小学五年级奥数—数论之同余问题

数论之同余问题

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：

一、带余除法的定义及性质：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:

如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)

三、弃九法原理：

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：检验算式1234?1898?18922?678967?178902?889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往

往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理：

1.中国古代趣题：

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法：

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

先由5?7?35，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35?2?70是否可以，很显然70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。 最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

2?70?3?21?2?45?k[3,5,7]?233?k[3,5,7]，其中k是从1开始的自然数。

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”， 那么我们可以计算2?70?3?21?2?45?2?[3,5,7]?23得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

例题精讲：

【模块一：带余除法的定义和性质】

【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r． 【解析】 因为1992是a的46倍还多r,得到1992?46?43......14，得1992?46?43?14，所以a?43，

r?14．

【巩固】 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数． 【解析】 (法1)因为 甲?乙?11?32，所以 甲?乙?乙?11?32?乙?乙?12?32?1088；

则乙?(1088?32)?12?88 ，甲?1088?乙?1000．

(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(11?1)倍，所以得到乙数?1056?12?88，甲数?1088?88?1000．

【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问

题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。

本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.

【例 2】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、

除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？

【解析】 被除数?除数?商?余数?被除数?除数+17+13=2113，所以被除数?除数=2083，由于被除数是

除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．

【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求

这2个自然数各是多少？

【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y，可以得到

?x?40y?16?x?856,解方程组得?，即这两个自然数分别是856，21. ?x?y?40?16?933y?21??

【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以

19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

【解析】 设所得的商为a，除数为b．(19a?b)?(23a?b)?(31a?b)?2001，73a?3b?2001，由b?19，

可求得a?27，b?10．所以，这三个数分别是19a?b?523，23a?b?631，31a?b?847。

【巩固】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等

的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．

【解析】 设这个自然数除以11余a(0?a?11)，除以9余b(0?b?9)，则有11a?a?9?3b?b，即3a?7b，

只有a?7，b?3，所以这个自然数为12?7?84。

【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5

人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?

【解析】 由48?4?12，48?5?9.6知，一组是10或11人．同理可知48?3?16，48?4?12知，二组是

13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．

【巩固】 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．

【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13?6?78，并且小于13?(6?1)?91；

又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78?5?83．

【模块二：三大余数定理的应用】

【例 5】 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.

【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据

同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．101?45?56，59?45?14，(56,14)?14，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。

【巩固】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

【解析】 (法1) 39?3?36，147?3?144，(36,144)?12，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小

于除数，这个数是4,6,12；

(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．51?39?12，147?39?108，(12,108)?12，所以这个数是4,6,12．

【巩固】 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．

1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同， 而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．

【巩固】 (2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于

它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？

【解析】 设这个三位数为s，它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n，则s?71a?m?91b?n．

根据题意可知a?m?b?n，所以s??a?m??s??b?n?，即16a?18b，得8a?9b．所以a是9的倍数，b是8的倍数．此时，由a?m?b?n知n?m?a?b?a?a?a．

9981由于s为三位数，最小为100，最大为999，所以100?17a?m?999，而1?m?16，

所以17a?1?17a?m?999，100?17a?m?17a?16，得到5?a?58，而a是9的倍数，所以a最小为9，最大为54．

当a?54时，n?m?a?6，而n?18，所以m?12，故此时s最大为17?54?12?930；

91当a?9时，n?m?a?1，由于m?1，所以此时s最小为17?9?1?154．

91所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．

【例 6】 两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a?b，求ab?ba．

【解析】 即(10a?b)?能被7整除．所以只能有a?b?7，那么abab?ba能被7整除，（10b?a)?9?（a?b）可能为92和81，验算可得当ab?92时，ba?29 满足题目要求，ab?ba?92?29?2668

【巩固】 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，

那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？

【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为118?67?51和67?33?34

的公约数，所求答案为17．

【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数

是_________．

【解析】 因为13903?13511?392, 14589?13903?686，

由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．(392,686)?98，所以所求的最大整数是98．

【例 7】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 22003与20032的和除以7的余数是________． 【解析】 找规律．用7除2，22，23，24，25，26，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2

的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为22003?23?667?2，所以22003除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以20032除以7余1．故22003与20032的和除以7的余数是4?1?5．

【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数

的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．

【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．

因为2?5?2?5?0?7，2?5?3?6?0?2?5?3?6?7?9， 所以这样的数组共有下面4个：?2000,2003?，?1998,2000,2003? ，

?2000,2003,2001,1995? ，?1998,2000,2003,2001,1995?．

【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数

之和是50，那么这个整数是______．

【解析】 (70?110?160)?50?290，50?3?16......2，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能

