上海市黄浦区2013届高三数学一模试卷----改编

数学练习8

4．已知直线l1:x ay 2 0和l2:(a 2)x 3y 6a 0，则l1∥l2的充要条件是a 6．盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 ． 7．已知

1 cos2 1

1，tan( ) ，则tan( 2 )．

sin cos 3

log2x(x 0)

9．已知函数f(x) x，且函数F(x) f(x) x a有且仅有两个零点，则实数a的

(x 0)3

取值范围是 ． 10．已知函数y sin( x

3

若将该函数的图像向左平移m(m 0))( 0)的最小正周期为 ，

个单位后，所得图像关于原点对称，则m的最小值为 ．

11．已知抛物线y2 2px(p 0)上一点M(1,m)到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶点到直线

MF的距离为d，则d的值为．

x2y2

13．已知F是双曲线C2 2 1(a 0,b 0)的右焦点，O是双曲线C的中心，直线y

ab

是双曲线C的一条渐近线．以线段OF为边作正三角形MOF，若点M在双曲线C上，则m

的值为 ．

14．已知命题“若f(x) m2x2，g(x) mx2 2m，则集合{x|f(x) g(x), 假命题，则实数m的取值范围是 ．

17．若f(x)是R上的奇函数，且f(x)在[0, )上单调递增，则下列结论：①y |f(x)|是

1

x 1 } ”是2

|0；③y f( x)在( ,0]上单调递增； 偶函数；②对任意的x R都有f( x) |f(x)

④y f(x)f( x)在( ,0]上单调递增．其中正确结论的个数为 （ ） A．1 B．2 C．3

D．4

19．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E,F分别为线段DD1,BD的中点． （1）求异面直线EF与BC所成的角； （2）求三棱锥C B1D1F的体积．

A

D

F

B

C

A1

ED1

1

C1

21．如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中AB= 6米，AD = 4米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点， 且矩形AMPN的面积小于150平方米．

（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；

（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积．

A

B

D

C

N

P

M

x2y2

22．给定椭圆C2 2 1(a b 0)，称圆心在原点O、

C的“准

ab

圆”．已知椭圆C

的一个焦点为F，其短轴的一个端点到点F

（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；

B,D是椭圆C上的两相异点，（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，且BD x轴，求AB AD的取值范围；

（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1,l2，使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1,l2是否垂直？并说明理由．

23.对于函数 y f ( x) 与常数 a , b ,若 f (2 x) af (x) b 恒成立，则称 ( a, b) 为函数 f ( x) 的一个 “P 数对” ;若 f (2 x) af (x) b 恒成立，则称 ( a, b) 为函数 f ( x) 的一个“类 P 数对” .设函 数 f ( x) 的定义域为 R ,且 f (1) 3 . (1)若 (1,1) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (2n )(n N*) ; (2)若 ( 2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且当 x [1,2) 时 f ( x) k 2 x 3 ,求 f ( x) 在区间

[1, 2n ) (n N*) 上的最大值与最小值；(3)若 f ( x) 是增函数，且 (2, 2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对” ,试比较下列各组中两个式子 的大小，并说明理由. ① f (2 n ) 与 2 n +2 (n N*) ;② f ( x) 与 2 x 2 ( x (0,1]) .

黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试

数学试卷（理科）参考答案

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

149

； 4．3； 5．36； 6．； 7． 1； 8．； 2710

161

9．( ,1]； 10．； 11．； 12．(1,)； 13

．3 ； 14．( 7,0)．

351 a

1．[2,3)； 2．2； 3．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．A 16．D 17．B 18． C

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）连BD1，由E、F分别为线段DD1、BD的中点，

可得EF∥BD1，故 D1BC即为异面直线EF与BC所成的角． 2分 在正方体ABCD A1B1C1D1中，∵BC 平面CDD1C1，

D1

A1

E

B1

C1

CD1 平面CDD1C1，∴BC CD1，

在Rt△BCD1中，BC

2，CD1

∴tan D1BC

D1C

D1BC ． BC

A

D

F

B

C

所以异面直线EF与BC

所成的角为 6分

（2）在正方体ABCD A1B1C1D1中，由BB1 平面ABCD，CF 平面ABCD， 可知BB1 CF，∵CB CD，F是BD中点，

∴CF BD，又BB1与BD相交，∴CF 平面BDD1B1， 9分

11

B1D1 BB1 2

22114

故VC B1D1F S B1D1F CF ，

333

4

所以三棱锥C B1D1F的体积为． 12分

3

又S B1D1F

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）

A、B、C成等差数列，∴2B A C,

又A B C ,∴B

3

， 2分

由AB BC 3得，c acos

2

3，∴ac 63

① 4分

又由余弦定理得b2 a2 c2 2accos

3

,

∴18 a2 c2 ac，∴a2 c2 24 ② 6分 由①、②得，a c 6 8分 （2）由（1）得B 故M

3

，∴A C B

2 2 ，即A C， 33

2sinC2

2sinA sinC=2sin( C) sinC 10分

1sinA3

1

C sinC)

sinCC， 12分 22 2 1由A ，∴ cosC 1，

C 0且C 0，可得0 C

332

，∴M

的取值范围为(． 14分 即M ( 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC∽△NAM，可得∴

