10 数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)

第十章 数项级数

§1 级数问题的提出

1．证明：若微分方程xy y xy 0有多项式解

y a0 a1x a2x2 anxn，

则必有ai 0(i 1,2, ,n)．

证明 由多项式解y a0 a1x a2x anx得

2

n

y a1 2a2x 3a3x2 nanxn 1， y 2a2 6a3x 12a4x2 n(n 1)anxn 2.

从而 xy 2a2x 6a3x 12a4x n(n 1)anx且 xy a0x a1x a2x an 2x将上述结果代入微分方程xy y xy 0，得

2

3

n 1

2

3

n 1

，

an 1xn anxn 1.

a1 (a0 4a2)x (a1 9a3)x2 (a2 16a4)x3

(an 2 n2an)xn 1 an 1xn anxn 1 0.

比较系数得递推公式如下：

a1 0,

a0 4a2 0, a1 9a3 0,

a n2a 0,

n n 2

an 1 0,

an 0.

由此解得a0 a1 a2 an 0，因而ai 0(i 0,1,2, ,n)．

2．试确定系数a0,a1, ,an, ，使

a

n 0

n

xn满足勒让德方程

(1 x2)y 2xy l(l 1)y 0.

解 设y

a

n 0

n

x，则y nanx

n

n 1

n 1

，y

n(n 1)a

n 2

n

xn 2，故

(1 x)y (1 x) n(n 1)anx

2

2n 2

n 2

n(n 1)anx

n 2n 1

n 2

n(n 1)anxn，

n 2

2xy 2x nanx

n 1

2nanxn，

n 1

l(l 1)y l(l 1) anx l(l 1)anxn.

n

n 0

n 0

将上述结果代入勒让德方程(1 x)y 2xy l(l 1)y 0，得

2

0 (1 x2)y 2xy l(l 1)y

n(n 1)anx

n 2

n 2

n(n 1)anx 2nanx l(l 1)anxn

n

n

n 2

n 1

n 0

n

n

n

(n 2)(n 1)an 2x n(n 1)anx 2nanx l(l 1)anxn.

n 0

n 2

n 1

n 0

比较系数，得递推公式如下：

l(l 1)a0 2a2 0, (l 1)(l 2)a 6a 0,

13

(l 2)(l 3)a2 12a4 0,

(l (n 1))(l n)a (n 1)na 0,

n 1n 1

(l n)(l n 1)an (n 2)(n 1)an 2 0,

.

由此解得

l(l 1) a a0, 2

2

a (l 2)(l 3)a (l 2)l(l 1)(l 3)a,

20

44 34 3 2 k(l 2k 2)(l 2k 4) l(l 1)(l 3) (l 2k 1)a ( 1)a0, 2k

(2k)!

a (l 1)(l 2)a,

1

33 2 (l 3)(l 4)(l 3)(l 1)(l 2)(l 4) a5 a3 a1,

5 45 4 3 2

k(l 2k 1)(l 2k 3) (l 1)(l 2)(l 4) (l 2k) a ( 1)a1,

2k 1(2k 1)!

从而可以得到

(l 2k 2)(l 2k 4) l(l 1) (l 2k 1)2k y a0 a0 ( 1)kx

(2k)! k 1

(l 2k 1)(l 2k 3) (l 1)(l 2) (l 2k)2k 1

a1x a1 ( 1)kx .

(2k 1)! k 1

其中a0,a1取任何常数．

§2 数项级数的收敛性及其基本性质

1．求下列级数的和： （1）

1

； (5n 4)(5n 1)n 1

（2）

4n

n 1

1

2

1

；

( 1)n 1

（3） ； n 1

2n 1

（4）

2n 1

； n

2n 1

（5）

r

n 1

n

sinnx,r 1；

（6）

r

n 1

n

cosnx,r 1．

11 11

，故

(5n 4)(5n 1)5 5n 45n 1

解（1）由于

Sn

111

1 66 11(5n 4)(5n 1)

1 11111 1 5 66115n 45n 1 1 1 1 1 (n )， 5 5n 1 5

所以级数的和S

1. 51

1 11

，故

2 2n 12n 1

（2）由于

4n2 1

Sn

1 11111 1 1 1

1 1 (n ).

