中专一年级下册数学教案

永州工贸分校中专一年级数学教案 总第 课时

【课题】 6．1 数列的概念

【教学目标】

知识目标：

（1）了解数列的有关概念；

（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式． 能力目标：

通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．

【教学重点】

利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．

【教学难点】

根据数列的前若干项写出它的一个通项公式． *创设情境 兴趣导入

将正整数从小到大排成一列数为

1，2，3，4，5，?． (1 )

将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为

2,22,23,24,25,?． (2 )

当n从小到大依次取正整数时，cosn?的值排成一列数为

-1，1，-1，1，?． (3 )

取无理数?的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，排成一列数为 3，3.1，3.14，3.141，3.1416，?． *动脑思考 探索新知 *动脑思考 探索新知 【新知识】

象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右的排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，?，第n项，?，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，?，n，分别叫做对应的项的项数．

只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列． 【小提示】

数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念．如数列（2）中，第3项为23，

这一项的项数为3. 【想一想】

1

上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列? 【新知识】

由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对应，所以无穷数列的一般形式可以

写作a1,a2,a3,?,an，?．(n?N)

简记作{an}．其中，下角码中的数为项数，a1表示第1项，a2表示第2项，?．当n由小至大依次取正整数值时，an依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第n项an叫做数列{an}的通项或一般项． *运用知识 强化练习

1.说出生活中的一个数列实例．

2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个数列？ 3.设数列{an}为“-5,-3,-1,1,3, 5，?” ，指出其中a3、a6各是什么数？ *创设情境 兴趣导入

【观察】

6.1.1中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列出的正整数．

a1?1，a2?2，a3?3，?， 可以看到，每一项与这项的项数恰好相同．这个规律可以用 an?n(n?N*)

表示．利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如a11?11，a20?20．

6.1.1中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的2的正整数指数幂． a1?2，a2?22，a3?23，?，

可以看到，各项的底都是2，每一项的指数恰好是这项的项数．这个规律可以用 an?2n(n?N*)

表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如a11?211，a20?220． *动脑思考 探索新知 【新知识】

一个数列的第n项an，如果能够用关于项数n的一个式子来表示，那么这个式子叫做

1

?这个数列的通项公式.

数列（1）的通项公式为an?n，可以将数列（1）记为数列{n}；数列（2）的通项公式为an?2n，

2

可以将数列（2）记为数列{2n}. *巩固知识 典型例题

例1 设数列{an}的通项公式为

an?1， n2写出数列的前5项．

分析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需将通项公式中的n换成该项的项数，并计算出结果．

1111111111；；；；． ?a??a??a??a??234521222423824162532例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.

解 a1? (1)5,10,15,20，?； (2)

1111,,,,?； （3）?1，1，?1，1，?． 2468分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式子表示这种关系． 解 （1）数列的前4项与其项数的关系如下表： 项数n 项an 关系 1 2 3 4 5 10 15 20 5=5×1 10=5×2 15=5×3 20=5×4 由此得到，该数列的一个通项公式为

An=5n．

（2）数列前4项与其项数的关系如下表：

序号 1 2 3 1 611?62?34 11项an

24

1111??

22?142?2关系

由此得到，该数列的一个通项公式为

an?1 811?82?4 1． 2n（3）数列前4项与其项数的关系如下表： 由此得到，

序号 1 2 项公式为

项an ?1 1 an?(?1)n．

【注意】

关系 (?1)1 (?1)2 3 ?1 (?1)3 4 1 (?1)4 该数列的一个通

由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的．例如，an?(?1)n与an?cosn?都是例2（3）中数列“?1，1，?1，1，?．”的通项公式．

3

【知识巩固】

例3 判断16和45是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指出是第几项. 分析 如果数a是数列中的第k项，那么k必须是正整数，并且a?3k?1. 解 数列的通项公式为an?3n?1. 将16代入数列的通项公式有

16?3n?1，

解得

n?5?N*．

所以，16是数列{3n?1}中的第5项．

将45代入数列的通项公式有

45?3n?1，

解得

n?44?N*， 3所以，45不是数列{3n?1}中的项． *运用知识 强化练习

1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项： （1）an?3?2； （2）an?(?1)?n． 2. 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式：

11111357（1）?1，1，3，5，?； (2) ?, , ?, ，?； (3) ,,,，?.

