高中数学解析几何常考解题方法

纵观 2006 年全国各省市 18 套文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一 半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与 几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分” 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第 21 题或 22 题（有 时 20 题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。 鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很 大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题 较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻 下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几 分算几分。
三、高考核心考点
1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等） 2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角 公式等） 3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为 0 等 等） 4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系 数法等） 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题
四、常规题型及解题的技巧方法
A:常规题型方面 常规题型方面
（1）中点弦问题 ） 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 ) ，代入方程，然后 两方程相减，再应用中点
关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 的轨迹方程。 分析：设 P1 ( x1 , y1 ) ， P2 ( x 2 , y 2 ) 代入方程得 x1 ?
2 2 y1 y2 2 = 1 ， x2 ? 2 = 1 。 2 2
给定双曲线 x ?
2
y2 = 1 。过 A（2，1

）的直线与双曲线交于两点 P1 及 P2 ，求线段 P1 P2 的中点 P 2
两式相减得
( x1 + x 2 )( x1 ? x 2 ) ?
1 ( y1 + y 2 )( y1 ? y 2 ) = 0 。 2
又设中点 P（x,y），将 x1 + x 2 = 2 x ， y1 + y 2 = 2 y 代入，当 x1 ≠ x 2 时得
2x ?
y ? y2 2y · 1 = 0。 2 x1 ? x 2 y1 ? y 2 y ?1 = ， x1 ? x 2 x ? 2
2 2
又k =
代入得 2 x ? y ? 4 x + y = 0 。 当弦 P1 P2 斜率不存在时，其中点 P（2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是 2 x 2 ? y 2 ? 4 x + y = 0 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 ） 椭圆或双曲线上一点 P，与两个焦点 F1 、 F2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
x2 y2 典型例题 设 P(x,y)为椭圆 2 + 2 = 1 上任一点， F1 ( ? c,0) ， F2 ( c,0) 为焦点， ∠PF1 F2 = α ， ∠PF2 F1 = β 。 a b
（1）求证离心率 e =
sin(α + β ) ； sin α + sin β
（2）求 | PF1 |3 + PF2 |3 的最值。 分析：（1）设 | PF1 | = r1 ， | PF2 = r2 ，由正弦定理得
r1 r 2c = 2 = 。 sin α sin β sin(α + β )
得
r1 + r2 2c = ， sin α + sin β sin(α + β ) c sin(α + β ) = a sin α + sin β
e=
（2） (a + ex ) 3 + ( a ? ex ) 3 = 2a 3 + 6ae 2 x 2 。 当 x = 0 时，最小值是 2a 3 ； 当 x = ± a 时，最大值是 2a 3 + 6e 2 a 3 。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 ） 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合 的办法 典型例题
抛物线方程y 2 = p( x + 1) ( p > 0) ，直线x + y = t与x轴的交点在抛物线准线的右边。
（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为 A、B，且 OA⊥OB，求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。 p （1）证明：抛物线的准线为 1：x = ?1 ? 4
由直线 x+y=t 与 x 轴的交点（t，0）在准线右边，得 t > ?1 ? p ，而 4 t + p + 4 > 0 4
?x + y = t 由? 2 消去y得 x 2 ? ( 2 t + p) x + ( t 2 ? p) = 0 ?y = p( x + 1)
Q ? = ( 2 t + p) 2 ? 4( t 2 ? p) = p ( 4 t + p + 4 ) > 0
故直线与抛物线总有两个交点。 （2）解：设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2)
∴ x 1 + x 2 = 2 t + p，x 1 x 2 = t 2 ? p
QOA⊥OB， ∴ k OA × k OB = ?1 则 x1x 2 + y1 y 2 = 0 又 y 1 y 2 = ( t ? x 1 )( t ? x 2 ) ∴ x 1 x 2 + y 1 y 2 = t 2 ? ( t + 2) p = 0
∴ p = f ( t) =
t2 t+2 ( ?2 ， 0) ∪ ( 0， + ∞ )
又p > 0， 4 t + p + 4 > 0得函数f ( t ) 的定义域是
圆锥曲线的有关最值（范围） （4
）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数， 均值不