2 3352n 12n 1 2 2n 1 2

所以级数的和S

1

. 2

n 1

( 1)n 1 1

（3） n 1

2 n 12n 1

12

．

1 31 2

n

2n 1 2n 1 2n

1，因此欲求原级数的和，只需计算级数（4） nnn

2222n 1n 1n 1 n 1

2n2n2462n即可．对级数，设其部分和，则 S nnn23n

222222n 1n 1

12462n 22n

Sn 2 3 4 n 1， n222222

故

1122222nSn Sn Sn 1 2 3 4 n n 1 2222222

111 1

1 2 2 3 4 n

222 2

2n

n 1 2

1 2

122

1 n 1 1

2 2n

. n 1

121 2

2n 1 2n1

从而limSn 2，即limSn 4，因此原级数 n 1 4 1 3． nn n 22n 1n 12

n

（5）由于级数的部分和Sn

n

r

k 1

k

sinkx，故

n

2rcosxSn 2r

k 1n

k 1

sinkxcosx rk 1 sin(k 1)x sin(k 1)x

k 1n

r

k 1n 1

k 1

sin(k 1)x rk 1sin(k 1)x

k 1

2

rsinkx r

kk 2

r

k 0

n 1

k

sinkx

(Sn rn 1sin(n 1)x rsinx) r2(Sn rnsinnx)，

从中解得

rsinx rn 2sinnx rn 1sin(n 1)x

Sn .

1 r2 2rcosx

又由于当n 时，r

n 2

sinnx rn 2 0,rn 1sin(n 1)x rn 1 0，故

limSn

n

rsinx

， 2

1 r 2rcosx

因此

rnsinnx

n 1

rsinx

．

1 r2 2rcosx

（6）级数的部分和Sn

n

r

k 1

n

k

coskx，从而

n

2rcosxSn 2r

k 1n

k 1

coskxcosx rk 1 cos(k 1)x cos(k 1)x

k 1n

r

k 1n 1

k 1

cos(k 1)x rk 1cos(k 1)x

k 1

2

rcoskx r

kk 2

r

k 0

n 1

k

coskx

(Sn rn 1cos(n 1)x rcosx) r2(Sn 1 rncosnx)，

从中解得

rcosx rn 2cosnx rn 1cos(n 1)x r2rcosx r2

. limSn lim 22n n 1 r 2rcosx1 r 2rcosxrcosx r2

因此 rcosnx ． 2

1 r 2rcosxn 1

n

2．讨论下列级数的敛散性： （1）

n

； 2n 1n 1

（2）

2

n 1 n 1

1

n

13n

；

；

（3）

cos

2n 1

（4）

1

； (3n 2)(3n 1)n 1

（5）

n 1

1

n(n 1)(n n 1)

．

解（1）由于通项

n1

0(n )，故原级数发散． 2n 12

n

n

11 1 1

（2）由于 n ， n 均收敛，故原级数收敛．

n 12n 1 2 n 13n 1 3

（3）由于通项cos（4）由于

2n 1

cos0 1 0(n )，故原级数发散．

11 11

，

(3n 2)(3n 1)3 3n 23n 1

从而部分和

Sn

111 1 44 7(3n 2)(3n 1)

1 11111 1 3 4473n 23n 1

1 1 1 1 (n )， 3 3n 1 3

因而原级数收敛．

（5）由于

1

n(n 1)(n n 1)

n 1 n

11

从而n 时， ，

nn 1nn 1

Sn

1

12

12

1

1n

1n 1

1

1n 1

1，

故原级数收敛．

3．证明定理10.2．

定理10.2 若级数

u, v

nn 1

n 1

n

收敛，则级数

(u

n 1

n

vn)也收敛，且

(u

n 1n

n

vn) un vn.