912246836nn3. 判断12和56是否为数列{n2?n}中的项，如果是，请指出是第几项． 课堂小结：

作 业： 教学后记：

4

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【课题】 6．2．1 等差数列的定义

【教学目标】

1、理解等差数列的定义；

2、通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．

【教学重点】

等差数列的通项公式．

【教学难点】

等差数列通项公式的推导． *创设情境 兴趣导入 【观察】

将正整数中5的倍数从小到大列出，组成数列： 5，10，15，20，?． （1） 将正奇数从小到大列出，组成数列：

1，3，5，7，9，?． （2） 观察数列中相邻两项之间的关系，

发现：从第2项开始，数列(1)中的每一项与它前一项的差都是5；数列（2）中的每一项与它前一项的差都是2．这两个数列的一个共同特点就是从第2项开始，数列中的每一项与它前一项的差都等于相同的常数． *动脑思考 探索新知

如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示．

由定义知，若数列?an?为等差数列，d为公差，则an?1?an?d,即

an?1?an?d

（6.1）

*巩固知识 典型例题

例１ 已知等差数列的首项为12，公差为?5，试写出这个数列的第2项到第5项． 解 由于a1?12,d??5，因此

5

a2?a1?d?12???5??7；

a3?a2?d?7???5??2； a4?a3?d?2???5???3；

a5?a4?d??3???5???8. *运用知识 强化练习

1. 已知?an?为等差数列，a5??8，公差d?2，试写出这个数列的第8项a8． 写出等差数列11,8,5,2,?的第10项. 课堂小结： 作 业： 教学后记：

6

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6.2.2 等差数列的通项公式

【教学目标】

1. 理解等差数列的通项公式的意义，能根据通项公式写出数列的任意一项，以及根据其前几项写出它的一个通项公式．

2. 了解等差数列的递推公式，会根据等差数列的递推公式写出前几项． 3. 培养学生积极参与、大胆探索的精神，培养学生的观察、分析、归纳的能力． 【教学重点】

等差数列的通项公式及其应用． 【教学难点】

根据等差数列的前几项写出满足条件的数列的一个通项公式． 【教学过程】 导 入

⒈等差数列的定义 2. 问题：

你能很快地写出例1中数列的第101项吗？

显然，依据公式（6.1）写出数列的第101项，是比较麻烦的，如果求出数列的通项公式，就可以直接求出数列的第101项。 新 授

设等差数列｛an｝的公差为d，则 a1= a1

a2= a1+d

a3= a2+d =(a1+d)+d= a1+2d a4=a3+d =(a1+2d)+d= a1+3d ?? 以此类推，通过观察可以得到等差数列的通项公式

an= a1+(n－1)d （6.2）

已知等差数列｛an｝中的a1和d利用公式（6.2），可以直接计算出数列的任意一项。 在例1的等差数列｛an｝中，a1=12，d=－5，所以数列的通项公式为

7

an=12+（(n－1）（－5）=17－5n

a101=17－5×101=－488

例题巩固： 例2.求等差数列

－1，5，11，17，? 的第50项。 解（略）

6 在等差数列｛an｝中，a100=48，公差d=求首项a1

1， 3例4.小明、小明的爸爸 和小明的爷爷三个的年龄恰好构成一个等差数列，他们三人的年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小明的年龄的4倍还多5岁，求他们祖孙三人的年龄。 解：设小、爸爸和爷爷的年龄分别为a－d，a，a+d, 其中d为公差，根据题意，列出方程

(a－d)+a+(a+d)=120 ① 4(a－d)+5=a+d ② 由①、②得a=40,d=25 从而，

a－d=15 a+d=65

答：小明、爸爸和爷爷的年龄分别为15岁、40岁和65岁

巩固练习：

P8练习6.2.2.

