2017年江苏省徐州市中考数学试卷（含答案）

2017年江苏省徐州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．﹣5的倒数是（ ） A．﹣5 B．5

C． D．

2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

3．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（ ）

A．7.1×107 B．0.71×10﹣6 C．7.1×10﹣7 4．下列运算正确的是（ ）

A．a﹣（b+c）=a﹣b+c B．2a2?3a3=6a5 C．a3+a3=2a6

D．（x+1）2=x2+1

D．71×10﹣8

5．在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 人数 0 4 1 12 2 16 3 17 4 1 关于这组数据，下列说法正确的是（ ）

A．中位数是2 B．众数是17 C．平均数是2 D．方差是2

6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）

A．28° B．54° C．18° D．36°

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）与y=（m≠0）的图

象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞的解集为（ ）

A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0或x＞2 C．x＞2 D．x＜﹣6或0＜x＜2

8．若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ） A．b＜1且b≠0

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．4的算术平方根是 ．

10．如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为 ．

B．b＞1

C．0＜b＜1 D．b＜1

11．使有意义的x的取值范围是 ．

12．反比例函数y=的图象经过点M（﹣2，1），则k= ． 13．△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC= ． 14．已知a+b=10，a﹣b=8，则a2﹣b2= ． 15．正六边形的每个内角等于 °．

16．如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB=BC=2，则∠AOB= °．

17．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP= ．

18．如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为 ．

三、解答题（本大题共10小题，共86分） 19．计算：

（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+20170 （2）（1+

）÷

．

20．（1）解方程： =（2）解不等式组：

．

21．某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，随机抽查部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己最喜欢的一个版面，将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）该调查的样本容量为 ，a= %，“第一版”对应扇形的圆心角为 °；

（2）请你补全条形统计图；

（3）若该校有1000名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数． 22．一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1，﹣3，﹣5，7，这些卡片数字外都相同，小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的数字符号相同的概率．

23．如图，在?ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．

（1）求证：四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠A=50°，则当∠BOD= °时，四边形BECD是矩形．

24．4月9日上午8时，2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：

根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 25．如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB． （1）线段DC= ； （2）求线段DB的长度．

，将线段AC绕点A按逆时

26．如图①，菱形ABCD中，AB=5cm，动点P从点B出发，沿折线BC﹣CD﹣DA运动到点A停止，动点Q从点A出发，沿线段AB运动到点B停止，它们运动的速度相同，设点P出发xs时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与x之间的函数关系如图②所示，其中OM，MN为线段，曲线NK为抛物线的一部分，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）当1＜x＜2时，△BPQ的面积 （填“变”或“不变”）； （2）分别求出线段OM，曲线NK所对应的函数表达式； （3）当x为何值时，△BPQ的面积是5cm2？

27．如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点．

（1）探求AO到OD的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点． ①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；

②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值= ．

28．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为

，P为⊙C上一动点．

（1）点B，C的坐标分别为B（ ），C（ ）；

（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值= ．

2017年江苏省徐州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．﹣5的倒数是（ ） A．﹣5 B．5

C． D．

【考点】17：倒数．

【分析】根据倒数的定义可直接解答． 【解答】解：﹣5的倒数是﹣； 故选D．

2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意． 故选：C．

3．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（ ）

A．7.1×107 B．0.71×10﹣6 C．7.1×10﹣7 【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，

D．71×10﹣8

与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：数字0.00000071用科学记数法表示为7.1×10﹣7， 故选：C．

4．下列运算正确的是（ ）

A．a﹣（b+c）=a﹣b+c B．2a2?3a3=6a5 C．a3+a3=2a6

D．（x+1）2=x2+1

【考点】49：单项式乘单项式；44：整式的加减；4C：完全平方公式．

【分析】根据去括号，单项式的乘法，合并同类项以及完全平方公式进行解答．

【解答】解：A、原式=a﹣b﹣c，故本选项错误； B、原式=6a5，故本选项正确； C、原式=2a3，故本选项错误； D、原式=x2+2x+1，故本选项错误； 故选：B．

5．在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 人数 0 4 1 12 2 16 3 17 4 1 关于这组数据，下列说法正确的是（ ）