n 1

n 1

证明 设Sn

u

k 1

n

k

vk，则由已知条件知，存在有限数s,s ，使得 ,Sn

k 1

n

n

lim vk s ， limSn lim uk s,limSn

n

n

k 1

n

n

k 1

设级数

(u

n 1

n

vn)的部分和数列为 n，则

n

n

n

s s (n )， n (uk vk) uk vk Sn Sn

k 1

k 1

k 1

所以

(u

n 1

n

vn)也收敛，且 (un vn) un vn．

n 1

n 1

n 1

4．设级数

u

n 1

n

各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数

U

n 1

n

，即

Un 1 ukn 1 ukn 2 ukn 1,n 0,1,2, ，

其中k0 0,k0 k1 k2 kn kn 1 ，若

n

n

U

n 1

n

收敛，证明原来的级数也收敛．

证明 设Sn

u

k 1

k

, n Uk，则

k 1

n Uk U1 U2 Un

k 1

n

(u1 u2 uk1) (uk1 1 uk1 2 uk2) (ukn 1 1 ukn 1 2 ukn) Skn.

由于

U

n 1

n

收敛，故{ n}有界，即{Skn}有界，即存在M 0，使得 n N，都有Skn M.

又由于

u

n 1

n

是正项级数，故Sn Skn M，而且{Sn}单调上升，由单调有界原理可知，

原级数

u

n 1

n

收敛．

§3 正项级数

1．判别下列级数的收敛性： （1）

n 1

1n n

2

；

（2）

1

； 2n 1

(2n 1)2n 1

（3）

n n

； n 12n 1

（4）

sin

n 1

2

n

；

（5）

1

(a 1)； n

1 an 1

（6）

n

n 1

1

n

；

n

1

（7） ；

n 1 2n 1

（8）

ln(n 1)n 1

1

n

；

2 ( 1)n

（9） ； n

2n 1

（10）

2nsin

n 1

3

n

；

（11）

nn(3 ( 1))sin n 1

5

n

；

（12）

sin2

； n!n 1

1 n1 cos ； n n 1

1

n

（13）

（14）

1； cos nn 1

1 1 ln 1 ； nn n 1

（15）

（16）

ln(1 n)

； 2

nn 1

11

； sinarcsin nnn 1

（17）

（18）

narctan2

n 1

n

；

1

（19） 1 ； nn 1

2 1

（20） 1 2 1 ．

n 1 n

1

解（1）

n 1

1n n

2

．由于lim

n

11n2 n

1，而 发散，所以级数 发

21n 1n 1nn n

n

散．

（2）

1

．对任意正整数n，都成立关系式 2n 1

(2n 1)2n 1

112

， 2n 12n 12n

(2n 1)222

而级数

2

收敛，由比较判别法知，原级数收敛． 2n

n 12

n nn nn n1

（3） ．由于lim发散． 0，所以级数 n 2n 12n 12n 12n 1n 1

（4）

sin2

n 1

n

sin

．由于lim

n

1 n ，而收敛，故收敛． sin nn

12n 12n 1n2

n

n

11 1 1 1

（5） ．由于，故，而a 1 收敛，由比较判 nnn

a1 aa n 1 a n 11 a

别法知，级数

1

收敛． n

n 11 a

1

111nn

（6） ．由于lim，而 发散，故 发散． lim 1n n 1nnn 1nnn 1n 1nn

n

1

11 1 1 n 0 1，故级数 （7） lim ．由于lim n n 2n 12n 12n 12n 1 n 1 n 1

nnn

收敛．

（8）

ln(n 1)n 1

1

n

11

．由于lim 故原级数收敛． lim 0 1，

n ln(n 1) n ln(n 1)