小 结 ：本节课主要学习了等差数列的通项公式，利用公式求出等差数列的任意一项。 作 业：

P11习题6.2T2、3、4

教学后记：

8

永州工贸分校中专一年级数学教案 总第 课时

6．2．3 等差数列应用举例

【教学目标】

1. 理解并掌握等差数列的通项公式及前n 项和公式，并会应用公式解决简单的问题． 2. 逐步熟练等差数列通项公式与前n 项和公式的综合应用，培养学生的运算能力． 3. 通过公式的探索、发现，培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力，渗透特殊到一般的思想． 【教学重点】

等差数列的通项公式及前n 项和公式的应用． 【教学难点】

等差数列的通项公式及前n 项和公式的应用． 【教学过程】 导 入：

1、等差数列的通项公式：an= a1+(n－1)d 2、等差数列前n项和公式：Sn = 或Sn = n a1 + d

新 授：

例7．某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？

解：依题意知，各排座位数成等差数列，设公差d=2，a25=70，于是 70= a1+(25－1)×2 a1=22 所以，S25 =

25(2270)=1150 2答：礼堂共有1150个座位

例8、小王走上工作岗位后，采用零存整取方式在农行存款，每年从1月份开始，每月第1天存入银行1000元年，银行以利率1.71%计息，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）是多少（精确到0.01元）？

解：年利率 1.71%，折合月利率为0.1425%

9

第一月的存款利息为 1000× 0.1425%×12（元）

第二个月的存款利息为 1000× 0.1425%×11（元）

第三月的存款利息为 1000× 0.1425%×10（元）

?? 第十二个月的存款利息为 1000× 0.1425%×1（元） 应得到的利息就是上面各期利息之和

Sn= 1000× 0.1425%×（1+2+3+?+12）=111.15（元）

故年终本金与利息之和为

12×1000+111.5=12111.15（元）

练 习：

P11，练习6.2.4

小 结：

本节课我们主要运用了等差数列的通项公式和前n项和公式解决实际问题。

作 业： P12 T11、12

教学后记：

10

永州工贸分校中专一年级数学教案 总第 课时 【课题】 6．3 ．1 等比数列的定义及通项公式

【教学目标】

知识目标：

（1）理解等比数列的定义； （2）理解等比数列通项公式． 能力目标：

通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．

【教学重点】

等比数列的通项公式．

【教学难点】

等比数列通项公式的推导．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

第一课时

*创设情境 兴趣导入 【观察】

某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改造，在今后的5年内，每年的产值都比上一年增加10%，那么今年及以后5年的产值构成下面的一个数列（单位：万元）：

51000,1000?1.1,1000?1.12,1000?1.13,1000?1.14,1000?1.1.

不难发现，从第2项开始，数列中的各项都是其前一项的1.1倍，即从第2项开始，每

一项与它的前一项的比都等于1.1． *动脑思考 探索新知 【新知识】

如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q来表示．

由定义知，若?an?为等比数列，q为公比，则a1与q均不为零，且有 (6.5)

an?1?an?q．

*巩固知识 典型例题

11

an?1?q，即 an

例１ 在等比数列{an}中，a1?5，q?3，求a2、a3、a4、a5． 解

a2?a1?q?5?3?15,

a3?a2?q?15?3?45,a4?a3?q?45?3?135,a5?a4?q?135?3?405.

【试一试】

你能很快地写出这个数列的第９项吗？

*运用知识 强化练习

练习6.3.1

1．在等比数列?an?中，a3??6， q?2，试写出a4、a6． 2．写出等比数列3,?6,12,?24,??的第５项与第6项．

第二课时

*创设情境 兴趣导入

如何写出一个等比数列的通项公式呢？

*动脑思考 探索新知

与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律． 设等比数列?an?的公比为q，则

a2?a1?q,

a3?a2?q??a1?q??q?a1?q2,a4?a3?q??a1?q??q?a1?q,23

【说明】 a1?a1?1?a1?q0

依此类推，得到等比数列的通项公式：

an?a1?qn?1. （6.6）

知道了等比数列?an?中的a1和q，利用公式（6.6），可以直接计算出数列的任意一项. 【想一想】

12

等比数列的通项公式中,共有四个量：an、a1、n和q，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ *巩固知识 典型例题

例2求等

?1,,?的第10项．

1211,,? 481解 由于 a1??1，q??，

2故，数列的通项公式为 an?a1?q所以

a10?(?1)101210?1?1． 512n?1?1???1?????2?n?1??1?(?1)n?1?1?????2?n?1?(?1)n?1， 2n?11例3 在等比数列?an?中，a5??1，a８??，求a13．

