河北科技大学大学物理答案光学

光的干涉

16-1 获得相干光的常见方法有哪些？并举例说明。

答：分波阵面和分振幅两种。分波阵面：杨氏双缝干涉以及其等价装置。分振幅法：薄膜干涉，包括等倾干涉、等厚干涉（劈尖干涉、牛顿环）等。

16-2 在杨氏双缝实验中，双缝间距d?0.20mm，缝屏间距D?1.0m，试求：

（1）若第二级明条纹离屏中心的距离为6.0mm ，计算此单色光的波长； （2）相邻两明条纹间的距离。 解：(1)由x明=Dk? 可知:6.0?(1?103/0.2)?2? d?3 ???0.6?1 0mm?60n0mD??[(1?103)/0.2]?0.6?103?3mm d16-3 在双缝干涉实验中，波长?=550nm的单色平行光垂直入射到缝间距a＝2×10-4 m的双缝上，

(2)?x?屏到双缝的距离D＝2 m。求：

(1) 中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；

(2) 用一厚度为e＝6.6×10-6 m、折射率为n＝1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移到原来的第几级明纹处？(1 nm = 10-9 m)

D?2?550?10?9?2?10??0.11m。 解：（1）?x?2k?4a2?10 （2）k?e?n?1??6.6?10?6??1.58?1???6.90?7明条纹。 ?9550?1016-4 在杨氏双缝实验中，设两缝之间的距离为0.2mm。在距双缝1m远的屏上观察干涉条纹，若入射光是波长为400nm至760nm的白光，问屏上离零级明纹20mm处，哪些波长的光最大限度地加强？(1nm＝10-9m)

解：已知：d＝0.2mm，D＝1m，x＝20mm 依公式： x?Dk? ddx0.2?10-3?20?10-3=∴ ?? kDk?1故 k＝10 ?1λ＝400nm k＝9 λ2＝444.4nm k＝8 k＝7 k＝6

λ3＝500nm

λ4＝571.4nm

λ5＝666.7nm

这五种波长的光在所给观察点最大限度地加强。

16-5 在杨氏双缝实验中，作如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何变化?试说明理由．

(1)使两缝之间的距离变小；

(2)保持双缝间距不变，使双缝与屏幕间的距离变小； (3)整个装置的结构不变，全部浸入水中； (4)光源作平行于S1，S2联线方向上下微小移动； (5)用一块透明的薄云母片盖住下面的一条缝． 答：（1）由公式x?Dk?可知，条纹将变得稀疏。 d （2）条纹将变得更加密集。 （3）有公式x?Dk?，条纹将变得更加密集。 nd （4）条纹将反方向移动。

（5）根据光程差公式，条纹将向下移动。

16-6 在双缝干涉实验中，单色光源S0到两缝S1和S2的距离分别为l1和l2，并且l1?l2?3?，λ为入射光的波长，双缝之间的距离为d，双缝到屏幕的距离为D(D>>d)，求：

(1) 零级明纹到屏幕中央O点的距离． (2) 相邻明条纹间的距离． 解：(1) 如图，设P0为零级明纹中心

则 r2?r/D 1?dPO0 s1 d s2 r1 r2 O D x P0 l1 s0 l2 又 (l2?r2)?(l1?r1)?0

∴ r2?r1?l1?l2?3?

题16-6解图 ∴ 担当 PO?D(r2?r1)/d?3D?/d 0(2) 在屏上距O点为x处, 光程差

??(dx/D)?3? 明纹条件 ???k? (k＝1，2，....)

xk?(?k??3?)D/d

在此处令k＝0，即为(1)的结果．相邻明条纹间距xk?1?xk?D?/d

16-7 在杨氏双缝干涉实验中，双缝间距d=0.500mm，缝与屏相距D=50.0cm,若以白光入射，(1)分别求出白光中?1?400nm和?2?600nm的两种光干涉条纹的间距；（2）这两种波长的干涉明纹是否会发生重叠？如果可能，问第一次重叠的是第几级明纹？重叠处距中央明纹多远？

D500?1??400?10?6?0.4mm d0.5D500?600?10?6?0.6mm ?x2??2?d0.5解：（1）?x1? （2）这两种波长的干涉明纹会重叠，根据x2?k2 k1?1?k2?2，即400?1?600?2，当k1?3, 重叠处距离中央明纹为x2?k2DD?2?x1?k1?1，得 ddk2?2时，第一次重叠。

D500?2=2??600?10-6=1.2mm d0.516-8 什么是光程? 在不同的均匀媒质中，若单色光通过的光程相等时，其几何路程是否相同?其所需时间是否相同?