等式） 求最值。 典型例题 已知抛物线 y2=2px(p>0)，过 M（a,0）且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、B，|AB|≤2p （1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求△NAB 面积的最大值。 分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于 a 的不等式，通过解不等式求出 a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a 的范围；对于（2） 求范围，找不等式 求范围 首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想 最值问题， 数思想”。 最值问题 解：(1)直线 L 的方程为：y=x-a,将 y=x-a 代入抛物线方程 y2=2px,得：设直线 L 与抛物线两交点的坐标分别为 A
? 4( a + p ) ? 4 a 2 > 0 ? （x1,y1）,B(x2,y2)，则 ? x1 + x 2 = 2( a + p ) ,又 y1=x1-a,y2=x2-a, ? 2 ? x1 x 2 = a
∴| AB |= ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 = 2[( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] = 8 p( p + 2a) Q0 <| AB |≤ 2 p,8 p ( p + 2a) > 0, ∴0 < 8 p( p + 2a ) ≤ 2 p,
解得:
?
p p <a≤? . 2 4
(2)设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：
x3 =
x1 + x 2 2
=a+ p,
y3 =
y1 + y 2 ( x1 ? a ) + ( x 2 ? a ) = = p. 2 2
所 以 |QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2. 又 △ MNQ 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 所 以 |QM|=|QN|=
2P ， 所 以 S
△
NAB=
1 2 2 | AB | ? | QN |= p? | AB |≤ p ? 2 p = 2 p 2 ,即△NAB 面积的最大值为 2 P 2。 2 2 2
（5）求曲线的方程问题 ） 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。若点 A（-1，0）和点 B（0，8）关于 L 的对 称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方程。 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0) 设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为： A/ （
k 2 ?1 2k 16k 8(k 2 ? 1) ），B（ 2 ）。因为 A、B 均在抛物线上，代入，消去 p，得：k2-k-1=0.解得： ,? 2 , k 2 +1 k +1 k +1 k 2 +1
k=
1+ 5 2 5 ,p= . 2 5 1+ 5 4 5 x,抛物线 C 的方程为 y2= x. 2 5
所以直线 L 的方程为：y=
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点 Q （2， 和圆 C： 2+y2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ| 0） x 的比等于常数 λ （ λ >0）,求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 分析： 如图， MN 切圆 C
于点 N， 设 则动点 M 组成的集合是： P={M||MN|= λ |MQ|}， 由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将 M 点坐标代入，可得： O Q N M
( λ 2-1)(x2+y2)-4 λ 2x+(1+4 λ 2)=0. 当 λ =1

时它表示一条直线；当 λ ≠1 时，它表示圆。这种方法叫做直接法。 （6） 存在两点关于直线对称问题 ） 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这 交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决） 典型例题 已知椭圆 C 的方程
x2 y2 + = 1 ，试确定 m 的取值范围，使得对于直线 y = 4 x + m ，椭圆 C 上有不同两 4 3
点关于直线对称。 分析：椭圆上两点 ( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 ) ，代入方程，相减得 3( x1 + x 2 )( x1 ? x 2 ) +
4( y1 + y 2 ) ( y1 ? y 2 ) = 0 。
又x =
x1 + x 2 y + y2 y ? y2 1 = ? ，代入得 y = 3x 。 ，y = 1 ，k = 1 2 2 4 x1 ? x 2
又由 ?
? y = 3x 解得交点 ( ? m,?3m) 。 ?y = 4x + m
( ? m) 2 ( ?3m) 2 2 13 2 13 交点在椭圆内，则有 + < 1 ，得 ? <m< 。 4 3 13 13
（7）两线段垂直问题 ） 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用 k 1 ·k 2 = 典型例题
y 1 ·y 2 = ?1 来处理或用向量的坐标运算来处理。 x 1 ·x 2
已知直线 l 的斜率为 k ，且过点 P ( ?2,0) ，抛物线 C: y 2 = 4( x + 1) ，直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交
点（如图）。 （1）求 k 的取值范围； （2）直线 l 的倾斜角 θ 为何值时，A、B 与抛物线 相垂直。 分析：（1）直线 y = k ( x + 2) 代入抛物线方程得
C 的焦点连线互
y B A P (-2,0) O x
k 2 x 2 + ( 4 k 2 ? 4) x + 4 k 2 ? 4 = 0 ，
由 ? > 0 ，得 ?1 < k < 1( k ≠ 0) 。
4k 2 ? 4 （2）由上面方程得 x1 x 2 = ， k2 y1 y 2 = k 2 ( x1 + 2)( x 2 + 2) = 4 ，焦点为 O(0,0) 。
由 k OA ·k OB =
y1 y 2 k2 2 2 2 = 2 = ?1 ，得 k = ± ， θ = arctan 或 θ = π ? arctan x1 x 2 k ? 1 2 2 2
B:解题的技巧方面 解题的技巧方面
在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲 线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明： （1）充分利用几何图形 ） 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条 件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 典型例题 设直线 3x + 4 y + m = 0 与圆 x + y + x ? 2 y = 0 相交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，若 OP⊥OQ ，求
2 2
m 的值。
解： Q 圆 x 2 + y 2 + x ? 2 y = 0 过原点，并且 OP⊥OQ ，
1 ∴ PQ 是圆的直径，圆心的坐标为 M ( ? ，1) 2 1 又 M ( ? ，1) 在直线 3x + 4 y + m = 0 上， 2 1 5 ∴ 3 × ( ? ) + 4 ×
1 + m = 0， ∴ m = ? 即为所求。 2 2
评注： 此题若不充分利用一系列几何条件： 该圆过原点并且 OP⊥OQ ， 是圆的直径， PQ 圆心在直线 3x + 4 y + m = 0 上，而是设 P ( x1 ，y1 ) 、Q( x 2 ，y 2 ) 再由 OP⊥OQ 和