是29和58，110?58?1......52，52?50，所以除数不是58．

70?29?2......12，110?29?3......23，160?29?5......15，12?23?15?50，所以除数是29

【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为

25，那么n=________

【解析】 n能整除63?91?129?25?258．因为25?3?8...1，所以n是258大于8的约数．显然，n

不

能大于63．符合条件的只有43．

【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码

的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，

1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。

【例 9】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、

26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．

【解析】 六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以

他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(14?17?18?21?26)?3?32 (元) ．

【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，

两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．

【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数．

剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是(15?16?18?19?20?31)?(1?2)?119?3?39...2，20 千克．

【例 10】 求2461?135?6047?11的余数．

【解析】 因为2461?11?223...8，135?11?12...3，6047?11?549...8，根据同余定理(三)，

2461?135?6047?11的余数等于8?3?8?11的余数，而8?3?8?192， 192?11?17...5，所以2461?135?6047?11的余数为5．

【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478?296?351除以17的余数．

【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除

以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2?7?11)?17?9......1．

【巩固】 求31997的最后两位数．

【解析】 即考虑31997除以100的余数．由于100?4?25，由于33?27除以25余2，所以39除以25余8，

310除以25余24，那么320除以25余1；又因为32除以4余1，则320除以4余1；即320?1能被4

和25整除，而4与25互质，所以320?1能被100整除，即320除以100余1，由于

1997?20?99?17，所以31997除以100的余数即等于317除以100的余数，而36?729除以100余

29，35?243除以100余43，317?(36)2?35，所以317除以100的余数等于29?29?43除以100的余数，而29?29?43?36163除以100余63，所以31997除以100余63，即31997的最后两位数为63．

【巩固】 222?2除以13所得余数是_____. ?????2000个\2\【解析】 我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。

【巩固】 求14389除以7的余数． 【解析】 法一：

由于143?3?mod7? (143被7除余3)，

所以14389?389?mod7? (14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等)

而36?729，729?1?mod7?（729除以7的余数为1），

66 所以389?3?3????36?35?35?5?mod7?． ??????14个故14389除以7的余数为5.

法二：

计算389被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：

31 32 33 34 35 36 37 ? ? mod7 3 2 6 4 5 1 3 于是余数以6为周期变化．所以389?35?5?mod7?．

【巩固】 （2007年实验中学考题）12?22?32???20012?2002除以7的余数是多少？ 【解析】 由于12?22?32???20012?20022?2002?2003?40056而1001是7的倍数，?1001?2003?1335，

所以这个乘积也是7的倍数，故12?22?32???20012?20022除以7的余数是0；

【巩固】 ?3130?3031?被13除所得的余数是多少？

【解析】 31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，?时5n被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，

12，8，1?以4为周期循环出现，所以530被13除的余数与52被13除的余数相同，余12，则3130除以13的余数为12；

30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，?时，4n被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，??以6为周期循环出现，所以431被13除所得的余数等于41被13除所得的余数，即4，故3031除以13的余数为4； 所以?3130?3031?被13除所得的余数是12?4?13?3．

【巩固】 (2008年奥数网杯)已知a?20082008?2008?????????，问：a除以13所得的余数是多少？

2008个2008【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到20082008?2008?10000?2008；

200820082008?20082008?10000?2008； 2008200820082008?200820082008?10000?2008；

??

根据这样的递推规律求出余数的变化规律：

20082008除以13余6?3?6?13?11，200820082008除以13余11?3?6?39?0，即200820082008是13的倍数．

而2008除以3余1，所以a?20082008?2008?????????除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.

2008个2008

【巩固】 777????77除以41的余数是多少？ ????1996个7【解析】 找规律：7?41?□???7，77?41?□???36，777?41?□???39，7777?41?□???28，

77777?41?□???0，……，所以77777是41的倍数，而1996?5?399?1，所以777????77可以分????1996个7成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7．

【巩固】 11?22?33?44????20052005除以10所得的余数为多少？

【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，

而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的． 首先计算11?22?33?44????2020的个位数字，

为1?4?7?6?5?6?3?6?9?0?1?6?3?6?5?6?7?4?9?0?94的个位数字，为4， 由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4?100?400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是

1?4?7?6?5?23的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．

【例 11】 求所有的质数P，使得4p2?1与6p2?1也是质数．

【解析】 如果p?5，则4p2?1?101，6p2?1?151都是质数，所以5符合题意．如果P不等于5，那么P

除以5的余数为1、2、3或者4，p2除以5的余数即等于12、22、32或者42除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况．如果p2除以5的余数为1，那么4p2?1除

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