解：??nr．不同媒质若光程相等，则其几何路程一定不相同；其所需时间相同，为?t?16-9 在光程差与位相差的关系式????。 C2???中，光波的波长要用真空中波长，为什么?

解：因为?中已经将光在介质中的路程折算为光在真空中所走的路程。

16-10由光源S发出的?=600nm的单色光，自空气射入折射率n=1.23的一层透明物质，再射入空气(如图)，若透明物质的厚度为d=1.00cm,入射角?=30?，且SA=BC=5.00cm.求:（1）?1为多大?（2）此单色光在这层透明物质里的频率、速度和波长各是多少？(3)S到C的几何路程为多少？光程为多少？ 解：（1）由折射定律

n空sin?1n111??? 得 sin?1?空sin??， ?1?24? nsin?n1.2322.46(2)分别以 v1 、?1、?1表示光在透明物质中传播的速度、频率和波长，则

c3?108v1??m/s?2.44?108m/s

n1.23 又光在不同介质中传播的频率相同，即

3?10814???1??Hz?5?10 Hz _10?6000?10c2.44?108?1??m?4.88?10_7 m 14?5?10v1(3)从S到C的几何路程为

SA?

d1?BC?5cm?cm?5cm?11.1 cm cos?1cos24?

S到C的光程

n空SA?nd1?n空BC?1?5cm?1.23?1?cm?1?5cm?11.3cm cos?1cos24?16-11 一平面单色光波垂直照射在厚度均匀的薄油膜上，油膜覆盖在玻璃板上。油的折射率为1.30，玻璃的折射率为1.50，若单色光的波长可由光源连续可调，可观察到500nm与700nm这两个波长的单色光在反射中消失．试求油膜层的厚度．

解: 油膜上、下两表面反射光的光程差为2ne，由反射相消条件有

k?1)?k?( 2ne?(22k当?1?5000A时，有

o?1? ) (k?0,1,?2?,? ① 212ne?(k1?)?1?k1?1?2500 ②

2当?2?7000A时，有

o12ne?(k2?)?2?k2?2?3500 ③

2因?2??1，所以k2?k1;又因为?1与?2之间不存在?3满足

12ne?(k3?)?3式

2即不存在 k2?k3?k1的情形，所以k2、k1应为连续整数，

即 k2?k1?1 ④ 由②、③、④式可得：

k1?k2?2?1000?1?7k2?17(k1?1)?1 ?55得 k1?3

k2?k1?1?2

可由②式求得油膜的厚度为

k1?1?2500?673.1nm

2n16-12 用??589.3nm的光垂直入射到楔形薄透明片上，形成等厚条纹，已知膜片的折射率为

e?1.52，等厚条纹相邻纹间距为5.0mm，求楔形面间的夹角。

?589.3?10?9??5.0?10?3 解：等厚条纹相邻纹间距为：l?2?n2?1.52?

所以??0.0022?

16-13 白光垂直照射在空气中厚度为0.40μm的玻璃片上，玻璃的折射率为1.50．试问在可见光范围内，哪些波长的光在反射中增强？哪些波长的光在透射中增强？

解：玻璃片上下表面的反射光加强时，

?k?,k?1,2,3? 24ne即 ??

2k?1在可见光范围内，只能取k?3（其它值均在可见光范围外），

应满足 2en?代入上式，得 ??480nm 玻璃片上下表面的透射光加强时， 应满足 2en?k?,?k?0,1,2,3?

