上海市宝山区2015-2016学年度第一学期期末教学质量监测高三数学
更新时间:2023-03-08 05:07:13 阅读量: 教学研究 文档下载
上海市宝山区2015-2016学年度第一学期期末教学质量监测
高三数学试卷
(本试卷共有23道试题,满分150分,考试时间120分钟.)
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零
分.
1.方程4x?2x?6?0的解集为 .
2.已知:(1-2i)z?5+10i(是虚数单位 ),则z= .
3.以(1,2)为圆心,且与直线4x?3y?35?0相切的圆的方程是 .
n????2??4.数列???,n?N*?所有项的和为 .
??3????5. 已知矩阵A=???12??x6??1922?????,B=,AB=??78??4350??,则x+y= . y4??????6. 等腰直角三角形的直角边长为1,则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 .
a??7.若?x??的展开式中x3的系数是-84,则a= .
x??9x2y2??1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 . 8. 抛物线y??12x的准线与双曲线9329. 已知?,t?0,函数f(x)?3sin?x的最小正周期为2?,将f(x)的图像向左平移个单位,所得图像对应
1cos?x的函数为偶函数,则的最小值为 .
10.两个三口之家,共4个大人,2个小孩,约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游,每辆车最多乘坐4人,其中两个小孩不能独坐一辆车,则不同的乘车方法种数是 .
rrrrrr3rr11. 向量a,b满足a?1,a?b?,a与b的夹角为60°,则b? . 212. 数列1,,,,,,,,,,???,则
1212312342132143218是该数列的第 项. 91的图像上,x13. 已知直线(1?a)x?(a?1)y?4(a?1)?0(其中a为实数)过定点P,点Q在函数y?x?则PQ连线的斜率的取值范围是 .
14. 如图,已知抛物线y2?x及两点A1(0,y1)和A2(0,y2),其中y1?y2?0.过A1,A2分别作y轴的垂线,交抛物线于B1,B2两点,直线B1B2与y轴交于点A3(0,y3),此时就称A1,A2确定了A3.依此类推,可由A2,A3确定A4,L.记An(0,yn),n?1,2,3,L.
给出下列三个结论: ① 数列{yn}是递减数列; ② 对任意n?N*,yn?0; ③ 若y1?4,y2?3,则y5?2. 3其中,所有正确结论的序号是_____.
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得5分,不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分.
15.如图,该程序运行后输出的结果为…… ( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)16
16. P是?ABC所在平面内一点,若CB??PA?PB,其中??R, 则P点一定在……( )
(A)?ABC内部 (B)AC边所在直线上 (C)AB边所在直线上 (D)BC边所在直线上 17.若a,b是异面直线,则下列命题中的假命题为
------------------------------------------ ( )
(A)过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面?与直线b平行; (B)过直线a至多可以作一个平面?与直线b垂直; (C)唯一存在一个平面?与直线a、b等距; (D)可能存在平面?与直线a、b都垂直。
18.王先生购买了一部手机,欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网,经调查其收费标准见下表:(注:本地电话费以分为计费单位,长途话费以秒为计费单位.)
网络 甲:联通130 月租费 12元 本地话费 0.36元/分 长途话费 0.06元/秒
乙:移动“神州行”
无 0.60元/分 0.07元/秒 若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍,若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算. ……( )
(A)300秒 (B)400秒 (C)500秒 (D)600秒
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤,答题务 必写在黑色矩形边框内. A19.(本题满分12分) 在三棱锥P?ABC中,已知PA,PB,PC两两垂直,PB=5,PC=6,三棱锥P?ABC的体积为20,Q是BC的中点,求异面直线PB,AQ所成角的大小(结果用反三角函数值表示)。
20. (本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
PQBC已知角A、B、C是?ABC的三个内角,a、b、c是各角的对边,若向量
9A?B?A?B???5m??1?cos(A?B),cos?,n??,cos?,且m?n?.
82?2???8(1)求tanA?tanB的值; (2)求
21. (本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分)
某市2013年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车2万张.为了节能减排和控制总量,从2013年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变. ...(1)记2013年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列?an?,每年发放的电动型汽车牌照数构成数列?bn?,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;
absinC的最大值. 222a?b?ca1?10 a2?9.5 a3? a4? …
b1?2 b2?3 b3? b4? … (2)从2013年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张?
22. (本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)
x21已知椭圆?y2?1上两个不同的点A,B关于直线y?mx?(m?0)对称.
22(1)若已知C(0,),M为椭圆上动点,证明:MC?(2)求实数m的取值范围;
(3)求?AOB面积的最大值(O为坐标原点).
1210; 2yOBAx
23.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
已知函数f(x)?logkx(k为常数,k?0且k?1),且数列?f(an)?是首项为4, 公差为2的等差数列.
(1)求证:数列?an?是等比数列; (2) 若bn?an?f(an),当k?1时,求数列?bn?的前n项和Sn的最小值; 2(3)若cn?anlgan,问是否存在实数k,使得?cn?是递增数列?若存在,求出k的范围;若不存在,说明理
由.
宝山区2015学年第一学期期末高三年级数学
参考答案
一.填空题
1. ?log23? 2. -3-4i 3.?x?1???y?2??25 4. 2
225. 8 6. 10.48 11.