DNDC

，

NAAM

N

P

x 466xC，即AM ， 3分 D xAMx 4

6x2

故S AN AM ， 5分

x 4AMB

6x2

150且x 4，可得x2 25x 100 0，解得5 x 20， 由S

x 4

6x2

故所求函数的解析式为S ，定义域为(5,20)． 8分

x 4

（2）令x 4 t，则由x (5,20)，可得t (1,16)，

6x26(t 4)216

6(t 8) 10分

故S

x 4tt 8) 96， 12分

16

当且仅当t ，即t 4时S 96．又4 (1,16)，故当t 4时，S取最小值96．

t

故当AN的长为8时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为96平方米． 14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

解：（1

）由题意知c

ab 1，

x2

y2 1，其“准圆”方程为x2 y2 4． 4分 故椭圆C的方程为3

m2

n2 1， （2）由题意，可设B(m,n),D(m, n

)(m，则有3

又A点坐标为(2,0)，故AB (m 2,n),AD (m 2, n)，

m2222

) 故AB AD (m 2) n m 4m 4 (1 3

443

m2 4m 3 (m )2, 8分

332

43

又m

(m )2 [0,7 ，

32

所以AB

AD的取值范围是[0,7 ． 10分 （3）设P(s,t)，则s2 t2 4．

当s 时，t 1，则l1,l2其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有l1 l2．

当s P(s,t)且与椭圆有一个公共点的直线l的斜率为k， 则l的方程为y t k(x s)，代入椭圆C方程可得

x2 3[kx (t ks)2] 3，即(3k2 1)x2 6k(t ks)x 3(t ks)2 3 0，

由 36k2(t ks)2 4(3k2 1)[3(t ks)2 3] 0， 13分 可得(3 s2)k2 2stk 1 t2 0，其中3 s2 0， 设l1,l2的斜率分别为k1,k2，则k1,k2是上述方程的两个根，

1 t21 (4 s2)

1，即l1 l2． 故k1k2 22

3 s3 s

综上可知，对于椭圆C上的任意点P，都有l1 l2． 16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．

解：（1）由题意知f(2x) f(x) 1恒成立，令x 2k(k N*)， 可得f(2k 1) f(2k) 1，∴{f(2k)}是公差为1的等差数列，

故f(2n) f(20) n，又f(20) 3，故f(2n) n 3． 3分 （2）当x [1,2)时，f(x) k |2x 3|，令x 1，可得f(1) k 1 3，

解得k 4，即x [1,2)时，f(x) 4 |2x 3|， 4分 故f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4]． 又( 2,0)是f(x)的一个“P数对”，故f(2x) 2f(x)恒成立， 当x [2k 1,2k)(k N*)时，

x2k 1

[1,2)，

xxx

f(x) 2f() 4f() … ( 2)k 1f(k 1)， 6分

242

故k为奇数时，f(x)在[2k 1,2k)上的取值范围是[3 2k 1,2k 1]；

当k为偶数时，f(x)在[2k 1,2k)上的取值范围是[ 2k 1, 3 2k 1]． 8分 所以当n 1时，f(x)在[1,2n)上的最大值为4，最小值为3；

当n为不小于3的奇数时，f(x)在[1,2n)上的最大值为2n 1，最小值为 2n；

当n为不小于2的偶数时，f(x)在[1,2n)上的最大值为2n，最小值为 2n 1． 10分 （3）由(2, 2)是f(x)的一个“类P数对”，可知f(2x) 2f(x) 2恒成立，

11111

f(2x) 1恒成立，令x k(k N*)，可得f(k) f(k 1) 1， 22222111

即f(k) 2 [f(k 1) 2]对一切k N*恒成立，

2221111111

所以f(n) 2 [f(n 1) 2] [f(n 2) 2] n[f(1) 2] n，

2224222

即f(x)

故f(2 n) 2 n 2(n N*)． 14分 若x (0,1]，则必存在n N*，使得x (由f(x)是增函数，故f(x) f(又2x 2 2

11

) 2， n 1n 122

11

,]， 2n2n 1

11 2 2，故有f(x) 2x 2． 18分 2n2n 1

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