或，反射光应满足干涉减弱条件（与透射光互补） 即 2en??222ne都有：??

k2nek?2时，?1??600nm

22nek?3时，?2??400nm

3膜的正面呈现什么颜色?背面呈现什么颜色? 解: 由反射干涉相长公式有

?(2k?1)?,k?0,1,2,3?

16-14 白光垂直照射到空气中一厚度为380nm的肥皂膜上，设肥皂膜的折射率为1.33，试问该

2ne??2?k? (k?1,2,???) 4ne4?1.33?380020216?? 2k?12k?12k?1o得 ??k?2, ?2?6739A (红色) k?3, ?3?4043 A (紫色)

所以肥皂膜正面呈现紫红色．

由透射干涉相长公式 2ne?k?(k?1,2,???) 所以 ??当k?2时， ? =5054A (绿色) 故背面呈现绿色．

oo2ne10108? kk

在高空100km处能否分辨开汽车上的两盏车灯？ 解：根据瑞利判据最小分辨角??0?1.22 车灯对镜头所张角度 所以无法分辨。

17-6 汽车的两盏前灯相距1.2m，试问汽车离人多远的地方，眼睛才可能分辩这两盏灯？假设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm，车灯发光波长为??550.0nm.

解：设l为两灯距离，s为人车之间距离，恰可分辨时，两车灯对瞳孔的最小分辨角为 l ??

s?D?1.22?550nm?2.68?10?5

25mml1??1?10?5???0 h100km 由瑞利准则 ???R?1.22 得 s??d?l sld?8.94?103m 1.22?17-7一直径为2mm的氦氖激光束射向月球表面，其波长为632.8nm.月球和地面的距离为

3.84?105km。试求：（1）在月球上得到的光斑的直径有多大？（2）如果这束激光经扩束器扩

展成直径2m的光束，在月球表面得到的光斑的直径将为多大？在激光测距仪中，通常都采用激光扩束器，这是为什么？

解：（1）设在月球上的爱里斑直径为D，激光束直径为d，地球至月球距离为L。由瑞利准则 D?2R?2L?R?1.222L??2.96?105m d （2）若将激光束的直径扩为d'，则月球表面爱里斑的直径为： D'?1.22 可见， D'?2L??296m d'd'D D?d1000 所以，使用激光扩束器可减小光束的发散，使光能集中，方向性更好，从而提高测距精度. 17-8 波长为546nm的平行光垂直照射在缝宽为0.437mm的单缝上，缝后有焦距为40cm的凸透镜，求透镜焦平面上出现的衍射中央明纹的线宽度。 解：中央明纹的线宽即为两个暗纹之间的距离

??0??1??2? ??0?2? a2x f2?f2?546?10?9?0.4?3??1.0?10m 利用两者相等，所以：2x??3a0.437?1017-9 缝间距d=0.1mm，缝宽a=0.02mm的双缝，用波长 ??600nm的平行单色光垂直入射，

双缝后放一焦距为f=2.0m的透镜，求：（1）单缝衍射中央亮条纹的宽度内有几条干涉主极大条纹；（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，中央亮条纹的宽度内又有几条干涉主极大？

f?2?600?10?9解： asin???k? 所以中央亮条纹位置为：2x?2??0.12m ?5a2?10 中央明条纹位于：中心位置的上下方各0.06m处。

?9而干涉条纹的条纹间距为：?x?f??2?600??10?0.012m 4d1?10中央明条纹在中心位置的上下方各0.006m的位置上，第K级明条纹的位置为：

x?0.006?k?0.012?0.06 所以对应的k=4，

即在单缝衍射中央亮条纹的宽度内有9条干涉主极大条纹（两边各四条+中央明纹）。

（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，

?9干涉条纹的条纹间距将变为：?x?f??2?600?10?0.024m

10.5?10?4d2中央明条纹在中心位置的上下方各0.012m的位置上，第K级明条纹的位置为：

x?0.012?k?0.024?0.06 所以对应的k=2，

即在单缝衍射中央亮条纹的宽度内有5条干涉主极大条纹（两边各两条+中央明纹）。 17-10 波长为700nm的红光正入射到一单缝上，缝后置一透镜，焦距为0.700m.在透镜焦距处放一屏，若屏上呈现的中央明条纹的宽度为2.00mm,问该缝的宽度是多少？假定用另一种光照射后，测得中央明条纹的宽度为1.50 mm,求该光的波长。

