第八章第5讲直线、平面垂直的判定与性质

第5讲 直线、平面垂直的判定与性质

条件 a⊥b，b?α(b为α内的任意直线) 判定 a∥b，a⊥α a⊥α，b?α 性质 a⊥α，b⊥α

2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 判 如果一个平面经过另定 一个平面的一条垂线，定 那么这两个平面互相理 垂直 3.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 a∥b a⊥b b⊥α a⊥m，a⊥n，m、n?α，m∩n＝O a⊥α 结论 a⊥α

1．直线与平面垂直 图形 图形语言 符号语言 l?β????α⊥β ?l⊥α?图形语言 符号语言 性质定理 α⊥β?α∩β＝a?? l?β??l⊥a?l⊥α 4.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．

π0，?. (2)线面角θ的范围：θ∈??2?5．二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

(2)二面角的平面角：过二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

1．三种垂直关系的转化

2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

1．(必修2 P65例1、P72例4改编)设m、n表示直线，α、β表示平面，下列命题为真命题的是( )

A．若m⊥α，α⊥β，则m∥β B．m∥α，m⊥β，则α⊥β C．若m⊥n，m⊥α，则n∥α D．m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

解析：选B.对于A，m可以在β内，故A错；对于C，n可以在α内，故C错；对于D，m与n可以平行，故D错．

2．(必修2 P66内文改编)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )

A．30° B．45° C．60° D．120°

1

解析：选C.如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，

2

所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．

3．(必修2 P67练习T2改编)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是( )

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 解析：选A.如图，∵PA⊥PB，PA⊥PC，

PB∩PC＝P，且PB?平面PBC， PC?平面PBC， ∴PA⊥平面PBC，

又BC?平面PBC，∴PA⊥BC. 同理可得PB⊥AC，PC⊥AB. 故①②③正确． 4．(必修2 P79B组T1改编)将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：①△DBC是等边三角

形；②AC⊥BD；③V三棱锥D-ABC＝

2. 12

其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3

解析：选D.如图，取AC的中点E，连接DE，EB，则DE⊥AC，BE⊥AC.

∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC， ∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥EB， 则DB＝2DE＝1. ∴BC＝CD＝BD＝1，

∴△DBC是等边三角形，故①正确；

由AC⊥平面DBE，易知AC⊥BD，故②正确． ∵DE为三棱锥D-ABC的高， 1

∴V三棱锥D-DE ABC＝S△ABC·3

1122

＝××1×1×＝，故③正确． 32212

5．(必修2 P65思考改编)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.

解析：因为AD⊥BC， 所以AD⊥BD，AD⊥CD， 所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角．

因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.

2

在△BCD中，∠BDC＝90°，BD＝CD＝，

2所以BC＝ 答案：1

?2?2＋?2?2＝1. ?2??2?

线面垂直的判定与性质

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB1

的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．

2

(1)证明：PH⊥平面ABCD； (2)证明：EF⊥平面PAB.

[证明] (1)因为AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，所以PH⊥AB. 因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.

因为AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD. (2)如图，取PA中点M，连接MD，ME.

因为E是PB的中点，所以ME又因为DF

1AB. 2

1

AB，所以MEDF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD. 2

因为PD＝AD，所以MD⊥PA.

因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.

因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB， 所以EF⊥平面PAB.

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质，因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．

1．(2015·高考湖北卷)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中

点，连接DE，BD，BE.

(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；

V1

(2)记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．

V2

解：(1)因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.

由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD. 因为DE?平面PCD，所以BC⊥DE.

又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.

而PC∩BC＝C, 所以DE⊥平面PBC.

由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB.

11

(2)由已知，PD是阳马P-ABCD的高，所以V1＝S长方形ABCD·PD＝BC·CD·PD.

33

由(1)知，DE是鳖臑DBCE的高，BC⊥CE，

11

所以V2＝S△BCE·DE＝BC·CE·DE.

36

2

在Rt△PDC中，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE＝CE＝CD，

2

1

BC·CD·PDV13于是＝ V21

BC·CE·DE6

2CD·PD＝＝4. CE·DE

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，

PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，

CD?平面ABCD，∴PA⊥CD， ∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC， ∴CD⊥AE.

(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD.

