f(x)(a?0,a,b?R)恒成立，求实数x的范围.

高三第四次四校联考理科数学答案

1-5. CBADD 6-10. ABCAC 11-12. BA 13.?71604?1? 14. 15. 16.?,1?

339?2?

19.解：（1）根据茎叶图，有“运动健将”12人，“运动积极分子”18人------------1分 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为运动积极分子有18?

1011?，所以选中的运动健将有12??4人， 30331?6人 -----------------3分 34C6113设事件A：至少有1名‘运动健将’被选中，则P(A)?1?4?1??

1414C10 -----------5分

（2）由茎叶图知男“运动健将有”8人，女“运动健将”有4人，故?的取值为0,1,2,3 ------------7分

1123C8314C82C4C8C412C4281P(??0)?3?,P(??1)?3?,P(??2)?3?,P(??3)?3?5555C1255C12C12C1255

----------9分

?的分布列为：

0 ? P 1[来源:Zxxk.Com] 2 3 14 5528 5512 551 55---------------10分

E??0?1428121?1??2??3??1 -------------- 12分 55555555

22. 解：（1）连接BE，则BE?EC ----------------1分 又D是BC的中点，所以DE?BD ----------------3分

?又OE?OB,OD?OD，所以?ODE??ODB，所以?OBD??OED?90

故D,E,O,B四点共圆. -------------5分

(2) 延长DO交圆于点H，?DE2?DM?DH?DM?(DO?OH)?DM?DO?DM?OH

------------8分

11?DE2?DM?(AC)?DM?(AB)，即2DE2?DM?AC?DM?AB--------10分

22

⑶

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