解：中央明纹的宽度为l0,为正负一级暗纹之间的距离.又因级次低，?很小,有 sin??tan??l0/2 f 对第一级暗纹

bsin??? 代入上式

2?f2?700?10?9?0.7??4.9?10?4m =0.49 mm b??3 l02?10 对应另一种光, 中央明纹宽度为l'0?1.5 mm 时

???al'00.4?91.54??5.2?5?1 0mm =525nm 32f2?0.?71017-11 一个平面透射光栅，当用光垂直入射时，能在30度角的衍射方向上得到600nm的第二级主极大，并且第二级主极大能分辨???0.05nm的两条光谱线，但不能得到400nm的第三级主极大，求：（1）此光栅的透光部分的宽度a和不透光部分的宽度b；（2）此光栅的总缝数N。 解：（1）利用： （a?）bsin????k

根据题意：30度角的衍射方向上得到600nm的第二级主极大，所以：

a?b?2?sin??2?600?2400nm 12 不能得到400nm的第三级主极大：说明第三级条纹缺级。 由缺级的定义可得到：

a?b?3 a 所以：a=800nm，b=1600nm。 （2）根据瑞利判据：k?? 2?600?kN?1 （????）N2N?1 （600?0.05）N 所以：N=6000。

17-12 如要用衍射光谱区别氢原子巴尔末系第11条和第12条谱线，光栅的分辨本领应为多大？如光栅常数为每毫米200条的光栅，要想在第2级中能分辨这两条谱线，这光栅的宽度至少多宽？（提示：巴尔末系第11条和第12条谱线由量子数n分别为13和14到n=2的跃迁所产生。） 解：（1）根据瑞利判据：光栅的分辩本领为R?２

?，只要知道它们的波长就可以了。 ?? n从13→2：v? =R［1/22-1/13］=(3/4)R， λ２=676/(165R) ? =R［1/2-1/14］=(5/36)R，λ３=(49)/(12R) n从14→2：v２

２

所以：R??3???300 ???2??3kN?1 （????）N （2） 根据瑞利判据： k?? k=2，所以：2?3722?2N?1?3734 得出： N=151条， N151 如光栅常数为每毫米200条的光栅，那么只要光栅的宽度为：?0.75mm就可以满足要求

200了。

17-13 用每毫米500条栅纹的光栅，观察钠光光谱（??590nm）。问：（1）光线垂直入射；（2）光线以入射角30入射时，最多能看到几级条纹？ 10?3解：（1）正入射时， d??2?10?6m dsin???k?

500。

所以当sin??1，对应的级次（取整数）最大：k? 能看到的条纹为：3，2，1，0，-1，-2，-3。

（sin??sin?）??k? （2）斜入射时，dd??3

所以当sin??sin30??123d3，对应的级次（取整数）最大：k??5 22?d??1 2?

当sin??sin30???，对应的级次（取整数）最小：k??

能看到的条纹为：5，4，3，2，1，0，-1。

17-14 光栅形成的光谱较玻璃棱镜形成的色散光谱有何不同？ 答：两者都是分光元件。不同点：

（1）光栅光谱有一系列的级次，每一级次都有正负两套光谱，零级光谱因波长重合而不能分光；而棱镜光谱只有一套零级光谱，相对强度大。

（2）低级次的光栅光谱波长与衍射角近似有正比关系，称为匀排光谱；而棱镜光谱的波长与 角度为非线性关系，不是匀排光谱。

17-15 用??590nm的钠黄光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上，问最多能看到第几级明条纹? 解：a?b?o1mm?2.0?10?3mm?2.0?10?4A 500 由(a?b)sin??k?知，最多见到的条纹级数kmax对应的?? 所以有kmaxa?b?2,