8解 由a5??1,a8??有

18?1?a1?q4， （1）

1??a1?q7， （2） 8（2）式的两边分别除以(1)式的两边,得

1?q3, 8由此得

q?将q?1． 21代人（1），得 2a1??24,

所以，数列的通项公式为

1an??24?()n?1．

2故

13

1?1?a13?a1?q12??24?????2?8??．

2256??【注意】

本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法．

12【想一想】

在等比数列?an?中，a7?11， q?．求a3时，你有没有比较简单的方法？

39【知识巩固】

例4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列．已知他们三人一共钓了14条鱼，而每个人钓鱼数量的积为64． 并且知道，小强钓的鱼最多，小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？

分析 知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的积,可以将这三个数设为

a,a,aq,这样可以方便地求出a,从而解决问题. q解 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为

a,a,aq．则 q?a?q?a?aq?14,? ?

a??a?aq?64.??q解得

a?4,?a?4,??1 ?或?q?.q?2,??2?当q?2时

a4??2,aq?4?2?8, q2此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8. 当q?1时 2a41??8,aq?4??2, q12214

此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2.

由于小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了2条鱼，小刚钓了4条鱼，小强钓了8条鱼． 【注意】

将构成等比数列的三个数设为

*运用知识 强化练习

1.求等比数列

a,a,aq，是经常使用的方法． q2,2,6,?.的通项公式与第7项． 31,a5??5, 判断?125是否为数列中的项，如果是，252.在等比数列?an?中，a2??请指出是第几项. 课堂小结： 作 业： 教学后记：

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永州工贸分校中专一年级数学教案 总第 课时

【课题】 6．3．2 等比数列应用举例

【教学目标】

1. 理解并掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式，并会应用公式解决简单的问题． 2. 逐步熟练等比数列通项公式与前n 项和公式的综合应用，培养学生的运算能力． 3. 通过公式的探索、发现，培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力，渗透特殊到一般的思想． 【教学重点】

等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用． 【教学难点】

等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用． 【教学过程】 导 入：

1、等比数列的通项公式： an = a1 q n1．

－

2、等比数列前n项和公式：当q≠1时，Sn = ；当q=1时，Sn = n a1

新 授：

例：银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息，小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%，如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱？（精确到0.000 001万元）

解：贷款第一年后的本利和为

20+20×5.76%=20×（1+0.0576）=20×1.0576 第二年的本利和

20×5.76%+20×1.0576×5.76%=20×1.0576

依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列

20×1.0576，20×1.0576，20×1.0576，?? 其通项公式为

an =20×1.0576×1.0576 =20×1.0576

故 a5=20×1.0576=26.462 886

5n

n-1

2

3

2

16

答：小王应偿还银行26.462 886万元。

例2.已知等比数列｛an｝中，a4=-1，a7=-

1，求a11 83129例3.等比数列｛an｝中，a1=6，第4项为a4=-4，sn=32

求项数n

例4.已知三个数组成公比大于1的等比数列，其积为216，若将各数依次分别加上1，5，6，则所得三个数成等差数列，求这三个数。

解：设所求的三个数为

a，a，aq,则 q

a·a·aq=216 q解得 a=6

根据题意有 （6+5）- （

6+1）=（6q+6）-(6-5) q即 6q+

6=15 q解得 q=2， q=

1（舍去） 2故所求的三个数分别为3，6，12 练 习：基训P15

小 结：本节课利用等比数列和等差数列的知识解决实际问题 作 业：基训 教学后记：

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永州工贸分校中专一年级数学教案 总第 课时

【课题】数列习题课（一）

【教学目标】

1. 理解并掌握数列与数集的关系．

2. 逐步熟练数列通项公式的综合应用，培养学生的运算能力．

3. 通过公式的探索、发现，培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力，渗透特殊到一般的思想． 【教学重点】

