求抽象函数定义域

求复合函数相关定义域

一、已知f(x)的定义域，求复合函数f[g x ]的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x a,b ，求出f[g(x)]中a g(x) b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。

例1 已知f(x)的定义域为(0，3]，求f(x2 2x)定义域。

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

2 x 2，或x 0 x 2x 0 0 x 2x 3 2 3 x 1 x 2x 3

即 3 x 2或0 x 1

故f(x2 2x)的定义域为 3, 2 0,1

【评注】所谓定义域是指函数中自变量x的取值范围，因此我们可以直接将复合函数22中x 2x看成一个整体x，即由0 x 3可得0 x 2x 3，解出x的范围即可。

2 x x 2 （2006年湖北卷）设f x lg，则f f 的定义域为 （B） 2 x 2 x

A. 4,0 0,4 B. 4, 1 1,4

C. 2, 1 1,2 D. 4, 2 2,4

二、已知复合函数f[g x ]的定义域，求f(x)的定义域

方法是：若f[g x ]的定义域为x a,b ，则由a x b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。

例2 若函数f 3 2x 的定义域为 1,2 ，求函数f x 的定义域

解 1 x 2， 1 3 2x 5，

故函数f x 的定义域为 1,5

【评注】由f 3 2x 的定义域为 1,2 得 1 x 2，有的同学会误将此x的范围当作f x 的定义域，为了更易分清此x非彼x，我们可将3 2x令成一个整体t，即t 3 2x，先解出f t 的定义域，即为f x 的定义域。

三、已知复合函数f[g x ]的定义域，求f[h x ]的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f[g x ]定义域求得f x 的定义域，再由f x 的定义域求得f[h x ]的定义域。

3)，求f x 2 的定义域。 例3 已知f(x 1)的定义域为[ 2，

3)得 2 x 3，故 1 x 1 4 解 由f(x 1)的定义域为[ 2，

即得f x 定义域为[ 1，4)，从而得到 1 x 2 4，所以1 x 6

故得函数f x 2 的定义域为 1,6

四、已知f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 2

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例4 已知函数f x 定义域为是[a,b]，且a b 0

求函数h x f x m f x m m 0 的定义域

a x m b a m x b m 解 ， m 0, a m a m a x m ba m x b m

b m b m，又a m b m

要使函数h x 的定义域为非空集合，必须且只需a m b m，即0 m 这时函数h x 的定义域为[a m,b m]

【评注】由于所得不等式组中两个不等式的四个“端点”都含有字母，所以既要分别判断它们左、右端点值的大小，还要交叉判断第一个不等式的左端点与第二个不等式的右端点和第一个不等式的右端点与第二个不等式的左端点的大小，需要特别指出的是，函数的定义域不能是空集。

b a，2

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