2.0?104???3.39，即实际见到的最高级次为kmax?3. ?590017-16 波长为500nm的平行单色光垂直照射到每毫米有200条刻痕的光栅上，光栅后的透镜焦距为60cm． 求：(1)屏幕上中央明条纹与第一级明条纹的间距；(2)当光线与光栅法线成30°斜入射时，中央明条纹的位移为多少? 解：a?b?1?5.0?10?3 mm5.0?10?6m 200x f (1)由光栅衍射明纹公式

?n??k，因k?1,又sin??tan?? (a?b)si 所以有(a?b)x1?? f10?2500?0?10??6010?2?6.0?10m?6 cm 即 x1???6a?b5.0?10?f (2)对应中央明纹，有k?0

正入射时，(a?b)sin??0，所以sin????0 斜入射时，(a?b)(sin??sin?)?0，即sin??sin??0 因??30?，∴sin??tan?? 故x?x1?? f211f??60?10?2?30?10?2m?30cm 22 这就是中央明条纹的位移值．

17-17 一双缝，两缝间距为0.1mm，每缝宽为0.02mm，用波长为480nm的平行单色光垂直入射双缝，双缝后放一焦距为50cm的透镜．试求：(1)透镜焦平面上单缝衍射中央明条纹的宽度；(2)单缝衍射的中央明条纹包迹内有多少条双缝衍射明条纹? 解：(1)中央明纹宽度为

4800?10?7?50?10l0?2f?2?mm ?2.4cm

a0.02? (2)由缺级条件

asin??k?? (a?b)sin??k?

知

k?k? 即k?5,10,15,???缺级．

a?b0.1?k??5k? k??1,2,??? a0.02 中央明纹的边缘对应k??1，所以单缝衍射的中央明纹包迹内有k?0,?1,?2,?3,?4共9条 双缝衍射明条纹．

17-18 已知入射的X射线束含有从0.95～1.30A范围内的各种波长，晶体的晶格常数为2.75A，当X射线以45°角入射到晶体时，问对哪些波长的X射线能产生强反射? 解：由布喇格公式 2dsin??k? 得??oo2dsin?时满足干涉相长 k? 当k?1时， ??2?2.75?sin45?3.89A

o2?2.75?sin45??1.91A k?2时，??2o3.89?1.30A k?3时，??3oo3.89?0.97A k?4时， ??4oo 故只有?3?1.30A和?4?0.97A的X射线能产生强反射．

光的偏振

18-1 使自然光通过两个偏振化方向相交60o的偏振片，透射光强为I1，今在这两个偏振片之间插入另一偏振片，它的方向与前两个偏振片均成30o角，则透射光强为多少? 解：入射光通过偏振片1和2后，透射光强为 ?2? I1???I0?cos60 2??

1

插入偏振片3后，其透射光强为

?2?2? I2????I0?cos30?cos30

??2???1? 两式相比可得：I2?2.25I1

18-2 假设从一池塘水面反射出来的太阳光是线偏振光，求此时太阳处在地平线多大的仰角处？（水的折射率为4/3）。 解：根据布儒斯特定律

2??arctan?arcannn14/3?1?5 3 所以太阳的仰角为27?

18-3 二氧化碳激光器放电管的布儒斯特窗一般采用半导体材料锗制成，使其能对波长为10.6μm的红外激光有较大的透射率。已知锗的折射率为4.5，试计算该布儒斯特窗与放电管轴线所成之角?。

解：根据布儒斯特定律

2??arctan?arcannn14.5?17?7. 5? 所以该布儒斯特窗与放电管轴线所成的角度为12.5

18-4 一方解石晶体置于两平行的且偏振化方向相同的偏振片之间，晶体的主截面与偏振片的偏振化方向成30o，入射光在晶体的主截面内，求以下两种情况下的o光和e光强度之比。（1）从晶体出射时；（2）从检偏器出射时。

解：（1）从偏振片入射到晶体的光分成o光和e光，o光垂直于主截面，e光平行于主截面．设 入射偏振光的振幅为A，则AO?Asin?，Ae?Acos?， 当光从晶体出射时，o光和e光强度之比为