n

2 ( 1)n

（9） ． n

2n 1

2 ( 1)n1( 1)n( 1)n1

n 1 n，而 n 1和 n均收敛，故方法1因为 n

2n 1n 12n 12n 12n 12

2 ( 1)n

收敛． n

2n 1

2 ( 1)n2 ( 1)n33

n对一切n都成立，而 n收敛，故 方法2 由于收敛． n

222n2n 1n 1

（10）

2

n 1

n

sin

3

n

2nsin

．由于lim

n

n limn

n

2nsin

2 3

2 n ，而

收敛，故 1n 1 3 2n n

3

n

原级数收敛．

（11）

(3 ( 1))sin

nn

n 1

5

n

．由于3 ( 1) 4，因此，若

n

n4 sinn 1

5

n

收敛，则原

级数收敛.考虑级数

4

n 1

n

sin

5

n

4nsin

，由于lim

n

n

4 lim ，且

收 nn 15 n 1 4 4n n

5 5

n

4nsin

n

敛，故

4nsin

n 1

5

n

收敛，因而原级数收敛．

1

n

1sin21sin2

（12） ．由于，而 收敛，因而原级数收敛． n!n!n!n 1n!n 1

1 1n1 cos 2sin2

11 1n lim ，而 发散，（13） n 1 cos ．由于lim

n n 112n n 1 n 1n

nn2

因而原级数发散．

（14）

11

．由于coslimcos 1 0，由级数收敛的必要条件知，原级数发散． n nnn 1

1 1 1

ln 1 ln 1 n 1 1 1n n 1 （15） ln ．由于，而收lim lim 1 3n n 11n n 1n n 1

n23

n

n2

敛，故原级数收敛．

1

ln(1 n) 2ln(1 n)ln(1 n)1lim lim 0（16） ．由于，而级数收敛， 23n n 1nnn 1n 1

n23

n2

故原级数收敛．

11sinarcsin

111nn（17） sinarcsin．由于lim 1，而级数 2收敛，故原级数

n 1nnn 1n 1n

n2

收敛．

nn

n（18） narctann．由于极限lim ，而对于级数 n，根据

n n2n 1n 12

2n

n1n

limn 1，故由根式判别法知，级数 n收敛，因而原级数收敛． n 22n 12

1

（19） 1 ．对通项进行分子有理化可得 nn 1

111111 1 ， n1112n(n 1)2(n 1)

1n n 2n nnn

由于

2(n 1)发散，故原级数发散．

n 1

1

22 1 212 11

（20） 1 2 1 ．由于 1 2 1 2 4，而级数 2, 4均

nn n n 1nn 1nn 1 n

收敛，因而原级数收敛．

2．判别下列级数的敛散性：

nn

（1） ；

n 1n!

（2）

nlnn

； n

2n 1

n!2n

（3） n；

n 1nn!3n

（4） n；

n 1n

n!en

（5） n；

n 1n

（6）

n 1

n21

n

n

n

；

（7）

2n 1 ； n 1 3n 2

n

2

（8）

n 1

nn

(3n2 n)

n 12

；

xn

(x 0)； （9） 2n

(1 x)(1 x) (1 x)n 1

（10）

33 53 5 73 5 7 9 ． 11 41 4 71 4 7 10

(n 1)n 1

n

nnnn(n 1)! n 1

解（1） ．由于lim lim e 1，所以 发散． nn n n!nn n 1n 1n!

n!