而PD?平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD， ∴AB⊥PD.

又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE.

平面与平面垂直的判定与性质

(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥

平面ABCD.

(1)证明：平面AEC⊥平面BED；

6

，求该三棱锥的侧面积． 3

[解] (1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE. 故AC⊥平面BED.

又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.

3x

(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.

22

3

因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.

2

2

由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.

2

1166

由已知得，三棱锥E-ACD的体积V三棱锥E-AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2. ACD＝×·32243

从而可得AE＝EC＝ED＝6.

所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为5. 故三棱锥E-ACD的侧面积为3＋25.

(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．

(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，

PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．

求证：(1)PA⊥底面ABCD； (2)平面BEF⊥平面PCD.

证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD. 又PA∩AD＝A.所以CD⊥平面PAD. 从而CD⊥PD.

又E，F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF.故CD⊥EF. 由EF，BE?平面BEF，

又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF. 又CD?平面PCD，

所以平面BEF⊥平面PCD. 2. 如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC

且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．

(1)求证：VB∥平面MOC；

(2)求证：平面MOC⊥平面VAB； (3)求三棱锥V-ABC的体积．

解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB. 又因为VB?平面MOC，所以VB∥平面MOC.

(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.

又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，所以OC⊥平面VAB. 所以平面MOC⊥平面VAB.

(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1. 所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝3.

13

又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于OC·S△VAB＝.

33

又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为3

. 3

平面图形翻折成空间图形

π1

如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是

22

AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE的位置，得到四棱锥A1-BCDE.

(1)证明：CD⊥平面A1OC；

(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为362，求a的值．

[解] (1)证明：在题图(1)中，

1

因为AB＝BC＝AD＝a，

2

π

E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.

2

即在题图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC. 又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC. (2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，

且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE. 即A1O是四棱锥A1-BCDE的高．

22

AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2， 22

从而四棱锥A1-BCDE的体积为

1122V＝S·A1O＝×a2×a＝a3.

33262

由a3＝362，得a＝6. 6

对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化．解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法．

由题图(1)知，A1O＝

1．如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD.

(1)求证：平面AOC⊥平面BCD；

6

(2)若三棱锥A-BCD的体积为，且∠AOC是钝角，求AC的长．

3

解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AO，BD⊥CO. 折起后仍有BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩CO＝O， ∴BD⊥平面AOC.

∵BD?平面BCD，∴平面AOC⊥平面BCD.

1

(2)由(1)知BD⊥平面AOC，∴VA-＝S·BD. BCD

3△AOC

611611

又VA-＝，∴×OA·OC·sin∠AOC·BD＝，即××2×2×sin∠AOC× 22BCD

332332

63＝，∴sin∠AOC＝. 32

∵∠AOC是钝角，∴∠AOC＝120°. 在△AOC中，由余弦定理，得 AC2＝OA2＋OC2－2·OA·OC·cos∠AOC

22

＝(2)＋(2)－2×2×2×cos 120°＝6，∴AC＝6. 2．如图(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1-BCD，如图(2)所示．

(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF； (2)求证：BD⊥A1F；

(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由． 解：(1)证明：因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM∥EF，又EF?平面A1EF，DM?平面A1EF，所以DM∥平面A1EF.

(2)证明：因为A1E⊥BD，EF⊥BD且A1E∩EF＝E，所以BD⊥平面A1EF.

又A1F?平面A1EF，所以BD⊥A1F. (3)直线A1B与直线CD不能垂直． 理由如下：

因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF?平面BCD，所以EF⊥平面A1BD.

因为A1B?平面A1BD，所以A1B⊥EF，又因为EF∥DM，所以A1B⊥DM. 假设A1B⊥CD，

因为CD∩DM＝D，所以A1B⊥平面BCD，所以A1B⊥BD， 这与∠A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直．

线面角与二面角

(1)[直线与平面所成的角] (2015·高考全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

①在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； ②求直线AF与平面α所成角的正弦值．

(2)[平面与平面所成的角]如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.

①证明：PE⊥FG； ②求二面角P-AD-C的正切值；

③求直线PA与直线FG所成角的余弦值．

[解] (1)①交线围成的正方形EHGF如图所示．

②过E作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8. 因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝EH2－EM2＝6，所以AH＝10. 过A作AI⊥EH，垂足为I，连接FI. ∵A1E＝D1F.∴EF∥A1D1.