2IoAo1?2?tan2??tan230??．

IeAe3 （2）从晶体出射的o光和e光入射到第二块偏振片时，只有沿偏振化方向的光能够通过，o

' 光和e光的振幅为Ao?Aosin?A`o = A osinθ，Ae'?Acos?，

当光从偏振片出射时，o光和e光强度之比为

``2IoAoAo2124 `?`2?2tan??tan??tan430??．

9IeAeAe18-5 一块折射率n=1.50的平面玻璃浸在水中，已知一束光入射到水面上时反射光是完全偏振光，若要使玻璃表面的反射光也是完全偏振光，则玻璃表面与水平面的夹角θ应是多大？(水的折射率n=1.33)

解：如图，根据布儒斯特定律，可得：

tgi0??? tg0in2?1.33 n1n21.50??1.1 3n11.33sini0n2? sin?n1i 据折射定律得：

根据三角关系得：??i0????11.5?

18-6 在偏振化方向正交的两偏振片P1、P2之间，插入一波晶片，其光轴平行于表面且与起偏器的偏振化方向成35°，求，（1）由晶片分成的o光和e光强度之比；（2）经检偏器P2后上述两光的强度之比。

解：（1）由晶片分成的o光的振幅：AO?Asin? e光的振幅：Ae?Acos?

I1sin2???0.49 强度之比为振幅的平方比，所以：

I2cos2? （2）经检偏器后上述两光中o光的振幅：AO?Asin?cos? e光的振幅：Ae?Acos?sin?

也就是振幅相同，所以强度之比为1：1。

18-7 由方解石制成的一块厚度为d=0.025mm的波晶片，其光轴与表面平行，放置于两个正交偏振片之间，起偏器的偏振化方向与晶片主截面成45°夹角，现用自然光（400nm—760nm）垂直照射到起偏器上，假定双折射率差no－ne=0.172不随波长变化。求，（1）透过检偏器后缺少了哪些波长的光？（2）两偏振片的偏振化方向平行时，缺少了哪些波长的光？ 解：（1）如图所示，不同波长的光经过晶片后的相位差为 ????e??o?2???no?n?ed

凡是相位差满足???2k?,k?1,2,3,?，这些波长的光从晶片出来后仍为与P1透振方向一 致的线偏振光，如图，因P1与P2垂直，这些光将无法通过P2，因此这一系列波长满足 ?k??no?ne?d，代入数据得?kk?4300nm kk?6,?6?71n6m k?7,?7?61n4m

k?8?8?537.n5m

k?9,?9?477.8nmk?10,?10?430nm

透过检偏器后缺少这些波长的光。

（2）如果P1与P2平行，情况与（1）正好相反，上述几种波

长的光将完全通过P2，相位差

满足????2k?1??,k?1,2,3,?的那些波长的光，经晶片作用后，虽然仍为线偏振光， 但其振动方向绕光轴转过了90?，将无法通过偏振片P 2，据此，算出这一系列波长应满足：

2?no?ne?d ?k?，代入数据计算得

2k?1k?6,?6?661.n5m k?7,?7?573. n3mk?8?8?505.n9m

k?9,?9?452.6nmk?10,?10?409.5nm

18-8 如习题18-8图所示的偏振光干涉装置中，C是劈尖角很小的双折射晶片，折射率ne?no，P1、P2的偏振化方向相互正交，与光轴方向皆成45°角。若以波长为?的单色自然光垂直照射，试讨论：