（2）

nlnn

．由于 n

n 12

(n 1)ln(n 1)n 1

ln 1n 1n 1 n 1ln(n 1) 1， lim lim lim 1 lim

n n n n nlnnlnn 2nlnn 2 2n

2n

根据达朗贝尔判别法知，原级数收敛．

(n 1)!2n 1

n

n!2nn!2n2(n 1)n 1 n

（3） n．由于lim 2lim 1，故 n收敛． nn n en!2 n 1 n 1nn 1n

nn(n 1)!3n 1

n

n!3nn!3n3(n 1)n 1 n

3lim （4） n．由于lim 1，故 n发散． nn n n 1enn!3 n 1n 1n

nnn!en

（5） n．这个级数不能用达朗贝尔判别法和柯西判别法判别，也不能用拉阿比

n 1n

判别法判别，但由斯特林公式可知

n

n! 2n e12n

e

n

n

(0 1)，

n!en

因而n

n

n

2n e12nen

e 12n

2ne 2n，通项的极限不为0，由级数收敛的

nn

n!en

必要条件知原级数 n发散．

n 1n

(n)2n2

lim 0 1，（6） ．因为lim故 收敛． nnnn n 11 n 1 1 n 1 1 n n n n nnnn

n2n2

（7）

2n 1

．由于lim n n 1 3n 2

n2

2n 1 2n 1

lim

n 3n 2 3n 2

n2

2

1，由柯西判别法3

知，原级数收敛．

（8）

n 1

nn

(3n2 n)

n 12

．由于

nn

(3n2 n)

n 12

nn(3n2 n)

n2

13n n

2

0(n )，nn

因此，如果级数

n 1

nn(3n2 n)

n

n2

收敛，则原级数也收敛.考虑级数

n 1

(3n2 n)

n2

，由于

limn

nn(3n2 n)

n2

lim

n

3n n

2

13

1，故它收敛，因而原级数也收敛．

xn

(x 0)．当x 0时，级数显然收敛；当x 0时，（9） 2n

n 1(1 x)(1 x) (1 x)

由于

xn 1

x,0 x 1,

2n 1

1x(1 x)(1 x) (1 x)

lim lim x 1, ,nn 1n n x1 x 2

x 1. 0,(1 x)(1 x2) (1 xn)

xn

因而 收敛，因此原级数对一切x 0收敛． 2n

(1 x)(1 x) (1 x)n 1

（10）由于

3 5 7 (2n 1)33 53 5 73 5 7 9

， ．级数的一般项un

1 4 7 (3n 2)11 41 4 71 4 7 10

lim

un 1n un

3 5 7 (2n 3)

2n 321 4 7 (3n 1)

lim lim 1， n 3 5 7 (2n 1)n 3n 13

1 4 7 (3n 2)

因而原级数收敛．

3．判别级数的敛散性：

（1）

n

n 1

1

lnn

；

（2）

1

； lnn

(lnn)n 1

（3）

2

n 1

1

lnn

；

（4）

3

n 1

1

lnn

；

（5）

3

n 1

1

n

；

（6）

3

n 1

n

；

（7）

lnn

（p是任意实数）； pnn 1

1

（p是任意实数）． p

n 2nlnn

（8）

解（1）

n

n 1

1

lnn

．当n 9时lnn 2，故当n 9时

1nlnn

11

2，而 2收敛，由nn 1n

比较判别法知，原级数收敛．

（2）

111

．由于，且ln(lnn) (n )，故存在N， lnnlnnln(lnn)

(lnn)nn 1(lnn)

ln(lnn)

当n N时ln(lnn) 2，从而n收敛，故原级数收敛．

（3）

n，即当n N时，(lnn)

2lnn

n，而级数

2

1

2

n 1n

2

n 1

1

lnn

．

方法1 由于

un

limn n u n 1

1 1 ln 1

1 n ln 1 lnn 2 1n limn 2 1 lim， 1 limn 1 n 1n n 1 ln(n 1)

n 2

该极限为

型极限，由L＇hospital法则得 0

2

1 ln 1 n

lim

1

2 lim

n

1 ln 1 n

ln2

n

1n

1 1 2 1 1n ln2 1， 1 2n

由Raabe判别法知，原级数发散．

方法2 由于2

lnn

e

lnn

n，所以

12lnn

11

，而级数 发散，由比较判别法知，原nn 1n

级数

2

n 1

1

lnn

发散.