A．中位数是2 B．众数是17 C．平均数是2 D．方差是2 【考点】W7：方差；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．

【分析】先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案．

【解答】解：解：察表格，可知这组样本数据的平均数为： （0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=

；

∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是3；

∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2， ∴这组数据的中位数为2， 故选A．

6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）

A．28° B．54° C．18° D．36° 【考点】M5：圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．

【解答】解：根据圆周角定理可知， ∠AOB=2∠ACB=72°， 即∠ACB=36°， 故选D．

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）与y=（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞的解集为（ ）

A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0或x＞2 C．x＞2 D．x＜﹣6或0＜x＜2

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】根据函数的图象和交点坐标即可求得结果．

【解答】解：不等式kx+b＞的解集为：﹣6＜x＜0或x＞2， 故选B．

8．若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ） A．b＜1且b≠0

B．b＞1

C．0＜b＜1 D．b＜1

【考点】HA：抛物线与x轴的交点．

【分析】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．

【解答】解：∵函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点， ∴

解得b＜1且b≠0． 故选：A．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．4的算术平方根是 2 ． 【考点】22：算术平方根．

【分析】依据算术平方根的定义求解即可． 【解答】解：∵22=4， ∴4的算术平方根是2． 故答案为：2．

10．如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为

．

，

【考点】X4：概率公式．

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：∵共6个数，小于5的有4个， ∴P（小于5）==． 故答案为：． 11．使

有意义的x的取值范围是 x≥6 ．

【考点】72：二次根式有意义的条件．

【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：∵

有意义，

∴x的取值范围是：x≥6． 故答案为：x≥6．

12．反比例函数y=的图象经过点M（﹣2，1），则k= ﹣2 ． 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】直接把点M（﹣2，1）代入反比例函数y=，求出k的值即可． 【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点M（﹣2，1）， ∴1=﹣，解得k=﹣2． 故答案为：﹣2．

13．△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC= 14 ． 【考点】KX：三角形中位线定理．

【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，BC=2DE，进而由DE的值求得BC．

【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AC和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵DE=7， ∴BC=2DE=14． 故答案是：14．

14．已知a+b=10，a﹣b=8，则a2﹣b2= 80 ． 【考点】4F：平方差公式．

【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2， ∴a2﹣b2=10×8=80， 故答案为：80

15．正六边形的每个内角等于 120 °． 【考点】L3：多边形内角与外角．

【分析】根据多边形内角和公式即可求出答案．

【解答】解：六边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°， ∴正六边形的每个内角为：故答案为：120°

16．如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB=BC=2，则∠AOB= 60 °．

=120°，

【考点】MC：切线的性质．

【分析】由垂径定理易得BD=1，通过解直角三角形ABD得到∠A=30°，然后由切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质可以求得∠AOB的度数． 【解答】解：∵OA⊥BC，BC=2， ∴根据垂径定理得：BD=BC=1． 在Rt△ABD中，sin∠A=∴∠A=30°．

∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠ABO=90°． ∴∠AOB=60°． 故答案是：60．

17．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP= ．

=．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LB：矩形的性质． 【分析】先根据勾股定理得到AC的长，再根据AQ=AD，得出CP=CQ=2，进而得到BP的长，最后在Rt△ABP中，依据勾股定理即可得到AP的长． 【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3=BC， ∴AC=5，

又∵AQ=AD=3，AD∥CP，

∴CQ=5﹣3=2，∠CQP=∠AQD=∠ADQ=∠CPQ， ∴CP=CQ=2， ∴BP=3﹣2=1， ∴Rt△ABP中，AP=

==，

故答案为：．

18．如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为

．

【考点】KW：等腰直角三角形．

【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．

【解答】解：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB=1， ∴AA1=OA=1，OA1=

OB=

；

∵△OA1A2为等腰直角三角形， ∴A1A2=OA1=

，OA2=

OA1=2；

∵△OA2A3为等腰直角三角形， ∴A2A3=OA2=2，OA3=

OA2=2

；

∵△OA3A4为等腰直角三角形， ∴A3A4=OA3=2

，OA4=

OA3=4．

∵△OA4A5为等腰直角三角形， ∴A4A5=OA4=4，OA5=

OA4=4

，

∵△OA5A6为等腰直角三角形， ∴A5A6=OA5=4∴OAn的长度为故答案为：

，OA6=．

OA5=8．

三、解答题（本大题共10小题，共86分） 19．计算：

（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+20170 （2）（1+

）÷

．

【考点】6C：分式的混合运算；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．

【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂可以解答本题； （2）根据分式的加法和除法可以解答本题． 【解答】解：（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+20170 =4﹣2+1 =3； （2）（1+===x﹣2．