（1）通过晶片C不同厚度处出射光的偏振态；

（2）经过偏振片P2的出射光干涉相长及相消位置与劈尖厚度d之间的关系，并求干涉相长的光强与入射光光强之比；

（3）若转动P2到与P1平行时，干涉条纹如何变化？为什么？

习题 18-8 图

解：（1）通过晶片C不同厚度处出射光的偏振态为圆偏振光。 （2）这是一个劈尖干涉的情况，所以列式：

2?（ne?nO）d???2k? （明条纹）

?2?（ne?nO）d???（2k?1）? （暗条纹）

? 干涉相长时的光强：I?IO?Ie?sin2?cos2??sin2?cos2??I0 干涉相长的光强与入射光光强之比为： 1：4

（3）若转动P2到与P1平行时，相位差中的π就没有了，所以干涉条纹中明暗条纹互换位置。

12121418-9 由方解石构成的渥拉斯顿棱镜的顶角为α=15°时，两出射光线之间的夹角为多少？已知

no?1.65836，ne?1.48641。

解：根据沃拉斯顿棱镜公式：

i?nno?ne? ??2arcs???ta???n?2arcsin?1.65836???????1.48?641 tan15?5.318-10 如果一个二分之一波片或四分之一波片的光轴与起偏器的偏振化方向成30°角，试问从二分之一波片还是从四分之一波片透射出来的光将是：(1)线偏振光?(2)圆偏振光?(3)椭圆偏振光?为什么?

解：从偏振片出射的线偏振光进入晶(波)片后分解为o,e光，仍沿原方向前进，但振方向相互垂

直(o光矢垂直光轴，e光矢平行光轴)．设入射波片的线偏振光振幅为A，则有

3A,2 1οAo?Asin30?A.2οAe?Acos30? ∴ Ao?Ae

o,e 光虽沿同一方向前进，但传播速度不同，因此两光通过晶片后有光程差．

若为二分之一波片,o,e光通过它后有光程差??光．因为由相互垂直振动的合成得

x2y2xy??2cos???sin2?? 22AoAeAoAe?2，位相差????，所以透射的是线偏振

∴ (xy?)2?0 AoAeAex Ao即 y??若为四分之一波片，则o,e光的??x2y2∴ 2?2?1

AoAe?4,位相差????2，此时cos???0,sin???1

几何光学

19-1 光线以入射角i射到折射率为n的物体上，设反射光与折射光线成直角，问入射角与折射率之间的关系如何？

解：根据布儒斯特定律，入射角与折射率的关系为 tani?n

19-2 把一片玻璃板放在装满水的玻璃杯上，光线应以什么样的角度射到玻璃板上才能够在玻璃板和水的分界面上发生全反射？玻璃的折射率为1.5，水的折射率为1.33，能接收到这束全反射光吗？

解：发生全反射时，光线从玻璃向水的入射角应满足 ngsiniC?nw。

此时若从空气到玻璃板入射，入射角i应满足sini?ngsiniC，即sini?nw。 由于nw?1.33?1，所以上述情况不可能发生。

19-3 空气中钠黄光的波长为589.3nm，问；（1）其频率为多少？（2）在折射率为1.532的玻璃中其波长为多少？（3）在上述玻璃中，光速为多少？

3?108解：（1）钠黄光的频率为????5.09?1011Hz ?6?589.3?10c （2）在折射率为1.532的玻璃中的波长为???0n?589.3nm?384.67nm

1.532c3?108?1.96?108m/s （3）在上述玻璃中光速为v??n1.53219-4 如习题19-4图所示，一条光线入射到折射率为n的球状水滴内，入射角等于?，问：（1）在后表面上光线的入射角等于多少？这条光线能否发射全反射？（2）偏向角?的表达式。（3）对应最小偏向角的入射角?为多少？

习题19-4图

解：（1）?,?,???,x,?如题图所示，????????x,x?2??x， sin??11sin??，这条光线是部分反射，因入射角?小于全反射临界角 nn arcsin?1/n?

（2）????2x???4??2?

（3）

d?d?d?1??4?2?0,?， d?d?d?2?sin???， ?n?

又??arcsin?

所以

d??d?cos?1?

2n2sin?1?2n1? 整理得

22 cos??n?1/3

??

19-5 习题19-5图示，一条光线通过一顶角为?的棱镜。（1）证明出射光线相对于入射光线的偏

sin???；?时，有最小偏向角?m，而且，n?向角为??i1?i1（2）证明在i1?i1???m?22，式中n

sin为棱镜材料的折射率，在已知?的情况下，通过测量?m，利用上式可以算出棱镜材料的折射率

习题19-5图

证：（1）由题图所示

'''' ???i1?i2??i1?i2?i1?i1?i2?i2 ' ??i2?i2 ' ??i1?i1??

