内积空间的基本概念 - 图文

Hilbert空间

一 内积空间的基本概念

设H是域K上的线性空间，对任意x,y?H，有一个中K数

(x,y)与之对应，使得对任意x,y,z?H；??K满足

1） 2） 3） 4）

(x,y)?0；(x,y)＝0，当且仅当 x?0； (x,y)＝(y,x)；

(?x,y)??(x,y)；

(x?y,z)＝(x,z)＋(y,z)；

定理1.1设H是内积空间，则对任意x,y?H有：

___________称(,)是H上的一个内积，H上定义了内积称为内积空间。

|(x,y)|?(x,x)(y,y)。

2设H是内积空间，对任意x?H，命

||x||?(x,x)

则||?||是H上的一个范数。

例 设H是区间[a,b]上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意x,y?H，定义

(x,y)??x(t)y(t)dt

ab________则与L[a,b]类似，(x,2y)是一个内积，由内积产生的范数为

b212a||x||?(?|x(t)|dt)上一个内积介不是Hilbert空间。

1.2 设H是内积空间，则内积(x,y)是x,y的连续

函数，即时xn?x，y?y，(x,y)?(x,y)。

nnn定理1.3 设H是内积空间，对任意x,y?H，有以下关系式成立，

1） 平行四边形法则：

||x?y||2＋||x?y||2＝2(||x||?||y||)；

222） 极化恒等式：

1(x,y)＝（||x?y||4i||x?iy||)

22－

||x?y||2＋

i||x?iy||2－

定理1.4 设X是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X中原来的范数。 二 正交性，正交系 1 正交性

设H是内积空间，x,y?H，如果(x,y)?0，称x与y正交，记为x?y。

?M；如果M,N是H中两个子集，

与

设M是H的任意子集，如果x?H与M中每一元正交，称x与M正交，记为x对于任意

x?M,y?N,x?y，称MN正交，记

M?N。设M是H的子集，所有H中与M正交的元的全体

M的正交补，记为M?。

定理2.1 设H是内积空间 1） 如果x,y,z?H，x?y?z且y?z，则||x||__2＝

||y||2） 如果

2＋||z||2；

，并且

L是H的一个稠密子集，即L?Hx?L，则x?0；

?3）

M是H的任意子集，则M是H的闭子空间。

定理2.2 设M是内积空间H中的完备凸集，则对任意

x?H，存在x?M，使得

0||x?x||＝d(x,M)?inf||x?y||

0y?M定理2.3（正交分解）设M是Hilbert空间H的闭子空间，则对任意x?H，存在唯一的x0?M及y?M，使得

?x?x?y

02 正交系

设{x?}，??I是内积空间H中的子集，如果???时

称{x?},??I是中的一个正交系。设{x?},??I(x?,y?)?0，

||是一个正交系，如果对每一上??I，

一个标准正交系。

x?||?1,称{x?},??I是

设{x?}，??I是H的一个正交系，如果包含它的最小闭子空间是全空间H，称{x?},??I是的正交基。

定理2.4 设{en}是内积空间H中的标准正交系，x?H，

?,...,?1是n个数，则当且当仅?kkk?(x,e)(k?1,...,n)时，

k||x???e||取最小值。

k?1n定理2.5（Bessel不等式）设{en}是内积空间H中的标准正交系，则对任意x?H，有

?|(x,e)|?||x||2k?1k?2

定理2.6 设{en}是内积空间中的一个标准正交系，则{en}是完备的，当且仅当{en}张成的子空间L在H中稠密。

定理2.7 设H是Hilbert空间，{en}是H中的标准正交系，则{en}是完备的，当且仅当{en}是完全的。

定理2.8 设H是Hilbert空间，{en}是H中的标准正交系，{?n}?l，则存在x?H，使得

2??(x,e)(k?1,2,...)

kk并且

?|?|?||x||2k?1k?2

定理2.9（正交化定理）设{xn}是内积空间H中的可数子集，则在H中存在标准正交系{en}，使得{xn}与{en}张成的子空间相同。

3 可分空间的同构

定理2.10 设H是任一可分的无穷维的Hilbert空间，则存在

H上到l2同构映射?，且?保持内积。

l三 1

2

Riesz表示定理，Hilbert空间的共轭空间

Riesz表示定理

定理3.1（Riesz表示定理）设H是Hilbert空间，f是H上

任意有界线性泛函，则存在唯一的

fy?Hf，使得对于每一个

fx?H，有f(x)?(x,y)，并且有||f||?||y||。

2空间的共轭空间

设H是Hilbert空间，A??(H)，于是对任意y?H，易见(Ax,y)(x?H)是H上的一个有界线性泛函，因此由Riesz表示定理，存在唯一的z?H，使得

(Ax,y)＝(x,z) (x?H)

定义By （1）

?z。

定义 设H是Hilbert空间，A??(H)，把（1）式确定的有界线性算子B称为A的共轭算子。

注意区别第三章第四节中定义H上的有界线性算子A的共轭算子A。

*以后说到Hilbert空间H上的有界算子的共轭算子A均指（1）定义的算子B，并且把它记为A，即A的共轭算子A是由下式定

**义的算子：

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