数列的通项公式的应用． 【教学难点】

数列的通项公式在题型解答上的灵活应用． 【教学过程】 一、知识归类： 1 数列的概念： 2 数列的分类： 3 数列的一般形式： 二、题型解析：

1、已知数列｛an｝的通项公式为an =3n-n，求 a3 a10

2、写出一个无穷数列的通项公式，使得这个数列的前5项恰好是-

3、已知一个数列的一个通项公式为an =n

2

13957，，-，，-。

8162432-n-2，请写出数列的前5项

4 已知数列｛an ｝的通项公式为an =（-1）,求此数列的第5项

n

18

7 已知数列｛an ｝的通项公式为an = ，写出数列的第7项和第10项

9 根据下列无穷数列的前4项，写出一个通项公式：

10

1111-2?1，2?2，-2?3，2?4，…

91317（2）5，2，4，8，…

三、练 习： 基训P2-3 四、小 结 ：

本节课主要学习数列的通项公式的应用 五、作 业：

基训P4-5

教学后记：

19

永州工贸分校中专一年级数学教案 总第 课时

【课题】数列习题课（二）

【教学目标】

1. 理解并掌握等差数列的定义

2. 逐步熟练等差数列通项公式及前n项和公式的综合应用，培养学生的运算能力． 3. 通过公式的探索、发现，培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力，渗透特殊到一般的思想． 【教学重点】

等差数列的通项公式的应用． 【教学难点】

等差数列的通项公式在题型解答上的灵活应用． 【教学过程】

一、知识归类：

1 等差数列的定义：

2 等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d．

3 知道构成等差数列的三个数的和时，一般可将这三个数设为a-d,a,a+d，可以方便

地得到a 4 等差数列｛an ｝的前n项和公式为 Sn =

或Sn = n a1 + d．（ n∈N*）

二、题型解析：

1、已知等差数列｛an ｝中，a4=3,a9=23,求a20与s20

解：由a4=3,a9=23及等差数列的通项公式，知 3=a1+(4-1)d

23= a1+(9-1)d

解得；

a1 =-9,d=4

∴ a20= a1+(20-1)d=-9+19×4=67 S20==580

2、已知三个数成等差数列，它们的和为18，积为162，求这三个数 解：设这三个数为a-d,a,a+d，则有 （a-d）+a+（a+d）=18 （a-d）a（a+d） = 162 解得：a=6 d=±3

所以这三个数为：3，6，9或9，6，3

3、设等差数列｛an ｝的前 n项和公式为sn=2n+3n，求a15

2

20

解：a1=s1=2×12+3×1=5

a2=s2-s1=(2×22+3×2)-5=9 所以

d=a2-a1=9-5=4 因此由通项公式得 a15=5+(15-1) ×4=61

4、在等差数列｛an ｝中，d=-2 ,s20=-380,求 a1与a20

解：（略）

5、在等差数列｛an ｝中，s5=35,a11=31,求a1与d 解：（略）

三、练习巩固： 基训P8-9 四、小 结：

本节课我们主要学习了等差数列的通项公式与前n项和的应用，加深对知识的灵活运用。

五、作 业： 基 训P9-10 教学后记：

21

永州工贸分校中专一年级数学教案 总第 课时

【课题】数列习题课（三）

【教学目标】

1. 理解并掌握等比数列的定义

2. 逐步熟练等比数列通项公式及前n项和公式的综合应用，培养学生的运算能力． 3. 通过公式的探索、发现，培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力，渗透特殊到一般的思想． 【教学重点】

等比数列的通项公式的应用． 【教学难点】

等比数列的通项公式在题型解答上的灵活应用． 【教学过程】

1、 知识归类： 1、等比数列的定义： 2、等比数列的通项公式：

n-1

an=a1q

a3、已知成等比数列的三个数的积，一般设这三个数为q,a,aq

4、等比数列前n项和公式：

Sn = （q≠1）

5、贷款一般采用“复利计息法”，含义是将前期的本金及利息的和作为后一期的本金来计算利息，俗称“ 利滚利”。

二、题型解析： 1、已知等比数列｛an ｝中，a1=6，第4项为a4=- 解：由已知条件有

3129，sn=，求项数n 43233

=6q 41 解得 q=-

2 - 又 Sn = ， 得n=7

2、已知三个数组成公比大于1的等比数列，其积为216，若将各数依次分别加上1，5，6，

则所得的三个数成等差数列。求这三个数 解：设所求的三个数为

a，a,aq，则 q 22

解得 a=6 根据题意有

a·a·aq=216 q

6（6+5）-（q + 1）=（6q+6）-（6+5） 6即 6q+q=15

1解得；q=2 q=2(舍去)

