第四章 随机变量的数字特征试题答案

武汉长江工商学院概率论与数理统计12级电商试题答案

第四章 随机变量的数字特征试题答案

一、选择（每小题2分）

1、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D） A. E（X）=0.5，D（X）=0.5 B. E（X）=0.5，D（X）=0.25 C. E（X）=2，D（X）=4 D. E（X）=2，D（X）=2 2、设随机变量X与Y相互独立，且X~N（1，4），Y~N（0，1），令Z?X?Y，则D（Z）= （ C ）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 3、已知D（X）=4，D（Y）=25，cov（X，Y）=4，则?XY =（C） A. 0.004 B. 0.04 C. 0.4 D. 4

4、设X，Y是任意随机变量，C为常数，则下列各式中正确的是（ D ） A． D（X+Y）=D（X）+D（Y） B． D（X+C）=D（X）+C C． D（X-Y）=D（X）-D（Y） D． D（X-C）=D（X）

x?2?0,?x?5、设随机变量X的分布函数为F(x)???1,2?x?4?2x?4??1,A．

，则E(X)=（D）

113 B． C． D． 3 322116、设随机变量X与Y相互独立，且X~B(36,)，Y~B(12,)，则D(X?Y?1)=（C）

63472326A． B． C． D．

333317、设随机变量X服从参数为3的泊松分布，Y~B(8,)，X与Y相互独立，则

3D(X?3Y?4)=（C）

A． -13 B． 15 C． 19 D． 23

8、已知D(X)?1，D(Y)?25，?XY=0.4，则D(X?Y)=（B） A． 6 B． 22 C． 30 D． 46 9、设X~B(10,)，则E(X)=（C） A．

13110 B． 1 C． D． 10 33210、设X~N(1,3)，则下列选项中，不成立的是（B）

A. E（X）=1 B. D（X）=3 C. P（X=1）=0 D. P（X<1）=0.5 11、设E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)及cov(X,Y)均存在，则D(X?Y)=（C） A． D(X)+D(Y) B． D(X)-D(Y)

1

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C．D(X)+D(Y)-2cov(X,Y) D．D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)

Y~N(2,10)，12、设随机变量X~B(10,)，又E(XY)?14，则X与Y的相关系数?XY=

（D） A． -0.8 B． -0.16 C． 0.16 D． 0.8

12X13、已知随机变量X的分布律为

Pi?21x，且E（X）=1 ，则常数x=( B)

0.25p0.25A． 2 B． 4 C． 6 D． 8

14、设随机变量X服从参数为2的指数分布，则随机变量X的数学期望是（C） A. -0.5 B. 0 C. 0.5 D. 2

?1?e?2x15、已知随机变量X的分布函数为F(x)=??0x?0，则X的均值和方差分别为（ D） otherA．E(X)?2,D(X)?4 B． E(X)?4,D(X)?2 C．E(X)?1111,D(X)? D．E(X)?,D(X)? 42240 1 16、设二维随机变量（X，Y）的分布律为 Y X 0 1 则E(XY)=（B ） A． ?1 31 31 30 111 B． 0 C． D． 99317、已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量X的方差为（D）

A． ?2 B． 0 C．0.5 D 2 18、设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为2的指数分布，Y～B(6，0.5)，则E(X-Y)=( A) A． ?2.5 B． 0.5 C． 2 D． 5 19、设二维随机变量(X，Y)的协方差cov(X，Y)=关系数?XY为（ B） A．

1，且D(X)=4，D(Y)=9，则X与Y的相6111 B． C． D． 1

62163620、设随机变量X与Y相互独立，且X～N (0，9)，Y～N (0，1)，令Z=X-2Y，

则D (Z)=（D） A． 5 B． 7 C． 11 D 13 21、设(X，Y)为二维随机变量，且D (X)>0，D (Y)>0，则下列等式成立的是（B） A． E(XY)?E(X)E(Y) B． cov(X,Y)??XY?D(X)D(Y)

2

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C． D(X?Y)?D(X)?D(Y) D． cov(2X,2Y)?2cov(X,Y)

22、设X1,X2,?,Xn是来自总体N(?,?2)的样本，对任意的ε>0，样本均值X所满足的切比雪夫不等式为（B） A． PX?n??????n?2?2?2 B． PX?????1? 2n? D．PX?n??????C． PX?????1???n?2?2??n?2?2