' （2）已知??i1?i1??，对i1求导得

????????????di1'd? ?1?di1di1 产生最小偏向角的必要条件是

di1'd? ?0，即=-1

di1di1?nsini2?sini1 根据折射定律?， ''?nsini2?sini1

''?ncosi2di2?cosi1di1di1'cosi1cosi2di2 微分得?，进一步得到 ?'''''di1cosi2cosi1di2?ncosi2di2?cosi1di1'di1'cosi1cosi2，所以产生最小偏向角的条件为 ??di1cosi2cosi1' 把di2??di'代入得2''cosi1cosi2cosi1cosi2 ?1或?''cosi2cosi1cosi2cosi11?sin2i11?sin2i1' 取上式的平方，并利用折射定律，2 ?n?sin2i1n2?sin2i1'' 上式只有当i1?i1'时才成立，此时i2?i2，并进一步可证明

i2?i2??/2,i1?i1?????min?/2

''sin 根据折射定律可得：n????m?22

sin19-6 顶角为500的棱镜的?min?35?，如果浸入水中，最小偏向角等于多少？水的折射率为1.33。

sin解：可得棱镜的折射率n????m?22sin50??35?sin2??1.599。浸入水中时，入射角 ?50sin2 为n1sini1?nsini2，而满足最小偏向角时，i2??2，则

sini1?nsini2?n1nsinn1?2?0.508，i?30.53?，

1??2i1???2?30.53??50??11.1? ?m19-7 顶角?很小的三棱镜称为光楔，证明对小角入射光楔产生的偏向角为??(n?1)?

证明：如果三棱镜顶角很小， n?sini1?sini2sin???minsin?22????min，可得?min?(n?1)? ?

19-8 设光纤纤芯和包层的折射率分别为n1和n2?n1?n2?，垂直端面外介质的折射率为n0，试证明，能使光线在光纤内发生全反射的入射光束的最大孔径角?a满足下式

2n0sin?a?n12?n2 （其中n0sin?a称为光纤的数值孔径）。 证明：

当光线的入射角为?时，经光纤输入端面折射后，折射角?'满足 sin??n1n0s?in 'n2时，才会在光纤中产生全反 n1 在光纤中入射角为?/2??'，只有当sin??/2??'?? 射，联立上式证n0sin?a?2n12?n2 。19-9 设凸透镜L1和凹透镜L2的焦距分别为20.0cm和40.0cm，L2在L1之右40.0cm处，傍轴小物放在L1之左30.0cm，求傍轴小物的像的位置、横向放大率。 解：由高斯公式，第一次成像

111，其中s?30.0cm，f1?20.0cm ??s1s1'f1s1'60.0????2（倒立） s130.0 解得s1'?60.0cm（实像），横向放大率为?1?? 第二次成像

111，其中s2??20.0cm，f2??40.0cm ??s2s2'f2s2'40.0????2（正立） s2?20.0 解得s2'?40.0cm（实像），横向放大率为?2?? 该物体经两透镜成像后的位置位于L2右侧40.0cm处，两次成像的放大率为

???1?2??4（倒立）

19-10 试用两个薄透镜组装成一台简易的望远镜，要求：（1）该望远镜能分辨100m远物面上1mm间隔的两条细线；（2）望远镜筒长度（物镜和目镜之间的距离）为62cm。试求：

（1）物镜的口径应该选为多大？

（2）物镜与目镜的焦距应该选为多长？ 解：简易望远镜的光路如图，

（1）根据题意，此望远镜的最小分辨角为 ??m?1mm?5?10rad 510mm 根据望远镜分辨角公式 ??m?1.22 D1?1.22?D，可知物镜口径不应小于

?0.55?m?1.22?6.7cm ?5??m10 （2）考虑到眼睛的最小分辨角为 ??e?1'?3?10?4rad 应使望远镜的视角放大率满足 M???e?30 ??m 放大率与焦距的关系为 M?fo?30, 又fo?fe?62cm fe 联立解出fo?60cm,fe?2cm

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