20．（1）解方程： =（2）解不等式组：

）÷

．

【考点】B3：解分式方程；CB：解一元一次不等式组．

【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】解：（1）=

，

去分母得：2（x+1）=3x， 解得：x=2，

经检验x=2是分式方程的解， 故原方程的解为x=2；

（2）

由①得：x＞0； 由②得：x＜5，

，

故不等式组的解集为0＜x＜5．

21．某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，随机抽查部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己最喜欢的一个版面，将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）该调查的样本容量为 50 ，a= 36 %，“第一版”对应扇形的圆心角为 108 °；

（2）请你补全条形统计图；

（3）若该校有1000名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数． 【考点】VC：条形统计图；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．

【分析】（1）设样本容量为x．由题意=10%，求出x即可解决问题； （2）求出第三版”的人数为50﹣15﹣5﹣18=12，画出条形图即可； （3）用样本估计总体的思想解决问题即可．

【解答】解：（1）设样本容量为x． 由题意=10%， 解得x=50， a=

×100%=36%，

=108°

第一版”对应扇形的圆心角为360°×故答案分别为50，36，108．

（2）“第三版”的人数为50﹣15﹣5﹣18=12， 条形图如图所示，

（3）该校有1000名学生，估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数约为1000××100%=240人．

22．一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1，﹣3，﹣5，7，这些卡片数字外都相同，小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的数字符号相同的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法．

【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两人抽到的数字符号相同的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两人抽到的数字符号相同的结果数为4， 所以两人抽到的数字符号相同的概率=

23．如图，在?ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．

（1）求证：四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠A=50°，则当∠BOD= 100 °时，四边形BECD是矩形．

=．

【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．

【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB=CD， ∴∠OEB=∠ODC， 又∵O为BC的中点， ∴BO=CO，

在△BOE和△COD中，∴△BOE≌△COD（AAS）； ∴OE=OD，

∴四边形BECD是平行四边形；

（2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，

，

∴∠BCD=∠A=50°， ∵∠BOD=∠BCD+∠ODC， ∴∠ODC=100°﹣50°=50°=∠BCD， ∴OC=OD，

∵BO=CO，OD=OE， ∴DE=BC，

∵四边形BECD是平行四边形， ∴四边形BECD是矩形； 故答案为：100．

24．4月9日上午8时，2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：

根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 【考点】9A：二元一次方程组的应用．

【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁， 根据题意得：解得：

．

，

答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．

25．如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB． （1）线段DC= 4 ；

，将线段AC绕点A按逆时

（2）求线段DB的长度．

【考点】R2：旋转的性质．

【分析】（1）证明△ACD是等边三角形，据此求解；

（2）作DE⊥BC于点E，首先在Rt△CDE中利用三角函数求得DE和CE的长，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求解． 【解答】解：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴DC=AC=4． 故答案是：4；

（2）作DE⊥BC于点E． ∵△ACD是等边三角形， ∴∠ACD=60°， 又∵AC⊥BC，

∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣60°=30°， ∴Rt△CDE中，DE=DC=2， CE=DC?cos30°=4×∴BE=BC﹣CE=3

=2=， ． =

=

．

﹣2

∴Rt△BDE中，BD=

26．如图①，菱形ABCD中，AB=5cm，动点P从点B出发，沿折线BC﹣CD﹣DA运动到点A停止，动点Q从点A出发，沿线段AB运动到点B停止，它们运动的速度相同，设点P出发xs时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与x之间的函数关系如图②所示，其中OM，MN为线段，曲线NK为抛物线的一部分，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）当1＜x＜2时，△BPQ的面积 不变 （填“变”或“不变”）； （2）分别求出线段OM，曲线NK所对应的函数表达式； （3）当x为何值时，△BPQ的面积是5cm2？