) ln(1 1 un

3n 1 ln3 1，由Raabe判别法 1 limn．由于limn n n u n 1

（4）

3

n 1

1

lnn

知，原级数收敛．

一般地，对

a

n 1

1

lnn

(a 0)，当0 a e时，对一切n N，alnn elnn n成立，

所以

1alnn

un 11

1 lna 1，由Raabe ，从而 lnn发散；当a e时，由于limn n nn 1a un 1

判别法知，级数

a

n 11

lnn

收敛．

（5）

3

n 1

1

．由于lim

nn2

，所以存在N 0，当n N时，有 ，

n lnnlnnln3

即nln3 2lnn，从而3 n，故

2

13

n

111

2，而 2收敛，故 n收敛． nn 1nn 13

（6）

3

n 1

n

n

．由于lim

nn3

，所以存在N 0，当n N时，有 ，

n lnnlnnln3

n

即nln3 3lnn，从而3 n，故

3

n3

11n

2，而 2收敛，故 收敛． nn 1nn 13

lnn11lnn

（7） p（p是任意实数）．由于当n 3时，p p，所以若 p发散，

nnn 1nn 1n

1lnn

则原级数必发散，而p 1时 p发散，因而p 1时，原级数 p发散．

n 1nn 1n

当p 1时，由于

x

1

xxlnt11lnx111 p p 1

， lnt tdt lntdt 1

1 p 11 pxp 1(1 p)2xp 1(1 p)2tp

lnxlnt1

，利用柯西积分判别法知，原级数收敛． pp2 1tx(1 p)

因而lim

x 1

x

1111

（8） p（p是任意实数）．当p 1时，由于p p且 p收敛，

nlnnnn 2nlnnn 2n

故原级数收敛；当p 1时，由于

x11

2tlnt 2lntlnt ln(lnx) ln(ln2)，

x1 1

因而lim ，由柯西积分判别法知，原级数发散；当p 1时，

2x 2tlntxlnx

x

111

由于p，而 就是前面p 1时的级数，已证得它发散，因而原级数

nlnnnlnnnlnnn 2

发散．

4．利用Taylor公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性：

1 n

（1） e 1 ；

n 1 n

p

1 （2） ln；

cosn n 3

p

（3）

(n 1 n)pln

n 1

n 1

； n 1

（4）

(

n 1

n a n2 n b)．

p

x

1 n 1 1

解（1） e 1 ．令f(x) 1 ，则lnf(x) xln 1 ，从而

x x n 1 n

1

x 2 1 1 1 1 ， f (x) f(x) ln 1 x 1 ln1 1x x x x 1 1

x

因此

1 1 1 e 1 0

0 n n limlim

n n 1

n

n

n

1 1 ln1 n

1 2 1 1 n n 1 lim n1 ln1 n 1nnn 1 2

n

n

111 2 1 1 1

lim n 1 233n nnn 12n3nn

n

11 1 2 1 1 lim 1 n 2 3 3 n 3n n n(n 1)2n n n2 111e 1 n 1 lim 1 e . n 22 n n(n 1)23n n

111

该极限为有限数，因而e 1 与是同阶无穷小量，由于 p当p 1时收敛，

nn n 1n

n

1 n

p 1时发散，因而原级数 e 1 当p 1时收敛，p 1时发散．

n 1 n

p

1

（2） ln．由于

cosn n 3

p

ln

1 11 2 2 lnsec lnsec ln1 tan cos n2n2n 22

)1 2 (tan 2 tan tan， 2 n2n

1

故lim ln n cos

1 211

ln，这是一个有限数，从而与是同阶无穷小量，因22

2ncosn

p

111

此原级数 ln与的收敛性一致，所以当即时，原级数收敛，2p 1p 2p

2cos n 1nn 3

1

而当2p 1即p 时，原级数发散．

2

（3）

(

n 1

n 1 n)pln

n 1n 1p

．由于(n 1 n) 0，ln 0，故原级数n 1n 1

是负项级数，又由于

n 1 12

(n 1 n)p( 1)ln ln1 n 1 n 1 n n 1

1

n 1 n

故(n 1 n)pln

p

p

2 1 n 1 n 1 ，

1n 1p

与p是同阶无穷小量，因而当 1 1，即p 0时，原级

1n 12n2

数收敛，p 0时，原级数发散．

（4）

(

n 1

n a n2 n b)．因为

(n a) n2 n bn a n n b

2

n a n n b

2

(2a 1)n a2 b

(n a n n b)(n a n n b)

