2013级硕士研究生数值分析期末考试试卷及答案（推荐文档）

2013级硕士研究生试卷（数值分析，参考答案）

（A卷）

一、 填空题（每空2分，共40分）

1．要使17的相对误差不超过0.1%，应取 4 位有效数字。

2．设f(x)?x在

3??1,1?上的最佳二次逼近多项式为

13)?f(1333 x，最佳平方逼近二次多项式为 x。

453．求积公式

?1?1f(x)dx?f(?)至少具有_ 3 次代数精度。

4．解线性方程组

Ax?b的SOR迭代法收敛，则松弛因子?有 0???2，设

A?D?L?U,建立迭代公式x(k?1)?L?x(k)?f，写出逐次超松弛迭代法

L??(D??L)?1((1??)D??U)。

5．A???10099?，其条件数Cond(A)2? 39205 ，Cond(A)?? 39601 。 ??9998?14，||X||?= 3。

6．设X?(1,?3,2)，计算向量X的范数，||X||1= 6，||X||2?

7．求方程x?cosx根的牛顿迭代格式是

xk?1?xk?xk?cosxk ，其收敛阶= 2。 弦截法

1?sinxk迭代格式是

xk?1?xk?xk?cosxk(xk?xk?1)，其收敛阶= 1.618。

xk?xk?1?cosxk?cosxk?1?a?x3?x2,0?x?18．S(x)??3是以0，1，2为节点的三次样条函数， 22x?bx?cx?1,1?x?2?则a= 0 ，b= -2 ，c= 3 。

??1?24?2????19．对矩阵A??1?15?作LU分解，其L???2?41?2?????2?0173??0??24?2???0?，U??0?36?。 ??00?12????1??二、计算题（每题10分，共50分）

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1．求出一个次数不高于4次的插值多项式P(x)，使它满足P(0)?f(0)?0,

P'(0)?f'(0)?0,f??(0)?P??(0)?0，f(1)?P'(1)?1,f?(1)?P'(1)?1，并写出余项表

达式（要有推导过程）。

解：由题意P(0)?P'(0)?P??(0)?0知，P(x)以x?0为三次重根，所以可设

P(x)?x3(ax?b)，由插值P(1)?P'(1)?1条件得

??a?b?1,3所以得a??2,b?3，故P(x)?x(?2x?3)，

?4a?3b?132332设?(t)?f(t)?P(t)?K(x)t(t?1)?f(t)?t(?2t?3)?K(x)t(t?1)

由?(0)?0,??(0)?0,???(0)?0,?(1)?0,??(1)?0,?(x)?0,反复用罗尔定理得在(0,1)上

存在x??，使?(5)(?)?0,即f(5)f(5)(?)(?)?5!K(x)，则K(x)?，所以

5!f(5)(?)3f(5)(?)32f(x)?x(?2x?3)?x(x?1)，余项为x(x?1)2。

5!5!32．给定积分I?sinx?0xdx

1（1）利用复合梯形公式计算上述积分值，问区间[0,1]应分成多少等分才能使其截断误差不超过

1?10?3； 2（2）取同样的求积结点，改用复合Simpson公式计算时，截断误差是多少？

1sinx??cos(xt)dt，所以 解：由于f(x)?0xk1d(k)f(x)??cos(xt)dt?0dxk?10tkcos(xt?k?)dt 2故

|f(k)(x)|??tk|cos(xt?011k?1)|dt??tkdt?

02k?1（1）对复合梯形公式，有

(b?a)311??|R[f]|?|f(?)|?

12n212n23为了使截断误差不超过

1?10?3，只须18n2≥1000，解得n≥7.5。故用复合梯形公式计算2时，取8等分即可。

（2）将区间[0，1]8等分，改用复合Simpson 公式，由于h = 1/4=0.25，由于

b?a?h?1141(4)–7

=1/3686400≈2.7127×10 |R[f]|?|f(?)|?()??180?2?18085

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?10a0???3. 设A?b10b，detA?0，用a,b表示解线性方程组Ax?f的雅可比迭代法与????0a5??高斯-塞德尔迭代收敛的充分必要条件。

??0?b?1解：雅可比迭代法BJ?D(L?U)????10??0???a100?a10?0??3abb?), ?,|?I?BJ|??(?2??10010?0????(BJ)?3|ab|100，则雅可比迭代法的充分必要条件是|ab|?。 103a?0??10?ab高斯-塞德尔迭代法BG?(D?L)?1U??0?100?2a?0?b?500??0??3abb), ??,|?I?BG|??2(???10010?ab?50???(BG)?

3|ab|100，则高斯-塞德尔迭代法的充分必要条件是|ab|?。 10034. 已知如下实验数据(xi,yi),i?0,1,?,4, 用最小二乘法求形如y?a?bx2的经验公式。

xi yi 解：设

19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 X?x2,Y?yXi Yi ，则数据表变为

361 19.0 625 32.3 961 49.0 1444 73.3 1936 97.8 ?5a?b?Xi??Yi5a?5327b?271.4??则由方程?2，即?5327a?7277699b?369321.5 aX?bX?XY??i?ii???i 解得

a?0.973,b?0.05经验公式为 y?0.973?0.05x ，所以

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2?y??x2?x?y5. 用梯形公式解初值问题 ?y(0)?0?取步长h = 0.1, 计算到x?0.3。 解：梯形法公式yn?1?yn?(1?x?2)

h(f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1))，计算 2y(0.1)?y1?0.0052,y(0.2)?y2?0.0214,y(0.3)?y3?0.0494。

三、证明题（共10分）

*设x??(x), 在x的某个邻域R内??(x)连续, 并且|??(x)|?q?1,x?R,则对任何

***x0?R ,证明：（1）由迭代xk?1??(xk)决定的序列{xk}收敛于x；（2）误差估计

qk|xk?x|?|x1?x0|.

1?q*证明：

xk?x*??(xk?1)??(x*)???(?)(xk?1?x*),

**k*所以 |xk?x|?q|xk?1?x|???q|x0?x|, 则

*x?x； klimk??|xk?1?xk|?|?(xk)??(xk?1)|?q|xk?xk?1|?同样

?qk|x1?x0|

|xk?p?xk|?|xk?p?xk?p?1|?|xk?p?1?xk?p?2|???|xk?1?xk|?(qk?p?1?qk?p?2qk???q)|x1?x0|?|x1?x0|1?qk

当p??，则得

limxp??k?pqk|x1?x0|。 ?x，即|xk?x|?1?q**

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