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）根据函数图象即可得到结论；

（2）设线段OM的函数表达式为y=kx，把（1，10）即可得到线段OM的函数表达式为y=10x；设曲线NK所对应的函数表达式y=a（x﹣3）2，把（2，10）代入得根据得到曲线NK所对应的函数表达式y=10（x﹣3）2； （3）把y=5代入y=10x或y=10（x﹣3）2即可得到结论．

【解答】解：（1）由函数图象知，当1＜x＜2时，△BPQ的面积始终等于10， ∴当1＜x＜2时，△BPQ的面积不变； 故答案为：不变；

（2）设线段OM的函数表达式为y=kx， 把（1，10）代入得，k=10， ∴线段OM的函数表达式为y=10x；

设曲线NK所对应的函数表达式y=a（x﹣3）2， 把（2，10）代入得，10=a（2﹣3）2， ∴a=10，

∴曲线NK所对应的函数表达式y=10（x﹣3）2；

（3）把y=5代入y=10x得，x=，

把y=5代入y=10（x﹣3）2得，5=10（x﹣3）2， ∴x=3±∵3+

，

＞3，

，

时，△BPQ的面积是5cm2．

∴x=3﹣

∴当x=或3﹣

27．如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点． （1）探求AO到OD的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点． ①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；

②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值=

．

【考点】RB：几何变换综合题．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根据直角三角形的性质即可得到结论；

（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等边三角形，得到BN=BD=，于是得到结论；

（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：（1）AO=2OD， 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°， ∴AO=OB， ∵BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴∠BDO=90°， ∴OB=2OD， ∴OA=2OD；

（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P， 则此时PN+PD的长度取得最小值， ∵BE垂直平分DD′， ∴BD=BD′， ∵∠ABC=60°，

∴△BDD′是等边三角形， ∴BN=BD=， ∵∠PBN=30°， ∴

=

， ；

∴PB=

（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′， 连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．

根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°， ∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形， ∴∠D′BQ′=90°， ∴在Rt△D′BQ′中，

D′Q′==．

，

∴QN+NP+PD的最小值=故答案为：

．

28．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为

，P为⊙C上一动点．

（1）点B，C的坐标分别为B（ 3，0 ），C（ 0，﹣4 ）；

（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=

．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标，令x=0可求得C点坐标；

（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2=2的性质得到于是得到FP2=

=

，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形=2，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=3﹣x，CF=2x﹣4，

，求得P2（

，﹣

），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H

，EP2=

⊥y轴于H，同理求得P1（﹣1，﹣2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；

（3）如图2，当PB与⊙C相切时，OE的值最大，过E作EM⊥y轴于M，过P=作PF⊥y轴于F，根据平行线等分线段定理得到ME=（OB+PF）OF=

，根据勾股定理即可得到结论．

OM=MF=，

【解答】解：（1）在y=x2﹣4中，令y=0，则x=±3，令x=0，则y=﹣4， ∴B（3，0），C（0，﹣4）； 故答案为：3，0；0，﹣4；

（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形，

①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图（2）a， 连接BC， ∵OB=3．OC=4， ∴BC=5， ∵CP2⊥BP2，CP2=∴BP2=2

，

，

过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F， 则△CP2F∽△BP2E，四边形OCP2B是矩形， ∴

=

=2，

设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，

∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4， ∴∴x=∴FP2=∴P2（

=

=2， ，2x=，EP2=，﹣

， ， ），

过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H， 同理求得P1（﹣1，﹣2），

②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形， 过P4作P4H⊥y轴于H， 则△BOC∽△CHP4， ∴∴CH=∴P4（

=

=

， ， ﹣4）； ，

﹣4）；

，﹣

）或（

，﹣

﹣4）

，P4H=，﹣

同理P3（﹣

综上所述：点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（或（﹣

，﹣4）；

（3）如图（3），当PB与⊙C相切时，PB与y 轴的距离最大，OE的值最大， ∵过E作EM⊥y轴于M，过P作PF⊥y轴于F， ∴OB∥EM∥PF， ∵E为PB的中点， ∴ME=（OB+PF）=∴OE=故答案为：

=．

，OM=MF=OF=．

，

2017年6月29日

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pkcw.html