故所求三个数分别是3，6，12

3、已知等比数列｛an ｝ 中，a1=2，S3=26，求q与a3

解：由已知条件有

2(1—q3) 26 =1—q

即

q+q-12=0 解得 q=-4或q=3

因此，当q=-4时，a3=2×(-4)2=32 当q=3时，a3=2×3=18 练 习： 基 训 课堂小结：

作 业：基训检测题 教学后记：

23

2

2

永州工贸分校中专一年级数学教案 总第 课时

【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算

【教学目标】

知识目标：

（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：

通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．

【教学重点】

向量的线性运算．

【教学难点】

已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．

【教学过程】

创设情境 兴趣导入

如图7－1所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？

①

*动脑思考 探索新知 【新知识】

图7－1

在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．

平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段

????的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文

?字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．

24

a

A

B

图7－2

?????????向量的大小叫做向量的模．向量a, AB的模依次记作a，AB． 模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的． 模为1的向量叫做单位向量． *巩固知识 典型例题

例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．

解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3中的有向线段a 与b．

b A a

图7-3

*运用知识 强化练习

说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格为1)．

N B M TA H L Z Q C D F P K G E 图7?4

25

*创设情境 兴趣导入

?????????????观察图7?4中的向量AB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD????与PQ所在的直线平行，两个向量的方向相反．

*动脑思考 探索新知

【新知识】

方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量a与向量b平行记作a//b． 规定：零向量与任何一个向量平行．

由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量．

【想一想】

图7?4中，哪些向量是共线向量？ *动脑思考 探索新知

【新知识】

?????????????????图7?4中的平行向量AB与MN，方向相同，模相等；平行向量HG与TK，方向相反，

模相等．

我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a = b ．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量． 与非零向量a的模相等，且方向相反的向量叫做向量a的负向量，记作?a． 规定：零向量的负向量仍为零向量．

??????????????????显然，在图7－4中，AB= MN，GH= －TK．

*巩固知识 典型例题

例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点． ????（1）找出与向量DA相等的向量； ????（2）找出向量DC的负向量；

D O A B C ????（3）找出与向量AB平行的向量．

图7－5

分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．

26

解 由平行四边形的性质，得 ????????（1）CB=DA；

????????????????（2）BA=?DC,CD??DC；

????????????????????????（3）BA//AB,DC//AB，CD//AB．??*运用知识 强化练习

*运用知识 强化练习

1． 如图，?ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出 ????????（1）与EF相等的向量；（2）与AD共线的向量．

A D B E （练习题

第1题图

F C

A

B F O C E D

（图－8）第21题图

2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出

????????????（1）与OC相等的向量； （2）OC的负向量； （3）与OC共线的向量．

课堂小结： 作 业： 教学后记：

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永州工贸分校中专一年级数学教案 总第 课时

【课题】7.1 .2 平面向量的加法

【教学目标】

1. 理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义，掌握向量加法的运算律． 2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和． 3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力． 【教学重点】

利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量． 【教学难点】

对向量加法定义的理解． *创设情境 兴趣导入

王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200 m到达学校（C处）（如图7－6）．王涛同学这两次位移的总效果是从家（A处）到达了学校（C处）． *动脑思考 探索新知

????????????????????????位移AC叫做位移AB与位移BC的和，记作AC=AB+BC．

Ba

b b

aA

a+b

C

图7－7

????一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－6)，依次作AB=a, ????????BC=b，则向量AC叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即 ???????????? a＋b =AB＋BC=AC （7．1）

求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．

观察图

7－7可以看到：依照三角形法则进行向量

a与向

28

A

C200m

500m

B

图7－6

??*动脑思考 探索新知 *动脑思考 探索新知

????????????????????????位移AC叫做位移AB与位移BC的和，记作AC=AB+BC．

????一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－6)，依次作AB=a, ????????BC=b，则向量AC叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即 ???????????? a＋b =AB＋BC=AC （7．1）

求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．

观察图7－7可以看到：依照三角形法则进行向量a与向量b的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a与b的和向量．其和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b 的终点．

【做一做】

给出两个不共线的向量a和b，画出它们的和向量． 【想一想】

（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明．

（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？ *动脑思考 探索新知

????????如图7－9所示， ABCD为平行四边形，由于AD=BC，根据三角形法则得

D C

????????????????????AB＋AD=AB＋BC=AC

A

图7－9

B

29

????????????这说明，在平行四边形ABCD中， AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和