由长方体性质知，D1A1⊥平面A1ABB1， ∴FE⊥平面A1ABB1，又FE?平面FEHG， ∴平面A1ABB1⊥平面FEHG.

∴∠AFI即为直线AF与平面α所成的角．

由AH＝EH＝10可知AI＝EM＝8.

222

而AF2＝AM2＋AD2＋AA21＝4＋10＋8＝180. 即AF＝65.

AI845

∴sin∠AFI＝＝＝. AF6515

45

所以AF与平面α所成角的正弦值为. 15

(2)①证明：在△PCD中，因为 E为CD的中点， 且PC＝PD，所以PE⊥CD.

又因为 平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，PE?平面PCD，所以PE⊥平面ABCD.

又因为 FG?平面ABCD，所以PE⊥FG.

②由①知PE⊥平面ABCD，且AD?平面ABCD， 所以PE⊥AD.

又因为 四边形ABCD是长方形，所以AD⊥CD. 又因为 PE∩CD＝E，

所以AD⊥平面PCD，所以AD⊥PD，所以∠PDE为二面角P-AD-C的平面角．

因为 AB＝CD＝6，所以DE＝3.

PE7

在Rt△PED中，PE＝PD2－DE2＝42－32＝7，所以tan∠PDE＝＝，所以所

DE3

7

求二面角P-AD-C的正切值为.

3

③如图，连接AC，在△ABC中，因为 AF＝2FB，CG＝2GB，

所以FG∥AC.

由异面直线所成角的定义，知直线PA与直线FG所成角的大小等于∠PAC的大小． 在Rt△PDA中，PA＝PD2＋AD2＝5， AC＝AB2＋BC2＝35，PC＝4，

PA2＋AC2－PC225＋45－1695

所以cos∠PAC＝＝＝，

2PA·AC252×5×35

95

所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.

25

求线面角、二面角的常用方法：

①线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．

②二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有a.定义法；b.垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．

③求角的程序为：作图→论证→计算→结论．

1. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1

的中点．

D．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n

[导学号03350638] 解析：选D.由m⊥α，m∥n可知n⊥α，又n∥β，所以α⊥β，A正确；

由α⊥β，m⊥β知m?α或m∥α，而m?α，所以m∥α，B正确；由m⊥β，m?α知α⊥β，C正确；故选D.

3．如图，设四面体ABCD各棱长均相等，E，F分别为AC，AD的中点，则△BEF在该四面体的面ADC上的射影是( )

[导学号03350639] 解析：选B.因为ABCD是正四面体，所以点B在面ADC上的射影是△ADC的重心，而重心应在EF的下方．

4．设O是空间中的一点，a，b，c是空间中三条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不正确的是( )

A．当a∩b＝O且a?α，b?α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α B．当a∩b＝O且a?α，b?α时，若a∥β，b∥β，则α∥β C．当b?α时，若b⊥β，则α⊥β

D．当b?α且c?α时，若c∥α，则b∥c

[导学号03350640] 解析：选C.对于A，逆命题为当a∩b＝O且a?α，b?α时，若c⊥α，则c⊥a，c⊥b，由直线与平面垂直的性质可知逆命题正确；对于B，逆命题为当a∩b＝O且a?α，b?α时，若α∥β，则a∥β，b∥β，由平面与平面平行的性质可知逆命题正确；对于C，逆命题为当b?α时，若α⊥β，则b⊥β，显然逆命题不正确；对于D，逆命题为当b?α且c?α时，若b∥c，则c∥α，由直线与平面平行的判定定理可知逆命题正确，故选C.

