深圳大学 电磁波期末重点1-（终极版） - 图文

电磁波期末复习

大题三十二分，注意看第5、10题。出的几率高，其次是第3和第9题！ 证明题16分，其中一道是第8题，注意要记下来啦！

1．求数量场u(x,y,z)?x2z3?2y2z在点P（2，0，-1）处沿l?2xex?xy2ey?3z4ez方向的方向导数。

解 根据

?u??u?u?uex?ey?ez ?x?y?z得到数量场在点P处的梯度为

?u?

??x2z3?2y2z??xex???x2z3?2y2z??yey???x2z3?2y2z??zez

?2xz3ex?4yzey??3x2z2?2y2?ez在点P处l的单位矢量为

(2,0,1)?4ex?24ez2xex-xy2ey+3z4ez4ex+3ezl l0===2221/2221/2l轾轾l+l+l4+0+3xyz犏犏臌臌由此可得，在点P处的方向导数为

=(2,0,1)43ex+ez 55du3?167288?4??u?l0??4ex?24ez???ex?ez????

dl(2,0,1)5?555?5

2．求下列矢量场的散度和旋度：

（1）A(x,y,z)?(3xy?z)ex?(y?xz)ey?2xyzez

232?Ax?Ay?Az?(3x2y?z)?(y3?xz2)??2xyz?（1）??A???????8xy?3y2 ?x?y?z?x?y?zex???A??xAx

ey??yAyezex????z?xAz3x2y?zey??yy3?xz2ez??4xzex??1?2yz?ey??z2?3x2?ez?z2xyz3．设一点电荷q与无限大接地导体平面的距离为d，如图所示。求：（1）上半空间的电位分布和电场强度；（2）导体平面上的感应电荷密度；（3）点电荷所受的力。

ZqR1P(x,y,z)S(0,0,d)Zqd?0?0Xr1?r2?rXY平面R2qS(0,0,?d)

解 （1）采用镜像法。移去接地导体板，用ε0的介质填充，并在与+q对称的位置S(0,0,-d)处放置一镜像电荷-q，则上半空间任一点的电位为

?q?11?q?11u(x,y,z)??????2224??0?R1R2?4??0?x2?y2??z?d?2x?y?z?d???根据电场强度与电位的关系式，有 E???u???? ???y?z?dz?d??q??xx?y??e??e???3?3?3?3?ez? 3?x3?y4??0??R2R1?R1???R2R1??R2（2）根据电通密度矢量的边界条件，得到感应电荷分布密度为 ?S?n?(D1?D2)?ez???0E?

在导体表面上z=0，R1=R2，令R=R1=R2，得到导体表面的电场强度为 E??因此，有

q??d?d??2qd?e??e ?3?3?z?3z4??0??RR??4??0RZqR1P(x,y,z)S(0,0,d)Zqd?0?0Xr1?r2?rXY平面R2qS(0,0,?d) ?S?ez???0E???qd 32?R （3）点电荷+q所受的力就是点电荷+q与镜像电荷-q之间的作用力，也就等于点电荷+q与无限大导体板上感应电荷之间的作用力，方向向下，沿-ez方向，即

1q2ez F=-4pe0(2d)24..

5.

然后再用

U???rEdr2??rI?2?r??UI1?2?r?R?

6.书上P120例4.5

7．如图所示，求长为l的两条传输线的自感（a?D）。

解 无限长载流导线产生的磁场具有柱对称性，

???rI2dr

选取如图所示坐标系，可写出两无限长载流导线产生的磁场为

B1=m0Iej 2pxB2=m0Iej 2p(D-x)两传输线间平面上的磁场方向相同，有

B=B1+B2=mm0I0Iej+ej 2px2p(D-x)D-aD-a则穿过两导线间长为l的平面上的磁通为

y=蝌B?dS(S)m0I2p2轾11犏+ej?ejldx蝌犏xD-xa臌m0Il2pa轾11犏+dx 犏xD-x臌轾mI(D-a)mD0I犏=0lln=lln-1 2犏2papa臌由于D?a，取近似，有

y=m0IDlln paym0D=ln Ilpa2adxxD 题4-15图 因此，两传输线单位长度的自感为

L=

8．证明通过任意闭合曲面的传导电流和位移电流的总量为零。

证明 根据麦克斯韦方程，有

??H?JV两边取散度，得到

????H????JV?Jd? 由于

????H?0 必有

???JV?Jd??0

对任一闭合面S所构成的体积V，应用散度定理，有

2aIlI?D??t?JV?Jd

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