23、设随机变量X的E(X)??，D(X)??2，用切比雪夫不等式估计

P?X?E(X)?3???（C）

A．

118 B． C． D． 1 93924、设随机变量 X服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计PX?2?3?（C） A．

??1141 B． C． D 939225、已知随机变量X～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D） A． 1 B． 2 C． 3 D 4 二、填空（每小题2分）

21、设X~B(4,)，则E(X)=5 122、设E（X）=2，E（Y）=3，E（XY）=7，则cov（X，Y）=1 3、已知随机变量X满足E(X)??1，E(X)?2，则D(X)=1 4、设随机变量X，Y的分布列分别为

2XPi1132163Y1

Pi2?10112411 4且X，Y相互独立，则E（XY）= ?13 2410 75、随机变量X的所有可能取值为0和x，且P{X?0}?0.3，E(X)?1，则x=

X6、设随机变量X的分布律为

Pi?1010.10.20.32，则D(X)=1 0.44 97、设随机变量X服从参数为3的指数分布，则D(2X?1)=

3

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28、设二维随机变量(X,Y)~N(?1,?2;?12,?2;?)，且X与Y相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列X1,X2,?,Xn,?独立同分布，且E(Xi)??，D(Xi)??2?0，

?n?X?n??i???i?1?i?1,2,?，则对任意实数x，limP??x?=1??(x)

n????n?????10、设随机变量X具有分布P{X?k}?1，k?1,2,3,4,5，则E(X)=3 511、设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X-2, 则E ( Y )=-0.5 X12、已知随机变量X的分布律为

Pi?105，则P{X?E(X)}=0.8

0.50.30.213、已知E（X）= -1 ，D（X）=3,则E(3X2?2)=10 14、设X1，X2，Y均为随机变量，已知covX(1,Y)??1，cov(X2,Y)?3，则

covX(1?2X2,Y)=5 15、设X~N(0,1)，Y~B(16,)，且X，Y相互独立，则D(2X?Y)=8 16、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为0.0228 （附：Φ（2）=0.9772） 17、设随机变量X ~ B（100，0.2），应用中心极限定理计算P{16?X?24}=0.6826 附：Φ（1）=0.8413 18、设随机变量X，Y的期望和方差分别为E(X)=0.5，E(Y)=-0.5，D(X)=D(Y)=0.75，E(XY)=0，则X，Y的相关系数?XY=

121 319、设随机变量X的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y的期望E (Y)=4, D (Y )=9, 又E (XY )=10，则X，Y的相关系数?XY=

1 35 3220、设随机变量X服从二项分布B(3,)，则E(X)=

13三、计算：每小题5分

1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X服从泊松分布，则X~P(?)，若已知P{X?1}?P{X?2}，且该柜台销售情况Y（千元），满足Y?试求：（1）参数λ的值。

12X?2。 2 4

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（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率 （3）该柜台每小时的平均销售情况E（Y） 解：（1）因为 X服从泊松分布，则 P{X?k}?又因为 P{X?1}?P{X?2}

?ke??k!，k?0,1,2,?;??0，

所以

?1e??1!??2e??2!，??2

2ke?2所以 P{X?k}?，k?0,1,2,?;??0

k!20e?2?1?e?2 （2）P{X?1}?1?P{X?0}?1?0!所以 一小时内至少有一个顾客光临的概率为1?e。

（3）因为 X服从泊松分布，则E(X)???2，D(X)???2， 所以 E(X2)?D(X)?[E(X)]2?2?22?6

?2111E(Y)?E(X2?2)?E(X2)?2=?6?2?5

222所以该柜台每小时的平均销售情况E（Y）=5

2、设(X,Y)的密度函数为

?2?x?y,f(x,y)???0,0?x?1,0?y?1

other求：E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X,Y)，?(X,Y)

1155解：E(X)=?dx?x(2?x?y)dy?， E(Y)=?dx?y(2?x?y)dy?

00001212111113E(XY)=?dx?xy(2?x?y)dy?， E(X2)=?dx?x2(2?x?y)dy?

000061211322 E(Y)=?dx?y(2?x?y)dy?，

0012351122?()2? D(X)=E(X)?(E(X))? 1212144351122?()2? D(Y)=E(Y)?(E(Y))? 121214411 5

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(,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)? covX1551???? 6121214411cov(X,Y)144?? =?(X,Y)=

11D(X)D(Y)111144144? 6

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