5．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法正确的是( ) A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直 C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直

[导学号03350641] 解析：选B.由题意知，如图(1)，m与α斜交，令其在α内的射影为m′，则在α内可作无数条与m′垂直的直线，它们彼此平行，故A错；在α外，可作与α内的直线l平行的直线，而l⊥m，故C错．

图(1)

如图(2)，m?β，β⊥α，故B正确；

图(2)

可作β的平行平面γ，则m∥γ且γ⊥α，故D错．

6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，

则以下命题中，错误的是( )

A．点H是△A1BD的垂心 B．AH垂直于平面CB1D1 C．AH的延长线经过点C1

D．直线AH和BB1所成角为45°

[导学号03350642] 解析：选D.A中，△A1BD为等边三角形， ∴其四心合一，∵AB＝AA1＝AD， ∴H到△A1BD各顶点的距离相等， ∴A正确；

∵CD1∥BA1，CB1∥DA1、CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD， ∴AH⊥平面CB1D1， ∴B正确；

连结AC1(图略)，则AC1⊥B1D1， ∵B1D1∥BD，

∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1， ∴AC1⊥平面A1BD， ∴A、H、C1三点共线， ∴C正确，故选D.

7．已知a，b，c表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给定下列四个命题：

①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥b，则α∥γ；

②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，则b⊥α； ④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α. 其中为真命题的是( ) A．②③ B．①③ C．②④ D．①④

[导学号03350643] 解析：选A.在三棱柱中，三条侧棱互相平行，但三个侧面所在的平面两两相交，故①错误；因为a，b相交，假设其确定的平面为π，根据a∥α，b∥α，可得π∥α，同理可得π∥β，因此α∥β，故②正确；由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确；当且仅当a，b相交时，结论④正确，故④错误，故选A.

8.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1F-HC1G后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论不正确的是( )

A．EH∥FG

B．四边形EFGH是矩形 C．Ω是棱柱

D．Ω是棱台

[导学号03350644] 解析：选D.∵EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，∴EH∥B1C1，∴EH∥平面BCGF，

又∵FG?平面BCGF，且

FG为平面EFGH与平面BCGF的交线， ∴EH∥FG，故A正确；

∵B1C1⊥平面A1B1BA，EF?平面A1B1BA， ∴B1C1⊥EF，则EH⊥EF，

又由上面的分析知，EFGH为平行四边形，故它是矩形，故B正确； 因为EH∥B1C1∥FG，故Ω是棱柱，故C正确． 9．已知直二面角α-l-β，A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，

AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )

23A. B. 336C. D．1 3

[导学号03350645] 解析：选C.如图，作DE⊥BC于E，由α-l-β为直二面角，AC⊥l

得AC⊥β，进而有AC⊥DE，又BC⊥DE，BC∩AC＝C，于是DE⊥平面ABC，故DE为D

BD·DC1×26

到平面ABC的距离．在Rt△BCD中，利用等面积法，得DE＝＝＝.

BC33

10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1

上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sin α的取值范围是( )

3?6

B.?，1? ，1

?3??3?622?22?C.?， D.?

3??3?3，1?

[导学号03350646] 解析：选B.连接A1O，OP和PA1(图略)，不难知∠POA1就是直线OP与平面A1BD所成的角(或其补角)．

设正方体棱长为2，则A1O＝6.

6＋2－123

①当P点与C点重合时，PO＝2，A1P＝23，且cos α＝＝－，

32×6×2

A.?

此时α＝∠A1OP为钝角，

6

sin α＝1－cos2α＝；

3

6＋6－81

②当P点与C1点重合时，PO＝A1O＝6，A1P＝22，且cos α＝＝，

2×6×63

此时α＝∠A1OP为锐角，

22

sin α＝1－cos2α＝；

3

③在α从钝角到锐角逐渐变化的过程中，CC1上一定存在一点P，使得α＝∠A1OP＝90°.

又因为

622<， 33

6?

.

?3，1?

故sin α的取值范围是?

二、填空题 11．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1

所成角的正弦值为________．

[导学号03350647] 解析：连接A1C1(图略)，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．

∵AB＝BC＝2，∴A1C1＝22，又AA1＝1，

AA11

∴AC1＝3，∴sin∠AC1A1＝＝.

AC13

1答案： 3

12.如图所示，在四面体ABCD中，AB，BC，CD两两垂直，且BC＝CD＝1.直线BD与平面ACD所成的角为30°，则线段AB的长度为________．

[导学号03350648] 解析：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为点H，连接DH.

∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD. ∴∠BDH为直线BD与平面ACD所成的角． ∴∠BDH＝30°，

在Rt△BDH中，BD＝2，

2

∴BH＝. 2

又∵在Rt△BHC中，BC＝1， ∴∠BCH＝45°.