2

2

，

因而当a

1111

时，上式与3是同阶无穷小量，故原级数收敛；当a 时，上式与1是22

n2n2

同阶无穷小量，故原级数发散．

5．讨论下列级数的收敛性：

（1）

1

； p

n(lnn)n 2

（2）

1

； n lnn lnlnnn 2

（3）

n(lnn)

n 2

1

1

lnlnn

( 0)；

（4）

1

． pq

n(lnn)(lnlnn)n 2

11

f(x) ．令函数，则该函数在[2, )非负、连续且单 pp

x(lnx)n 2n(lnn)

解（1）

调下降．

x11

当p 1时，由于lim dt lim dlnt lim(ln(lnx) ln(ln2)) ，因

x 2tlntx 2lntx

x

而原级数发散．

当p 1时，由于

lim f(t)dt lim

x

2

x

x

x1 p

dt lim(lnt)dlnt

2t(lnt)px 2x

lim

1

(lnx)1 p (ln2)1 p

x 1 p

,

(ln2)1 p

,

p 1

p 1,p 1.

因而由柯西积分判别法知，当p 1时级数发散，当p 1时级数收敛．

综上可知，级数

1

在p 1时收敛，在p 1时发散． p

n(lnn)n 2

（2）

11

u．根据级数通项，可令函数，则f(x) n

x lnx lnlnxn 2n lnn lnlnn

un f(n),(n 2)且f(x)在[2, )非负、连续且单调下降，由于

lim

x

x2

x11

f(t)dt lim dlnt lim dlnlnt

x 2lntlnlntx 2lnlnt

x

lim lnlnlnx lnlnln2 .

x

由柯西积分判别法知，原级数发散．

（3）

n(lnn)

n 2

1

1

lnlnn

( 0)．由于limlnlnn ，故当n充分大时，

n

lnlnn 1，因而

数收敛．

（4）

1n(lnn)1

11

，由（1）知收敛，从而原级 1 1

nn)lnlnnn(lnn)n 2n(l

1

． pq

n(lnn)(lnlnn)n 2

当p 1时，由于

2

11

dx 2(lnlnx)qdln(lnx)，故q 1时级数收xlnx(lnlnx)q

敛，q 1时级数发散．

当p 1时，令p 1 2 ( 0)，则

un

11

， pq1 q

n(lnn)(lnlnn)n(lnn)(lnn)(lnlnn)

q q

由于lim(lnn)(lnlnn) ，故存在N 0，任意n N时，(lnn)(lnlnn) 1，

n

11

从而un ，而由（1）知收敛，从而原级数收敛． 1

n(lnn)n(lnn)1 n 1

当p 1时，令p 1 2 ( 0)，则

1(lnn)

un ， pq1 q

n(lnn)(lnlnn)n(lnn)(lnlnn)

(lnn) (lnn) 1

1u 由于，从而当充分大时，，从而，而由nn

(lnlnn)q(lnlnn)qn(lnn)1

（1）知

1

发散，因此原级数发散． 1

n 1n(lnn)

1

的收敛情况是：当p 1或p 1,q 1时收 pq

n(lnn)(ln(lnn))n 2

综上可知，原级数

敛，当p 1或p 1,q 1时发散．

6．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性．

(2n 1)!!

（1） (p是实数)；

(2n)!!n 1

p

（2）

n 1

( 1) ( n 1)1

n!

p

n

( 0, 0)．

p

(2n 1)!! (2n 1)!!

u 解（1）级数 的通项n (2n)!! ，因而根据二项展开式得

(2n)!!n 1

(2n 1)!!(2n 2)!! p un

limn 1 n (2n)!! (2n 1)!! 1 limn un

n 1

2n 2 p npp

limn 1 lim(2n 2) (2n 1) pn n (2n 1) 2n 1

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