方法叫做向量加法的平行四边形法则．

平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（?a）= 0； （2）a＋b=b＋a；

（3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）． ??*巩固知识 典型例题 *巩固知识 典型例题

例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．

????????解 如图7－10所示，AB表示船速，AC为水流速度，由向量加

D B

????法的平行四边形法则，AD是船的实际航行速度，显然

????AD?????2????2AB?AC=122?52=13．

C A 图7－10

又tan?CAD?122

，利用计算器求得?CAD?67?23?． 5即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约67?23?． *例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为?，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力F1与F2的大小．

分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是?，

F2 所以F1?F2．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以F1?F2??k.

解 利用平行四边形法则，可以得到

? F1 k 图7－11

F1?F2?2F1cos??k，

所以

k2cos? F1?．

30

【想一想】

根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图7－12)，两臂成什么角度时，双臂

受力最小？

???????????????????????? 图7-12??（1）AB＋BC＋CD； （2）OB＋BC＋CA． ????????????????????????（1）AB＋BC＋CD； （2）OB＋BC＋CA．

*运用知识 强化练习

永州工贸分校中专一年级数学教案 总第 课时

【课题】7.1 .3 平面向量的减法

【教学目标】

1. 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量． 2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法． 【教学重点】

向量减法的三角形法则． 【教学难点】

理解向量减法的定义． *创设情境 兴趣导入

在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．??与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即

与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即

a ?b = a＋(?b)．

????????设a=OA，b ?OB，则

???????????????????????????????????? OA?OB?OA?(?OB)= OA?BO?BO?OA?BA．

????????????即 OA?OB=BA （7．2）

31

观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．

B

b

a-b

aA

图7－13

O

??*巩固知识 典型例题 *巩固知识 典型例题

例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a－b．

a b

图7－14

aA

O （2）

b

B

（1）

????????解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O为起点，作OA=a，OB=b，连接BA，????则向量BA为所求的差向量，即 ????BA= a－b ．

【想一想】

当a与 b共线时，如何画出a－b ． ??*运用知识 强化练习 *运用知识 强化练习

????????1．填空：（1）AB?AD=_______________，

????????（2）BC?BA=______________， ????????（3）OD?OA=______________．

????????????????????2．如图，在平行四边形ABCD中，设AB= a,AD= b，试用a, b表示向量AC、BD、DB．

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永州工贸分校中专一年级数学教案 总第 课时

【课题】7.2 .1平面向量的坐标表示

【教学目标】

知识目标：

（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示； （2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式. 能力目标：

培养学生应用向量知识解决问题的能力.

【教学重点】

向量线性运算的坐标表示及运算法则.

【教学难点】

向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键. 【教学过程】 创设情境 兴趣导入 【观察】

????设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，OA为从原点出发的向

量，点A的坐标为（2，3）(图7－17)．则

33

图7－17

?????????OM?2i，ON?3j．

由平行四边形法则知

????????????? OA?OM?ON?2i?3j．

【说明】

可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的坐标是相同的． 动脑思考 探索新知 【新知识】

设i, j分别为x轴、y轴的单位向量，

?????（1）设点M(x,y)，则OM?xi+yj（如图7－18(1)）；

（2）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)（如图7－18(2)），则

y M(x,y) A j B y j O i x 图7－18

????????????AB?OB?OA?(x2i+y2j)?(x1i+y1j)?(x2?x1)i?(y2?y1)j．O i x 由此看到，对任一个平面向量

a，都存在着一对有序实数(x,y)， 使得

a?xi?yj．

有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作

34

a?(x,y)． ????如图7－17所示，向量的坐标为OA?(2,3)．

如图7－18（1）所示，起点为原点，终点为M(x,y)的向量的坐标为

????? OM?(x,y)．如图7－18（2）所示，起点为A(x1,y1)，终点为B(x2,y2)的向量坐标为 ???? （7．5） AB?(x2?x1，y2?y1)．巩固知识 典型例题

例1 如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示向量a、b, 并写出它们的坐标．

解 因为

?????????a＝OM＋MA ＝5i＋3j ，

所以 a?(5,3)． 同理可得 b?(?4,3)．

图7－19

【想一想】

?????????观察图7－19，OA与OM的坐标之间存在什么关系？ ????????，QP的坐标． 例2 已知点P(2,?1)，Q(3,2)，求PQ????解 PQ?(3,2)?(2,?1)?(1,3), ????QP?(2,?1)?(3,2)?(?1,?3)．