韦达定理求 m ，将会增大运算量。 评注：此题若不能挖掘利用几何条件 ∠OMP = 90° ，点 M 是在以 OP 为直径的圆周上，而利用参数方程等方法， 计算量将很大，并且比较麻烦。 充分利用韦达定理及“设而不求” 二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点 O，焦点在 y 轴上的椭圆与直线 y = x + 1 相交于 P、Q 两点，且 OP⊥OQ ，| PQ| =
10 ， 2
求此椭圆方程。 解：设椭圆方程为 ax 2 + by 2 = 1( a > b > 0) ，直线 y = x + 1 与椭圆相交于 P ( x1 ，y1 ) 、 Q( x 2 ，y 2 ) 两点。 由方程组 ?
?y = x + 1
2 2 ?ax + by = 1
消去 y 后得
(a + b) x 2 + 2bx + b ? 1 = 0 ∴ x1 + x 2 = ? 2b b ?1 ，x1 x 2 = a +b a +b
（1）
由 k OP ? k OQ = ?1 ，得 y1 y 2 = ? x1 x 2
又 P、Q 在直线 y = x + 1 上，
( 2) ? y1 = x1 + 1， ? (3) ? y 2 = x 2 + 1， ∴ y1 y 2 = ( x1 + 1)( x 2 + 1) = x1 x 2 + ( x1 + x 2 ) + 1
把（1）代入，得 2 x1 x 2 + ( x1 + x 2 ) + 1 = 0 ，
即
2(b ? 1) 2b ? +1= 0 a +b a +b
（4）
化简后，得
a +b = 2
由 | PQ| =
10 5 2 2 ，得 ( x1 ? x 2 ) + ( y1 ? y 2 ) = 2 2
∴ ( x1 ? x 2 ) 2 =
5 5 ， ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = ， 4 4 2b 2 4(b ? 1) 5 ( ) ? = a +b a +b 4 1 3 或b = 2 2
把（2）代入，得 4b 2 ? 8b + 3 = 0 ，解得 b =
3 1 或a = 2 2 3 1 由 a > b > 0 ，得 a = ，b = 。 2 2
代入（4）后，解得 a =
∴ 所求椭圆方程为
3x 2 y 2 + =1 2 2
评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。 三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。 典型例题 求经过两已知圆 C1 ：x 2 + y 2 ? 4 x + 2 y = 0 和 C2 ：x 2 + y 2 ? 2 y ? 4 = 0 的交点，且圆心在直线 l ：
2 x + 4 y ? 1 = 0 上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
x 2 + y 2 ? 4 x + 2 y + λ ( x 2 + y 2 ? 2 y ? 4) = 0
即 (1 + λ ) x 2 + (1 + λ ) y 2 ? 4 x + 2(1 ? λ ) y ? 4λ = 0 ，
2 λ ?1 ， ） 1+ λ λ +1 2 λ ?1 1 又 C 在直线 l 上，∴ 2 ? + 4? ? 1 = 0 ，解得 λ = ，代入所设圆的方程得 x 2 + y 2 ? 3x + y ? 1 = 0 为 1+ λ λ +1 3
其圆心为 C（ 所求。 评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。 四、充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也
是我们常说的三角 代换法。 典型例题 P 为椭圆
x2 y2 + = 1 上一动点，A 为长轴的右端点，B 为短轴的上端点，求四边形 OAPB 面积的最大值 a2 b2
及此时点 P 的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法 ① 充分利用现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线

相交的弦 AB 长的方法是：把直线方程 y = kx + b 代入圆锥曲线方程中，得到型如
△ ax 2 + bx + c = 0 的方程，方程的两根设为 x A ， x B ，判别式为△，则 | AB| = 1 + k 2 ·| x A ? x B | = 1 + k 2· ，若 |a|
直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 例 求直线 x ? y + 1 = 0 被椭圆 x 2 + 4 y 2 = 16 所截得的线段 AB 的长。
② 结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 例
x2 y2 F1 、 F2 是椭圆 + = 1 的两个焦点，AB 是经过 F1 的弦，若 | AB| = 8 ，求值 | F2
A | + | F2 B | 25 9
③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点 A（3，2）为定点，点 F 是抛物线 y 2 = 4 x 的焦点，点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上移动，若 | PA|+| PF | 取得
最小值，求点 P 的坐标。

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