∴在Rt△ABC中，AB＝BC＝1. 答案：1

13．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β且α⊥γ?β⊥γ”是真命题，若把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．

[导学号03350649] 解析：若把α，β换为直线a，b，则命题转化为“a∥b且a⊥γ?b⊥γ”，此命题为真命题；若把α，γ换为直线a，b，则命题转化为“a∥β且a⊥b?b⊥β”，此命题为假命题；若把β，γ换为直线a，b，则命题转化为“a∥α且b⊥α?a⊥b”，此命题为真命题．

答案：2 三、解答题

14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，且满足AB∥CD，AD＝DC1

＝AB，PA⊥平面ABCD. 2

(1)求证：平面PBD⊥平面PAD；

(2)若PA＝AB，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值． [导学号03350650] 解：(1)证明：取AB的中点E，连接CE(图略)，则由题意知，△BCE为正三角形，所以∠ABC＝60°.

由ABCD为等腰梯形知∠BCD＝120°，设AD＝DC＝BC＝2，则AB＝4，BD＝23，

222

故AD＋BD＝AB，即得∠ADB＝90°，所以AD⊥BD. 又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.

又AD∩PA＝A，所以BD⊥平面PAD，又BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAD. (2)在平面ABCD中，过点C作CH∥BD交AD的延长线于点H(图略)，由(1)知BD⊥平面PAD，所以CH⊥平面PAD，

连接PH，则∠CPH即为所求的角． 在Rt△CHD中，CD＝2，∠CDH＝60°， 所以CH＝3. 连接AC，在Rt△PAC中，PC＝PA2＋AC2＝42＋?23?2＝27.

CH321

所以在Rt△PHC中，sin∠CPH＝＝＝.

PC2714

21

即PC与平面PAD所成角的正弦值为.

14

15.如图所示，BC是半圆F的直径，点A在半圆F上，BC＝42，AB＝BD＝4，BD垂

1

直于半圆F所在的平面，CE∥BD，且CE＝BD.

2

(1)求证：DF⊥平面AEF； (2)求二面角B-AF-E的余弦值．

[导学号03350651] 解：(1)证明：因为BC是半圆F的直径，点A在半圆F上，所以BA⊥AC.

又BC＝42，AB＝4，所以AC＝4，所以△ABC是等腰直角三角形，所以AF⊥BC. 因为BD⊥平面ABC，AF?平面ABC，所以BD⊥AF. 因为BD∩BC＝B，所以AF⊥平面BDF. 因为DF?平面BDF，所以AF⊥DF.

因为BD⊥平面ABC，CE∥BD，所以CE⊥平面ABC，所以CE⊥BC.

1

又CF＝22，CE＝BD＝2，所以EF＝23，

2同理，DF＝DB2＋BF2＝26.

如图，连接DE，过点E作EG⊥BD于点G，则DE＝DG2＋GE2＝6，所以DF2＋EF2

＝DE2，所以DF⊥EF.

因为AF∩EF＝F，所以DF⊥平面AEF.

(2)由(1)知AF⊥平面BDF，EF?平面BDF，所以AF⊥EF. 又AF⊥BF，所以∠BFE即为二面角B-AF-E的平面角，由图可知二面角B-AF-E为钝

角．如图，连接BE，由(1)知BE＝DE＝6，EF＝23，BF＝22.

BF2＋EF2－BE28＋12－366

在△BFE中，由余弦定理得cos∠BFE＝＝＝－，所以32BF×EF2×22×23

6

二面角B-AF-E的余弦值为－.

3

因为AF∩EF＝F，所以DF⊥平面AEF.

(2)由(1)知AF⊥平面BDF，EF?平面BDF，所以AF⊥EF. 又AF⊥BF，所以∠BFE即为二面角B-AF-E的平面角，由图可知二面角B-AF-E为钝

角．如图，连接BE，由(1)知BE＝DE＝6，EF＝23，BF＝22.

BF2＋EF2－BE28＋12－366

在△BFE中，由余弦定理得cos∠BFE＝＝＝－，所以32BF×EF2×22×23

6

二面角B-AF-E的余弦值为－.

3

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