5?2? 7. 1 8. 33 9. 661 12. 128 13. [?3,??) 14. ① ② ③ 2二.选择题 15.D 16. B 17. D 18.B
三.解答题 19.解:V?11??5?6PA?20,所以PA?4,-------------------3分 32A取PC的中点为D,连结AD,DQ,
则?AQD为异面直线PB,AQ所成的角,--------------------------------5分 PD?3,QD?5,DA?5,------------------------------------7分 2PQBDC因为QD?平面PAC,所以QD?AD----------------------9分 所以tan?AQD?2
异面直线PB,AQ所成的角为arctan2。-----------------------12分
20. (本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
ururr9A?Br5A?B解:(1)由m?(1?cos(A?B),cos),n?(,cos),且m?n?,
28285A?B9即[1?cos(A?B)]?cos2?.-----------------------------------------------------2分 828∴4cos(A?B)?5cos(A?B),--------------------------------------------------------------------4分 即cosAcosB?9sinAsinB,∴tanAtanB?1.----------------6分 9
absinCabsinC1??tanC,-----------------8分
a2?b2?c22abcosC2tanA?tanB9而∵tan(A?B)??(tanA?tanB)------------------------------------------10分
1?tanAtanB81由tanAtanB?知:tanA,tanB?0 ------------------------------------------11分
993tan(A?B)??2tanAtanB?,
841当且仅当tanA?tanB?时取等号,-------------------------------------------------------------12分
33又tanC??tan(A?B),∴tanC有最大值?,
4absinC3所以2的最大值为.---------------------------------14分 ?a?b2?c28(2)由余弦定理得21. 解:(1)
a1?10 b1?2 a2?9.5 b2?3 a3? 9 b3? 4.5 a4? 8.5 b4? 6.75 … … --------------------------------------------------------------1分 当1?n?20且n?N?时,an?10?(n?1)?(?0.5)??当n?21且n?N?时,an?0.
n21?; 22?n21????,1?n?20且n?N----------------------------------------------------------4分 ?an??22?0,n?21且n?N??而a4?b4?15.25?15,
3n?1?2?(),1?n?4且n?N??-------------------------------------------------------------7分 ?bn??2?6.75,n?5且n?N??(2)当n?4时,Sn?(a1?a2?a3?a4)?(b1?b2?b3?b4)?53.25.---------------8分 当5?n?20时,Sn?(a1?a2?L?an)?(b1?b2?b3?b4?b5?L?bn)
32[1?()4]n(n?1)12?6.75(n?4) ?(?)? ?10n?3221?2
16843------------------------------------------------------------11分 n?44416843由Sn?200 得?n2?n??200,即n2?68n?843?0,
444 ??n2?解得n=34?313?16.30?21 --------------------------------------------------------------13分
?到2029年累积发放汽车牌照超过200万张----------------------------------------------------14分
22. (本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)
x2解:(1)设M(x,y),则?y2?1, 于是
211MC?x2?(y?)2=2?2y2?(y?)2
22 ??y2?y?9 --------------------------------------------------------2分 4 ?15?(y?)2?
22 因?1?y?1,
所以,当y??11010时,MC.即MC? ----------------------------4分 ?max222(2)由题意知m?0,可设直线AB的方程为y??1x?b. ------------------------------5分 m?x2?y2?1,??2由?消去y,得 ?y??1x?b,?m?2?m222b2x?x?b?1?0. --------------------------------------------------------7分 22mmx21?y2?1有两个不同的交点, 因为直线y??x?b与椭圆2m所以,???2b2?2?即b2?1?4?0, m2
①----------------------------8分
2 m2
2mbm2b将AB中点M(2,2) --------------------------------------------------------9分
m?2m?2m2?21代入直线方程y?mx?解得b??
2m22由①②得m??
②
66或m? --------------------------------------------------------10分 33(3)令t?1663?(?,0)(0,),即t2?(0,), m222?2t4?2t2?则 AB?t2?1?t2?1232 --------------------------------------------11分
12 -----------------------------------------------12分 且O到直线AB的距离为d?t2?1t2?设?AOB的面积为S(t),所以
S(t)?1112AB?d??2(t2?)2?2? --------------------------14分 22221时,等号成立. 22. ---------------------------------------------------16分 2当且仅当t2?故?AOB面积的最大值为23.(本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 解:(1) 证:由题意f(an)?4?(n?1)?2?2n?2,即logkan?2n?2, ∴an?k2n?2 ---------------------------------2分
an?1k2(n?1)?2?2n?2?k2. ∴ank2∵常数k?0且k?1,∴k为非零常数,
42∴数列?an?是以k为首项,k为公比的等比数列. -----------------------4分
(2) 当k?11时,an?n?1 , f(an)?2n+2,----------------------6分
22
1?1?1???2n?2?4114?2n?所以Sn?n??n2?3n??n?1-------------------8分
12221?2112,所以,是递增数列, n?1n?3n??因为n?1221115因而最小值为S1?1?3???。----------------------10分
2442n?2lgk,要使cn?cn?1对一切n?N*成立, (3) 由(1)知,cn?anlgan?(2n?2)?k*即(n?1)lgk?(n?2)?k?lgk对一切n?N成立. ----------------------12分
22*n?1?(n?2)klgk?0k?1 当时,,对一切n?N恒成立;---------------14分
2*当0?k?1时,lgk?0,n?1?(n?2)k对一切n?N恒成立,
?n?1?2k?只需??,-------------------------------------------------16分
?n?2?minn?11?1?∵单调递增, n?2n?22?n?1??n?1∴当时,?. -----------------------------------17分 ?n?23??min2∴k?26,且0?k?1, ∴0?k?. 33综上所述,存在实数k?(0,
6)U(1,??)满足条件. ------------------18分 3
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