运用知识 强化练习

35

????????1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量OA的坐标，并用i与j的线性组合表示向量OA．

2． 设向量a?3i?4j,写出向量a的坐标． ????????3． 已知A，B两点的坐标，求AB，BA的坐标．

(1) A(5,3),B(3,?1); (2) A(1,2),B(2,1); (3) A(4,0),B(0,?3)．

作 业：P37 T4、5 教学后记：

永州工贸分校中专一年级数学教案 总第 课时

【课题】7.2 .2 共线向量的坐标表示

【教学目标】

1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算． 2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．

3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．

【教学重点】

平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．

【教学难点】

理解平面向量的坐标表示．

向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键. 【教学过程】 创设情境 兴趣导入 【观察】

观察图7－20，向量

?????????????????????OA?(5,3),OP?(3,0),OM?OA?OP?(8,3)．可以看到，两个向量和的坐标恰好是这

36

两个向量对应坐标的和．

动脑思考 探索新知 【新知识】

设平面直角坐标系中，a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则 a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)

?(x1?x2)i?(y1?y2)j．

图7－20

所以

a?b?(x1?x2,y1?y2)． （7．6）

类似可以得到

a?b?(x1?x2,y1?y2)． （7．7）

?a?(?x1,?y1)． （7．8）

巩固知识 典型例题

例3 设a＝(1,?2), b＝(?2,3)，求下列向量的坐标： (1) a＋b ， (2) ?3 a， (3) 3 a ?2 b ． 解 (1) a＋b＝(1, ?2)＋(?2,3)＝(?1,1) (2) ?3 a＝?3×(1, ?2)＝(?3,6)

(3) 3 a ?2 b＝3×(1, ?2) ? 2×(?2,3)＝(3, ?6) ? (?4,6)＝(7, ?12)．

运用知识 强化练习

已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a ?b、?2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(?2,3)， b＝(1,1)； （2） a＝(1,0)， b＝(?4, ?3)； （3） a＝(?1,2)， b＝(3,0)．

37

创设情境 兴趣导入 【问题】

前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当??0时，有

a∥b?a??b

如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？ 动脑思考 探索新知 【新知识】

设a?(x1,y1),b?(x2,y2),由a??b，有 x1??x2,y1??y2,于是x1?y2??x2y1，即

x1y2?xy2?10．

由此得到，对非零向量a、 b，设a?(x1,y1),b?(x2,y2),当??0时，有 a∥b?x1y2?x2y1?0． （7．9） 巩固知识 典型例题

例4 设a?(1,3),b?(2,6)，判断向量a、 b是否共线． 解 由于 3×2?1×6＝0，

故由公式（7．9）知，a∥b，即向量a、 b共线．

运用知识 强化练习

判断下列各组向量是否共线： （1） a＝(2,3)， b＝(1,

3)； 2（2） a＝(1, ?1) ， b＝(?2,2)； （3） a＝(2, 1) ， b＝(?1,2)．

课堂小结：结论：

一般地，设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，则对于从原点出发的任意向量a都有唯一一对实数x、y，使得a?xi?yj．有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作

a?(x,y)．

38

向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标. 对非零向量a、 b，设a?(x1,y1),b?(x2,y2),当??0时，有 a∥b?x1y2?x2y1?0． 作 业：P37 T6、7 教学后记：

永州工贸学校中专一年级数学教案 总第_________课时

【课题】7.3 平面向量的内积（一）

【教学目标】

知识目标：

（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.

（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：

通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．

【教学重点】

平面向量数量积的概念及计算公式.

【教学难点】

数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．

【教学过程】

*创设情境 兴趣导入

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F O 30?s 图7—21

如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成30?角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知 【新知识】

我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则

F?xi + y j ?Fsin30??i?Fcos30??j，

即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即

W＝｜F｜cos30?·｜s｜＝100×

3·10＝5003 （J） 2y F(x,y) j O i x 图7－22

这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．

????????如图7－23，设有两个非零向量a, b，作OA＝a, OB＝

b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作．

O

40

A a b 图7－23 B

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pik6.html